2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升練60 幾何概型 理 新人教版一、選擇題1在區(qū)間0，上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“sin xcos x”發(fā)生的概率為()A. B. C. D1【解析】sin xcos x，x0，x，事件“sin xcos x”發(fā)生的概率為.【答案】C2(文)(xx·長沙聯(lián)考)點(diǎn)P在邊長為1的正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動，則動點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離|PA|1的概率為()A. B. C.D.【解析】如圖，滿足|PA|1的點(diǎn)P在如圖所示陰影部分運(yùn)動，則動點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離|PA|1的概率為.【答案】C2(理)(xx·西城模擬)在區(qū)間0,2上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)x3axb在區(qū)間1,1上有且只有一個(gè)零點(diǎn)的概率是()A. B. C.D.【解析】a0,2，f(x)3x2a0，f(x)是增函數(shù)若f(x)在1,1上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則f(1)·f(1)0，即(1ab)(1ab)0，則(1ab)·(1ab)0.由題意知全部事件的面積為2×24，滿足條件的面積為4×1×1，所求概率P，故選D.【答案】D圖10­6­83如圖10­6­8所示，墻上掛有一邊長為a的正方形木板，它的四個(gè)角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，為半徑的扇形，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣，則他擊中陰影部分的概率是()A1 B.C1 D.與a的取值有關(guān)【解析】由題意知，陰影部分的面積為a24××2a2，故概率為1.【答案】A4(xx·阜陽模擬)一艘輪船從O點(diǎn)的正東方向10 km處出發(fā)，沿直線向O點(diǎn)的正北方向10 km處的港口航行，某臺風(fēng)中心在點(diǎn)O，距中心不超過r km的位置都會受其影響，且r是區(qū)間5,10內(nèi)的一個(gè)隨機(jī)數(shù)，則輪船在航行途中會遭受臺風(fēng)影響的概率是()A.B.1C.1D.2【解析】以O(shè)為圓心，r為半徑作圓，易知當(dāng)r5時(shí)，輪船會遭受臺風(fēng)影響，所以P2.【答案】D5如圖10­6­9，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()圖10­6­9A1B.C.D.【解析】法一設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，OA的中點(diǎn)為D，如圖，連接OC，DC.不妨令OAOB2，則ODDADC1.在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1×1×11，所以整體圖形中空白部分面積S22.又因?yàn)镾扇形OAB××22，所以陰影部分面積為S32.所以P1.法二設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，令OA2.如圖，連接AB，由題意知CAB且S弓形ACS弓形BCS弓形OC，所以S空白SOAB×2×22.又因?yàn)镾扇形OAB××22，所以S陰影2.所以P1.【答案】A6(xx·嘉興模擬)在區(qū)間，內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)x22axb2有零點(diǎn)的概率為()A.B. C.D.【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榫匦蜛BCD及其內(nèi)部要使函數(shù)f(x)x22axb2有零點(diǎn)，則必須有4a24b240，即a2b2，其表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分故所求概率P.【答案】B二、填空題7如圖10­6­10所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終圖10­6­10邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在yOT內(nèi)的概率為_【解析】如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，則OA落在yOT內(nèi)的概率為.【答案】8點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長度小于1的概率為_【解析】如圖可設(shè)與的長度等于1，則由幾何概型可知其整體事件是其周長3，則其概率是.【答案】9某校航模小組在一個(gè)棱長為6米的正方體房間內(nèi)試飛一種新型模型飛機(jī)，為保證模型飛機(jī)安全，模型飛機(jī)在飛行過程中要始終保持與天花板、地面和四周墻壁的距離均大于1米，則模型飛機(jī)“安全飛行”的概率為_【解析】依題意得，模型飛行“安全飛行”的概率為3.【答案】三、解答題10設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x22axb20.若a是從區(qū)間0,3上任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間0,2上任取的一個(gè)數(shù)，求方程有實(shí)根的概率【解】記事件A為“方程x22axb20有實(shí)根”，當(dāng)a0，b0時(shí)，方程x22axb20有實(shí)根的充要條件為ab.試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a，b)|0a3,0b2，構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)?a，b)|0a3,0b2，ab，根據(jù)條件畫出構(gòu)成的區(qū)域(略)，可得所求的概率為P(A).11在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)P，求點(diǎn)P落在單位圓x2y21內(nèi)的概率【解】如圖所示，不等式表示的平面區(qū)域是ABC的內(nèi)部及其邊界，又圓x2y21的圓心(0,0)到xy0與xy0的距離均為1，直線xy0與xy0均與單位圓x2y21相切，記“點(diǎn)P落在x2y21內(nèi)”為事件A，事件A發(fā)生時(shí)，所含區(qū)域面積S，且SABC×2×2，故所求事件的概率P(A).12已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標(biāo)號為0的小球1個(gè)，標(biāo)號為1的小球1個(gè)，標(biāo)號為2的小球n個(gè)若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號為2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號為a，第二次取出的小球標(biāo)號為b.記“ab2”為事件A，求事件A的概率；在區(qū)間0,2內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事件“x2y2(ab)2恒成立”的概率【解】(1)依題意，得n2.(2)記標(biāo)號為0的小球?yàn)閟，標(biāo)號為1的小球?yàn)閠，標(biāo)號為2的小球?yàn)閗，h，則取出2個(gè)小球的可能情況有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12種，其中滿足“ab2”的有4種：(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)所以所求概率為P(A).記“x2y2(ab)2恒成立”為事件B，則事件B等價(jià)于“x2y24恒成立”，(x，y)可以看成平面中的點(diǎn)的坐標(biāo)，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?x，y)|0x2,0y2，x，yR，而事件B構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锽(x，y)|x2y24，(x，y)所以所求的概率為P(B)1.