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2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升練60 幾何概型 理 新人教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升練60 幾何概型 理 新人教版 一、選擇題 1.在區(qū)間[0,π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則事件“sin x≥cos x”發(fā)生的概率為(  ) A.    B.    C.    D.1 【解析】 ∵sin x≥cos x,x∈[0,π], ∴≤x≤π, ∴事件“sin x≥cos x”發(fā)生的概率為=. 【答案】 C 2.(文)(xx·長(zhǎng)沙聯(lián)考)點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),則動(dòng)點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離|PA|≤1的概率為(  ) A. B. C. D.π 【解析】 如圖,滿足|PA|≤1的點(diǎn)P在如圖所示陰影部

2、分運(yùn)動(dòng),則動(dòng)點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離|PA|≤1的概率為==. 【答案】 C 2.(理)(xx·西城模擬)在區(qū)間[0,2]上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,則函數(shù)f(x)=x3+ax-b在區(qū)間[-1,1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)的概率是(  ) A. B. C. D. 【解析】 ∵a∈[0,2],∴f′(x)=3x2+a≥0,∴f(x)是增函數(shù).若f(x)在[-1,1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),則f(-1)·f(1)≤0,即(-1-a-b)(1+a-b)≤0,則(1+a+b)·(1+a-b)≥0.由題意知全部事件的面積為2×2=4,滿足條件的面積為4-×1×1=,∴所求概率P

3、==,故選D. 【答案】 D 圖10-6-8 3.如圖10-6-8所示,墻上掛有一邊長(zhǎng)為a的正方形木板,它的四個(gè)角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心,為半徑的扇形,某人向此板投鏢,假設(shè)每次都能擊中木板,且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣,則他擊中陰影部分的概率是(  ) A.1- B. C.1- D.與a的取值有關(guān) 【解析】 由題意知,陰影部分的面積為a2-4××π2=a2,故概率為1-. 【答案】 A 4.(xx·阜陽(yáng)模擬)一艘輪船從O點(diǎn)的正東方向10 km處出發(fā),沿直線向O點(diǎn)的正北方向10 km處的

4、港口航行,某臺(tái)風(fēng)中心在點(diǎn)O,距中心不超過r km的位置都會(huì)受其影響,且r是區(qū)間[5,10]內(nèi)的一個(gè)隨機(jī)數(shù),則輪船在航行途中會(huì)遭受臺(tái)風(fēng)影響的概率是(  ) A. B.1- C.-1 D.2- 【解析】 以O(shè)為圓心,r為半徑作圓,易知當(dāng)r>5時(shí),輪船會(huì)遭受臺(tái)風(fēng)影響,所以P===2-. 【答案】 D 5.如圖10-6-9,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個(gè)半圓.在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(  ) 圖10-6-9 A.1- B.- C. D. 【解析】 法一 設(shè)分別以O(shè)A,OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C,OA的中點(diǎn)為D,如圖,連

5、接OC,DC.不妨令OA=OB=2,則OD=DA=DC=1.在以O(shè)A為直徑的半圓中,空白部分面積S1=+×1×1-=1,所以整體圖形中空白部分面積S2=2.又因?yàn)镾扇形OAB=×π×22=π,所以陰影部分面積為S3=π-2. 所以P==1-. 法二 設(shè)分別以O(shè)A,OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C,令OA=2. 如圖,連接AB,由題意知C∈AB且S弓形AC=S弓形BC=S弓形OC, 所以S空白=S△OAB=×2×2=2. 又因?yàn)镾扇形OAB=×π×22=π,所以S陰影=π-2. 所以P===1-. 【答案】 A 6.(xx·嘉興模擬)在區(qū)間[-π,π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a,b,則

6、使得函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+π有零點(diǎn)的概率為(  ) A. B. C. D. 【解析】 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榫匦蜛BCD及其內(nèi)部. 要使函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+π有零點(diǎn),則必須有Δ=4a2+4b2-4π≥0,即a2+b2≥π,其表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分.故所求概率P===. 【答案】 B 二、填空題 7.如圖10-6-10所示,在直角坐標(biāo)系內(nèi),射線OT落在30°角的終 圖10-6-10 邊上,任作一條射線OA,則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為________. 【解析】 如題圖,因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能

7、分布的,則OA落在∠yOT內(nèi)的概率為=. 【答案】  8.點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn),若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B,則劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為________. 【解析】 如圖可設(shè)與的長(zhǎng)度等于1, 則由幾何概型可知其整體事件是其周長(zhǎng)3,則其概率是. 【答案】  9.某校航模小組在一個(gè)棱長(zhǎng)為6米的正方體房間內(nèi)試飛一種新型模型飛機(jī),為保證模型飛機(jī)安全,模型飛機(jī)在飛行過程中要始終保持與天花板、地面和四周墻壁的距離均大于1米,則模型飛機(jī)“安全飛行”的概率為________. 【解析】 依題意得,模型飛行“安全飛行”的概率為3=. 【答案】  三、解答題 10.設(shè)關(guān)于x的

8、一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是從區(qū)間[0,3]上任取的一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù),求方程有實(shí)根的概率. 【解】 記事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根”,當(dāng)a≥0,b≥0時(shí),方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的充要條件為a≥b. 試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},根據(jù)條件畫出構(gòu)成的區(qū)域(略),可得所求的概率為P(A)==. 11.在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)P,求點(diǎn)P落在單位圓x2+y2=1內(nèi)的概率. 【解】 如圖所示,不等式 表示的平面區(qū)域是△ABC的內(nèi)部及其

9、邊界, 又圓x2+y2=1的圓心(0,0)到x+y-=0與x-y+=0的距離均為1, ∴直線x+y-=0與x-y+=0均與單位圓x2+y2=1相切,記“點(diǎn)P落在x2+y2=1內(nèi)”為事件A, ∵事件A發(fā)生時(shí),所含區(qū)域面積S=π,且S△ABC=×2×=2, 故所求事件的概率P(A)==. 12.已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干,其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè),標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè),標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè).若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球,取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是. (1)求n的值; (2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球,記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a,第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b. ①記“a+b=2

10、”為事件A,求事件A的概率; ②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率. 【解】 (1)依題意=,得n=2. (2)①記標(biāo)號(hào)為0的小球?yàn)閟,標(biāo)號(hào)為1的小球?yàn)閠,標(biāo)號(hào)為2的小球?yàn)閗,h,則取出2個(gè)小球的可能情況有:(s,t),(s,k),(s,h),(t,s),(t,k),(t,h),(k,s),(k,t),(k,h),(h,s),(h,t),(h,k),共12種,其中滿足“a+b=2”的有4種:(s,k),(s,h),(k,s),(h,s).所以所求概率為P(A)==. ②記“x2+y2>(a-b)2恒成立”為事件B,則事件B等價(jià)于“x2+y2>4恒成立”,(x,y)可以看成平面中的點(diǎn)的坐標(biāo),則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絳(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},而事件B構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锽={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω}.所以所求的概率為P(B)=1-.

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