第六節(jié)立體幾何中的綜合問題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第140頁)考點(diǎn)1線面位置關(guān)系與體積計(jì)算轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用(1)證明線面平行、面面平行可轉(zhuǎn)化為證明線線平行；證明線線平行可以轉(zhuǎn)化為證明線面平行或面面平行(2)從解題方法上講，由于線線垂直、線面垂直、面面垂直之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個(gè)解題過程始終沿著線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化途徑進(jìn)行(3)求幾何體的體積也常用轉(zhuǎn)化法如三棱錐頂點(diǎn)和底面的轉(zhuǎn)化，幾何體的高利用平行、中點(diǎn)，比例關(guān)系的轉(zhuǎn)化等(2019·鄭州模擬)如圖，在四棱錐P­ABCD中，PAD是等腰直角三角形，且APD90°，ABC90°，ABCD，AB2CD2BC8，平面PAD平面ABCD，M是PC的三等分點(diǎn)(靠近C點(diǎn)處)(1)求證：平面MBD平面PAD；(2)求三棱錐D­MAB的體積解(1)證明：由題易得BDAD4，AB2AD2BD2，BDAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD.又BD平面MBD，平面MBD平面PAD.(2)過點(diǎn)P作POAD交AD于點(diǎn)O(圖略)，平面PAD平面DAB，平面PAD平面DABAD，PO平面DAB，點(diǎn)P到平面DAB的距離為PO2.VD­MABVM­DABSDAB·PO××(4)2××2.解答本例第(2)問時(shí)，利用比例關(guān)系求出點(diǎn)M到平面ABCD的距離已知邊長為2的正方形ABCD與菱形ABEF所在平面互相垂直，M為BC中點(diǎn)(1)求證：EM平面ADF；(2)若ABE60°，求四面體M­ACE的體積解(1)證明：四邊形ABCD是正方形，BCAD.BC平面ADF，AD平面ADF，BC平面ADF.四邊形ABEF是菱形，BEAF.BE平面ADF，AF平面ADF，BE平面ADF.BC平面ADF，BE平面ADF，BCBEB，平面BCE平面ADF.EM平面BCE，EM平面ADF.(2)取AB中點(diǎn)P，連接PE.在菱形ABEF中，ABE60°，AEB為正三角形，EPAB.AB2，EP.平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，EP平面ABCD，EP為四面體E­ACM的高VM­ACEVE­ACMSACM·EP××1×2×.考點(diǎn)2平面圖形的翻折問題解決平面圖形翻折問題的步驟(2019·全國卷)圖1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB1，BEBF2，F(xiàn)BC60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.圖1圖2(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積解(1)證明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE.又因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)取CG的中點(diǎn)M，連接EM，DM.因?yàn)锳BDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四邊形BCGE是菱形，且EBC60°，得EMCG，故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中，DE1，EM，故DM2.所以四邊形ACGD的面積為4.(1)解答本例第(1)問的關(guān)鍵是折疊后ADBE，CGBE不變(2)解答本例第(2)問的關(guān)鍵是，根據(jù)DE平面BCGE，四邊形BCGE是菱形找出四邊形ACGD的高教師備選例題如圖1，在平面五邊形ABCDE中，ABCE，且AE2，AEC60°，CDED，cosEDC.將CDE沿CE折起，使點(diǎn)D到P的位置，且AP，得到如圖2所示的四棱錐P­ABCE.圖1圖2(1)求證：AP平面ABCE；(2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l，求證：ABl.證明(1)在CDE中，CDED，cosEDC，由余弦定理得CE2.連接AC，AE2，AEC60°，AC2.又AP，在PAE中，AP2AE2PE2，即APAE.同理，APAC.ACAEA，AC平面ABCE，AE平面ABCE，AP平面ABCE.(2)ABCE，且CE平面PCE，AB平面PCE，AB平面PCE.又平面PAB平面PCEl，ABl.(2019·濟(jì)南模擬)如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，ABCD，BAD45°，AB2CD4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)將ADE沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)P的位置，得到如圖2所示的四棱錐P­EBCD，點(diǎn)M為棱PB的中點(diǎn)圖1圖2(1)求證：PD平面MCE；(2)若平面PDE平面EBCD，求三棱錐M­BCE的體積解(1)證明：在題圖中，BEABCD，且BECD，四邊形EBCD是平行四邊形，如圖，連接BD，交CE于點(diǎn)O，連接OM，O是BD的中點(diǎn)，又點(diǎn)M是棱PB的中點(diǎn)，OMPD，PD平面MCE，OM平面MCE，PD平面MCE.(2)在題圖中，EBCD是平行四邊形，DEBC，四邊形ABCD是等腰梯形，ADBC，ADDE，BAD45°，ADDE，如圖，PDDE，又平面PDE平面EBCD，且平面PDE平面EBCDDE，PD平面EBCD.由(1)知OMPD，OM平面EBCD，在等腰直角三角形ADE中，AE2，ADDE，OMPDAD，SBCESADE1，三棱錐M­BCE的體積VM­BCESBCE·OM.考點(diǎn)3線面位置關(guān)系中的存在性問題存在性問題的一般解題方法先假設(shè)其存在，然后把這個(gè)假設(shè)作為已知條件，和題目的其他已知條件一起進(jìn)行推理論證和計(jì)算在推理論證和計(jì)算無誤的前提下，如果得到了一個(gè)合理的結(jié)論，則說明存在；如果得到了一個(gè)不合理的結(jié)論，則說明不存在而對(duì)于探求點(diǎn)的問題，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明(2019·北京高考)如圖，在四棱錐P­ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)(1)求證：BD平面PAC；(2)若ABC60°，求證：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF平面PAE？說明理由解(1)證明：因?yàn)镻A平面ABCD，所以PABD.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BDAC.又PAACA，所以BD平面PAC.(2)證明：因?yàn)镻A平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，ABC60°，且E為CD的中點(diǎn)，所以AECD.所以ABAE.又ABPAA，所以AE平面PAB.因?yàn)锳E平面PAE，所以平面PAB平面PAE.(3)棱PB上存在點(diǎn)F，使得CF平面PAE.取PB的中點(diǎn)F，PA的中點(diǎn)G，連接CF，F(xiàn)G，EG，則FGAB，且FGAB.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且E為CD的中點(diǎn)，所以CEAB，且CEAB.所以FGCE，且FGCE.所以四邊形CEGF為平行四邊形所以CFEG.因?yàn)镃F平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE.解答本例第(3)問的難點(diǎn)在于如何探索出點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，可結(jié)合點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，CF平面PAE探求教師備選例題如圖，在四棱錐P­ABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD為正方形，BCPD2，E為PC的中點(diǎn)，CB3CG.(1)求證：PCBC；(2)AD邊上是否存在一點(diǎn)M，使得PA平面MEG？若存在，求出AM的長；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)證明：因?yàn)镻D平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BCCD.又PDCDD，PD平面PCD，CD平面PCD，所以BC平面PCD.因?yàn)镻C平面PCD，所以PCBC.(2)連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接EO，GO，延長GO交AD于點(diǎn)M，連接EM，則PA平面MEG.證明如下：因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，所以EOPA.因?yàn)镋O平面MEG，PA平面MEG，所以PA平面MEG.因?yàn)镺CGOAM，所以AMCG，所以AM的長為.(2018·全國卷)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)(1)證明：平面AMD平面BMC；(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC平面PBD？說明理由解(1)證明：由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD.因?yàn)锽CCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC平面PBD.證明如下：如圖，連接AC交BD于O.因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)連接OP，因?yàn)镻為AM中點(diǎn)，所以MCOP.MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.- 8 -