第1章 集合與常用邏輯用語全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握說明：“1”指全國卷第1題，“1”指全國卷第1題，“1”指全國卷第1題.1.考查形式本章在高考中一般考查1或2個小題，主要以選擇題為主，很少以填空題的形式出現(xiàn)2.考查內(nèi)容從考查內(nèi)容來看，集合主要有三方面考查：一是集合中元素的特性；二是集合間的關(guān)系；三是集合的運(yùn)算，包含集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算；常用邏輯用語主要從四個方面考查：分別為命題及其關(guān)系、充分必要條件的判斷、邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”以及全稱量詞與存在量詞3.備考策略(1)熟練掌握解決以下問題的方法和規(guī)律集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算問題；充分條件、必要條件的判斷問題；含有“且”“或”“非”的命題的真假性的判斷問題；含有一個量詞的命題的否定問題(2)重視數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.第一節(jié)集合最新考綱1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中，了解全集與空集的含義.3.(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集(2)理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集(3)能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算1集合與元素(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號和表示(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N)ZQR2集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語言符號語言Venn圖子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，則xB)AB或(BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中AB或BA集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互為子集AB3集合的基本運(yùn)算運(yùn)算自然語言符號語言Venn圖交集由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合ABx|xA且xB并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合ABx|xA或xB補(bǔ)集由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合UAx|xU且xA1集合子集的個數(shù)對于有限集合A，其元素個數(shù)為n，則集合A的子集個數(shù)為2n，真子集個數(shù)為2n1，非空真子集個數(shù)為2n2.2集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)并集的性質(zhì)：AA；AAA；ABBA；ABABA.(2)交集的性質(zhì)：A；AAA；ABBA；ABAAB.(3)補(bǔ)集的性質(zhì)：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A；U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)任何一個集合都至少有兩個子集()(2)x|yx2y|yx2(x，y)|yx2()(3)若x2,10,1，則x0,1.()(4)直線yx3與y2x6的交點(diǎn)組成的集合是1,4()答案(1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改編1若集合AxN|x2，a，則下列結(jié)論正確的是()AaABaACaADaAD由題意知A0,1,2，由a，知aA.2已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，則集合MN的子集的個數(shù)為_64M0,1,2,3,4，N1,3,5，MN0,1,2,3,4,5，MN的子集有2664個3已知U|0°180°，Ax|x是銳角，Bx|x是鈍角，則U(AB)_.答案x|x是直角4方程組的解集為_由得故方程組的解集為.5已知集合Ax|x2x60，集合Bx|x10，則AB_，AB_.(2,1)(，3)Ax|2x3，Bx|x10x|x1，ABx|2x1，ABx|x3考點(diǎn)1集合的概念與集合中的元素有關(guān)的問題的求解思路(1)確定集合的元素是什么，即集合是數(shù)集還是點(diǎn)集(2)看清元素的限制條件(3)根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)1.(2018·全國卷)已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，則A中元素的個數(shù)為()A9B8C5D4A由x2y23知，x，y.又xZ，yZ，所以x1,0,1，y1,0,1，所以A中元素的個數(shù)為CC9，故選A.2已知集合Am2,2m2m，若3A，則m的值為_由題意得m23或2m2m3，則m1或m.當(dāng)m1時，m23且2m2m3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意； 當(dāng)m時，m2，而2m2m3，符合題意，故m.3若集合AxR|ax23x20中只有一個元素，則a_.0或當(dāng)a0時，顯然成立；當(dāng)a0時，(3)28a0，即a.4已知a，bR，若a2，ab,0，則a2 020b2 020_.1由已知得a0，則0，所以b0，于是a21，即a1或a1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a1應(yīng)舍去，因此a1，故a2 020b2 020(1)2 02002 0201.(1)求解此類問題時，要特別注意集合中元素的互異性，如T2，T4.(2)常用分類討論的思想方法求解集合問題，如T3.考點(diǎn)2集合的基本關(guān)系判斷兩集合關(guān)系的方法(1)列舉法：用列舉法表示集合，再從元素中尋求關(guān)系(2)化簡集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表達(dá)式比較復(fù)雜，往往需化簡表達(dá)式，再尋求兩個集合的關(guān)系(1)(2019·沈陽模擬)已知集合Ax|y，xR，Bx|xm2，mA，則()AABBBACABDBA(2)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，則滿足條件ACB的集合C的個數(shù)為()A1B2 C3D4(3)已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，則實數(shù)m的取值范圍為_(1)B(2)D(3)(，3(1)由題意知Ax|y，xR，所以Ax|1x1所以Bx|xm2，mAx|0x1，所以BA，故選B.(2)因為A1,2，B1,2,3,4，ACB，則集合C可以為：1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4共4個(3)因為BA，所以若B，則2m1m1，此時m2.若B，則解得2m3.由可得，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為(，3母題探究1(變問法)本例(3)中，若BA，求m的取值范圍解因為BA，若B，成立，此時m2.若B，則且邊界點(diǎn)不能同時取得，解得2m3.綜合，m的取值范圍為(，32(變問法)本例(3)中，若AB，求m的取值范圍解若AB，則即所以m的取值范圍為.3(變條件)若將本例(3)中的集合A改為Ax|x2或x5，試求m的取值范圍解因為BA，所以當(dāng)B時，2m1m1，即m2，符合題意當(dāng)B時，或解得或即m4.綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為(，2)(4，)(1)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題(2)空集是任何集合的子集，當(dāng)題目條件中有BA時，應(yīng)分B和B兩種情況討論1.設(shè)M為非空的數(shù)集，M1,2,3，且M中至少含有一個奇數(shù)元素，則這樣的集合M共有()A6個B5個C4個D3個A由題意知，M1，3，1,2，1,3，2,3，1,2,3，共6個2若集合A1,2，Bx|x2mx10，xR，且BA，則實數(shù)m的取值范圍為_2,2)若B，則m240，解得2m2，符合題意；若1B，則12m10，解得m2，此時B1，符合題意；若2B，則222m10，解得m，此時B，不合題意綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為2,2)考點(diǎn)3集合的基本運(yùn)算集合運(yùn)算三步驟 集合的運(yùn)算(1)(2019·全國卷)已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，則MN()Ax|4x3Bx|4x2Cx|2x2Dx|2x3(2)(2019·浙江高考)已知全集U1,0,1,2,3，集合A0,1,2，B1,0,1，則(UA)B()A1B0,1C1,2,3D1,0,1,3(3)設(shè)集合Ay|y2x，xR，Bx|x210，則AB等于()A(1,1)B(0,1)C(1，)D(0，)(1)C(2)A(3)C(1)Nx|x2x60x|2x3，Mx|4x2，MNx|2x2，故選C.(2)UA1,3，(UA)B1，故選A.(3)Ay|y0，Bx|1x1，AB(1，)，故選C.逆向問題已知A，B均為集合U1,3,5,7,9的子集，且AB3，(UB)A9，則A()A1,3B3,7,9C3,5,9D3,9D法一：(直接法)因為AB3，所以3A，又(UB)A9，所以9A.若5A，則5B(否則5AB)，從而5UB，則(UB)A5,9，與題中條件矛盾，故5A.同理，1A,7A，故A3,9法二：(Venn圖)如圖所示集合運(yùn)算的常用方法(1)若集合中的元素是離散的，常用Venn圖求解(2)若集合中的元素是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點(diǎn)的情況利用集合的運(yùn)算求參數(shù)(1)集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，則a的值為()A0B1 C2D4(2)已知集合Ax|xa，Bx|x23x20，若ABB，則實數(shù)a的取值范圍是()Aa1Ba1Ca2Da2(1)D(2)D(1)根據(jù)并集的概念，可知a，a24,16，故只能是a4.(2)Bx|x23x20x|1x2，又ABB，故BA.又Ax|xa，結(jié)合數(shù)軸，可知a2.利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方法(1)若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解如T(1)(2)與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到，如T(2)提醒：在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗證(滿足互異性)教師備選例題1已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定義集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，則AB中元素的個數(shù)為()A77B49C45D30C如圖，集合A表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“”，集合B表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“”所有圓點(diǎn)“”，集合AB顯然是集合(x，y)|x|3，|y|3，x，yZ中除去四個點(diǎn)(3，3)，(3,3)，(3，3)，(3,3)之外的所有整點(diǎn)(即橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn))，則集合AB表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“”所有圓點(diǎn)“”所有圓點(diǎn)“”，共45個故AB中元素的個數(shù)為45.故選C.2設(shè)集合Ax|x22x30，集合Bx|x22ax10，a0，若AB中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.BC.D(1，)BAx|x22x30x|x1或x3，設(shè)函數(shù)f(x)x22ax1，因為函數(shù)f(x)x22ax1圖像的對稱軸為直線xa(a0)，f(0)10，根據(jù)對稱性可知若AB中恰有一個整數(shù)，則這個整數(shù)為2，所以有即所以即a.故選B.1.(2019·全國卷)設(shè)集合Ax|x25x60，Bx|x10，則AB()A(，1)B(2,1)C(3，1)D(3，)A由題意得Ax|x2或x3，Bx|x1，ABx|x12(2019·洛陽模擬)已知全集UR，集合Ax|x23x40，Bx|2x2，則如圖所示陰影部分所表示的集合為()Ax|2x4Bx|x2或x4Cx|2x1Dx|1x2D依題意得Ax|x1或x4，因此RAx|1x4，題中的陰影部分所表示的集合為(RA)Bx|1x2，故選D.3已知A1,2,3,4，Ba1,2a若AB4，則a_.3因為AB4，所以a14或2a4.若a14，則a3，此時B4,6，符合題意；若2a4，則a2，此時B3,4，不符合題意綜上，a3.9