2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 參數(shù)取值問題的題型與方法教案 蘇教版（）參數(shù)取值問題的探討一、若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。例1已知當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x<54sinx+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，其中x的范圍已知（xR），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即：4sinx+cos2x<a+5要使上式恒成立，只需a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問題轉(zhuǎn)化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值問題。f(x)= 4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33,a+5>3即>a+2上式等價(jià)于或，解得a<8.說明：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。另解：a+cos2x<54sinx+即a+12sin2x<54sinx+,令sinx=t,則t1,1,整理得2t24t+4a+>0,( t1,1)恒成立。設(shè)f(t)= 2t24t+4a+則二次函數(shù)的對稱軸為t=1,f(x)在1，1內(nèi)單調(diào)遞減。只需f(1)>0,即>a2.(下同)例2已知函數(shù)f(x)在定義域（，1上是減函數(shù)，問是否存在實(shí)數(shù)k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)對一切實(shí)數(shù)x恒成立？并說明理由。分析：由單調(diào)性與定義域，原不等式等價(jià)于ksinxk2sin2x1對于任意xR恒成立，這又等價(jià)于對于任意xR恒成立。不等式（1）對任意xR恒成立的充要條件是k2(1+sin2x)min=1,即1k1-(3)不等式（2）對任意xR恒成立的充要條件是k2k+(sinx)2max=,即k1或k2,-(4)由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1適合題設(shè)條件。說明：抽象函數(shù)與不等式的綜合題常需要利用單調(diào)性脫掉函數(shù)記號。例3設(shè)直線過點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.思路1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量直線AB的斜率k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍解1：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，可求得；當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得，解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時(shí)，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .思路2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對稱關(guān)系式.把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達(dá)定理AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則 令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以，解得.結(jié)合得. 綜上，.說明：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.二、直接根據(jù)圖像判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例4已知長方形四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P沿與AB夾角為的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）.設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0）.若1< x4<2，則的取值范圍是（ ）(A) (B) (C) (D)圖1圖2分析: 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提倡讓學(xué)生自主探索, 動(dòng)手實(shí)踐, 并主張?jiān)诟咧袑W(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”學(xué)習(xí)活動(dòng),本題可以嘗試用特殊位置來解，不妨設(shè)與AB的中點(diǎn)P重合（如圖1所示），則P1、P2、P3分別是線段BC、CD、DA的中點(diǎn)，所以由于在四個(gè)選擇支中只有C含有，故選Cxyo12y1=(x-1)2y2=logax當(dāng)然，本題也可以利用對稱的方法將“折線”問題轉(zhuǎn)化成“直線”問題來直接求解（如圖2所示） 說明 由本題可見, 探索猜想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位這也是選擇題的應(yīng)有特點(diǎn)例5當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x1)2<logax恒成立，求a的取值范圍。分析：若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見的對數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過圖象求解。解：設(shè)y1=(x1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2),y1<y2恒成立，顯然a>1,并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga2>1,a>1,1<a2.例6函數(shù)y=(x1)loga6xlog3a+x+1，其中在x0,1時(shí)函數(shù)恒正，求a的范圍。解：排除對數(shù)log3a的干擾，選x為“主元”化函數(shù)為y=f(x)=(log32a6 log3a+1)x+1log32a, x0,1.一次（或常數(shù)）函數(shù)恒正，被線段端點(diǎn)“抬在”x軸的上方。故有：說明：給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于）或）亦可合并定成同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)<0，則有例7對于滿足|p|2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及P,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在2，2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。略解：不等式即(x1)p+x22x+1>0,設(shè)f(p)= (x1)p+x22x+1,則f(p)在2,2上恒大于0，故有：即解得：x<1或x>3.例8.設(shè)f(x)=x22ax+2,當(dāng)x1,+)時(shí)，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。分析：題目中要證明f(x)a恒成立，若把a(bǔ)移到等號的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間1,+)時(shí)恒大于0的問題。解：設(shè)F(x)= f(x)a=x22ax+2a.)當(dāng)=4（a1)(a+2)<0時(shí)，即2<a<1時(shí)，對一切x1,+)，F(xiàn)(x)0恒成立；）當(dāng)=4（a1)(a+2) 0時(shí)由圖可得以下充要條件：-1oxy即得3a2;綜合可得a的取值范圍為3，1說明：若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0(a0)大于0恒成立，則有若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識求解。4oxy例9關(guān)于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范圍。分析：題目中出現(xiàn)了3x及9x，故可通過換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)型求解。解法1（利用韋達(dá)定理）：設(shè)3x=t,則t>0.則原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。 即解得a8.解法2（利用根與系數(shù)的分布知識）：4oxy即要求t2+(4+a)t=0有正根。設(shè)f(x)= t2+(4+a)t+4.10.=0,即（4+a）216=0,a=0或a=8.a=0時(shí)，f(x)=(t+2)2=0,得t=2<0，不合題意；a=8時(shí)，f(x)=(t2)2=0,得t=2>0,符合題意。a=8.20. >0,即a<8或a>0時(shí)，f(0)=4>0,故只需對稱軸，即a<4.a<8綜合可得a8.三、解析幾何中確定參變量的取值范圍歷來是各級各類測試及高考命題的熱點(diǎn)。由于此類問題綜合性強(qiáng)，且確定參變量取值范圍的不等量關(guān)系也較為隱蔽，因而給解題帶來了諸多困難。為此，我們有必要總結(jié)和歸納如何尋找或挖掘不等量關(guān)系的策略和方法。在幾何問題中，有些問題和參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成定值問題，解決這些問題常通過取參數(shù)和特殊值來確定“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式來證明該式是恒定的。解析幾何中的最值問題，一般先根據(jù)條件列出所求目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式手特征選用參數(shù)法，配方法，判別式法，應(yīng)用不等式的性質(zhì)，以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值或最小值。充分運(yùn)用各種方法學(xué)會(huì)解圓錐曲線的綜合問題（解析法的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，圓錐曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，與圓錐曲線相關(guān)的定值問題，最值問題，應(yīng)用問題和探索性問題）。研究最值問題是實(shí)踐的需要，人類在實(shí)踐活動(dòng)中往往追求最佳結(jié)果，抽象化之成為數(shù)學(xué)上的最值問題，所以最值問題幾乎滲透到數(shù)學(xué)的每一章。解析幾何中的最值問題主要是曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值，到定直線的距離最值，還有面積最值，斜率最值等，解決的辦法也往往是數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值。而一些函數(shù)最值，反而可以通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為解析幾何中的最值問題。1幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決。2代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值。求函數(shù)最值常用的方法有配方法、判別式法、重要不等式法、三角函數(shù)的值域法、函數(shù)的單調(diào)性法。例10已知橢圓C:和點(diǎn)P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程及點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍.分析：這是一個(gè)軌跡問題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理利用點(diǎn)Q滿足直線AB的方程：y = k (x4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn)Q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。解：設(shè)，則由可得：，解之得： （1）設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化簡得： (3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得 故知點(diǎn)Q的軌跡方程為： （）.說明：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.例11已知，試討論的值變化時(shí)，方程表示的曲線的形狀。解：（1）當(dāng)時(shí)，方程化為，它表示兩條與軸平行的直線； （2）當(dāng)時(shí)，方程化為，它表示兩條與軸平行的直線； （3）當(dāng)時(shí)，方程化為，它表示一個(gè)單位圓； （4）當(dāng)時(shí)，方程化為，因?yàn)?，所以它表示一個(gè)焦點(diǎn)在軸上那個(gè)的橢圓； （5）當(dāng)時(shí)，方程化為，因?yàn)椋运硎疽粋€(gè)焦點(diǎn)在軸上那個(gè)的橢圓； （6）當(dāng)時(shí)，方程化為，因?yàn)?，所以它表示一個(gè)焦點(diǎn)在軸上那個(gè)的雙曲線。（）、求參數(shù)的取值范圍在解析幾何中的應(yīng)用例12一農(nóng)民有田2畝，根據(jù)他的經(jīng)驗(yàn)：若種水稻，則每畝每期產(chǎn)量為400公斤，若種花生，則每畝產(chǎn)量為100公斤，但水稻成本較高，每畝每期240元，而花生只要80元，且花生每公斤可賣5元，稻米每公斤只賣3元，現(xiàn)在他只能湊足400元，問這位農(nóng)民對兩種作物應(yīng)各種多少畝，才能得到最大利潤？ 分析：最優(yōu)種植安排問題就是要求當(dāng)非負(fù)變量x、y滿足條件和時(shí)，總利潤P達(dá)到最大，是線性規(guī)劃問題。解：設(shè)水稻種x畝，花生種y畝，則有題意得： 即 此不等式組的解為四邊形區(qū)域（包括邊界），這些解通常就叫做本問題的可行解，并稱這個(gè)區(qū)域?yàn)閱栴}的可行解區(qū)域。而利潤P（3×400200）x（5×10080）y960x+420y為二元函數(shù)，通常就叫做本問題的目標(biāo)函數(shù)。故所求問題變?yōu)椋阂诖丝尚薪鈪^(qū)域內(nèi)，找出（x，y）點(diǎn)，使目標(biāo)函數(shù)P960x+420y的值為最大，這類點(diǎn)就叫做本問題的最佳解。如何找出這類點(diǎn)呢？觀察目標(biāo)函數(shù)P，我們知道：（1） 當(dāng)P等于任意常數(shù)m時(shí)，m960x+420y 都是48/21的直線；（2） 若直線l：m960x+420y與可行解區(qū)域相交，則對應(yīng)于此直線的任一可行解，目標(biāo)函數(shù)P的值皆為m；（3） 當(dāng)直線l：m960x+420y 即 y48/21xm/400過可行解區(qū)域，且縱截距最大時(shí)，m有最大值，即目標(biāo)函數(shù)P有最大值。由圖可知，當(dāng)直線l過B點(diǎn)時(shí)，縱截距最大。解方程組 得交點(diǎn)B（1.5,0.5）所以當(dāng)x1.5，y0.5時(shí)，Pmax960×1.5420×0.51650（元）即水稻種1.5畝，花生種0.5畝時(shí)所得的利潤最大。 說明：很多數(shù)學(xué)應(yīng)用題都與二元一次不等式組有關(guān)，而不等式組的解答往往很多，在各種解答中，是否有一組為符合實(shí)際情況的最佳解答呢？求此類問題的解答為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支線性規(guī)劃。線性規(guī)劃是最優(yōu)化模型中的一個(gè)重要內(nèi)容，它具有適應(yīng)性強(qiáng)，應(yīng)用面廣，計(jì)算技術(shù)比較簡便的特點(diǎn)，它是現(xiàn)代管理科學(xué)的重要基礎(chǔ)和手段之一。利用線性規(guī)劃解決應(yīng)用問題的方法可按下列步驟進(jìn)行：（1） 根據(jù)題意，建立數(shù)學(xué)模型，作出不等式組區(qū)域的圖形，即可行解區(qū)域；（2） 設(shè)所求的目標(biāo)函數(shù)f（x，y）為m值；（3）將各頂點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，即可得m的最大值或最小值，或求直線f（x，y）m在y軸上截距的最大值（最小值）從而得m的最大值（最小值）。 例13某汽車公司有兩家裝配廠，生產(chǎn)甲、乙兩種不同型的汽車，若A廠每小時(shí)可完成1輛甲型車和2輛乙型車；B廠每小時(shí)可完成3輛甲型車和1輛乙型車。今欲制造40輛甲型車和乙型車，問這兩家工廠各工作幾小時(shí)，才能使所費(fèi)的總工作時(shí)數(shù)最??？ 分析：這是一個(gè)如何安排生產(chǎn)才能發(fā)揮最佳效率的問題。最優(yōu)工作時(shí)數(shù)的安排問題就是A、B兩廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的汽車數(shù)不得低于甲型40輛、乙型20輛時(shí)，總工時(shí)最少。解：設(shè)A廠工作x小時(shí)，B廠生產(chǎn)y小時(shí)，總工作時(shí)數(shù)為T小時(shí)，則它的目標(biāo)函數(shù)為T=xy 且x3y40 ，2x+y20 ，x0 ，y0可行解區(qū)域，而符合問題的解答為此區(qū)域內(nèi)的格子點(diǎn)（縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格子點(diǎn)），于是問題變?yōu)椋阂诖丝尚薪鈪^(qū)域內(nèi)，找出格子點(diǎn)（x，y），使目標(biāo)函數(shù)T xy的值為最小。由圖知當(dāng)直線l：yxT過Q點(diǎn)時(shí)，縱截距T最小，但由于符合題意的解必須是格子點(diǎn)，我們還必須看Q點(diǎn)是否是格子點(diǎn)。解方程組 得Q（4,12）為格子點(diǎn)，故A廠工作4小時(shí)，B廠工作12小時(shí)，可使所費(fèi)的總工作時(shí)數(shù)最少。說明：也可以用凸多邊形性質(zhì)去尋找最佳解，要注意到有時(shí)符合題意的解僅限于可行解區(qū)域內(nèi)的格子點(diǎn)，此時(shí)如果有端點(diǎn)并非格子點(diǎn)，這些點(diǎn)就不符合題意，不是我們要找的解；如果所有的端點(diǎn)都是格子點(diǎn)，所有的端點(diǎn)全符合題意，我們就可用凸多邊形性質(zhì)去找出最佳解。符合本題的解僅為可行解區(qū)域內(nèi)的格子點(diǎn)，其可行解區(qū)域的端點(diǎn)P（40,0），Q（4,12）R（0,20）都是格子點(diǎn)，都符合題意，而它們所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值如下表所示： （x，y） （40,0） （4,12） （0,20） T 40 16 20 故Q（4,12）即為所要找的點(diǎn)。例14私人辦學(xué)是教育發(fā)展的方向。某人準(zhǔn)備投資1200萬元興辦一所完全中學(xué)，為了考慮社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，對該地區(qū)教育市場進(jìn)行調(diào)查，得出一組數(shù)據(jù)列表如下（以班級為單位）：班級學(xué)生數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)（萬元）教師年薪（萬元）初中 50 2.0 28 1.2高中 40 2.5 58 1.6 根據(jù)物價(jià)部門的有關(guān)文件，初中是義務(wù)教育階段，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)控制，預(yù)計(jì)除書本費(fèi)、辦公費(fèi)以外每生每年收取600元，高中每生每年可收取1500元。因生源和環(huán)境等條件的限制，辦學(xué)規(guī)模以20至30個(gè)班為宜。教師實(shí)行聘任制。初中、高中的教育周期均為三年。請你合理地安排找生計(jì)劃，使年利潤最大，大約經(jīng)過多少年可以收回全部投資？解：設(shè)初中編制為x個(gè)班，高中編制為y個(gè)班。 則 （x>0,y>0,x,yZ）。計(jì)年利潤為s，那么s3x+6y-2.4x-4y，即s0.6x+2y作出不等式表示的平面區(qū)域。問題轉(zhuǎn)化為求直線0.6x+2xs0截距的最大值。過點(diǎn)A作0.6x+2y=0的平行線即可求出s的最大值。聯(lián)立得A（18,12）。將x18，y12代入s0.6x+2y求得Smax34.8。設(shè)經(jīng)過n年可收回投資，則11.6+23.2+34.8(n2)=1200，可得n33.5。學(xué)校規(guī)模初中18個(gè)班級，高中12個(gè)班級，第一年初中招生6個(gè)班300人，高中招生4個(gè)班160人。從第三年開始年利潤34.8萬元，大約經(jīng)過36年可以收回全部投資。說明：本題的背景材料是投資辦教育，擬定一份計(jì)劃書，本題是計(jì)劃書中的部分內(nèi)容。要求運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，解析幾何知識和數(shù)據(jù)處理的綜合能力。通過計(jì)算可知，投資教育主要是社會(huì)效益，提高整個(gè)民族的素質(zhì)，經(jīng)濟(jì)效益不明顯。（）、強(qiáng)化訓(xùn)練1（南京市質(zhì)量檢測試題） 若對個(gè)向量存在個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)，使得成立，則稱向量為“線性相關(guān)”依此規(guī)定， 能說明，“線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)依次可以取 （寫出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況） 2已知雙曲線，直線過點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為，試求的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。3設(shè)函數(shù)f(x)=2x-12-x-1,xR,若當(dāng)0時(shí)，f(cos2+2msin)+f(2m2)>0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。4已知關(guān)于x的方程lg(x+20x) lg(8x6a3)=0有唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。5試就的不同取值，討論方程所表示的曲線形狀，并指出其焦點(diǎn)坐標(biāo)。6某公司計(jì)劃在今年內(nèi)同時(shí)出售變頻空調(diào)機(jī)和智能型洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況（如資金、勞動(dòng)力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達(dá)到最大。已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動(dòng)力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：資金單位產(chǎn)品所需資金（百元）月資金供應(yīng)量（百元）空調(diào)機(jī)洗衣機(jī)成本3020300勞動(dòng)力 （工資）510110單位利潤68 試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤達(dá)到最大，最大利潤是多少？ 7某?；锸抽L期以面粉和大米為主食，而面食每100克含蛋白質(zhì)6個(gè)單位，含淀粉4個(gè)單位，售價(jià)0.5元，米食每100克含蛋白質(zhì)3個(gè)單位，含淀粉7個(gè)單位，售價(jià)0.4元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒飯至少有8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉，問應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費(fèi)用最少？8發(fā)電廠主控室的表盤，高m米，表盤底邊距地面n米。問值班人員坐在什么位置上，看得最清楚？（值班人員坐在椅子上眼睛距地面的高度一般為1.2米）9. 某養(yǎng)雞廠想筑一個(gè)面積為144平方米的長方形圍欄。圍欄一邊靠墻，現(xiàn)有50米鐵絲網(wǎng)，筑成這樣的圍欄最少要用多少米鐵絲網(wǎng)？已有的墻最多利用多長？最少利用多長？（）、參考答案1分析：本題將高等代數(shù)中維向量空間的線形相關(guān)的定義，移植到平面向量中，定義了個(gè)平面向量線性相關(guān)在解題過程中，首先應(yīng)該依據(jù)定義，得到，即，于是，所以即則所以，的值依次可?。ㄊ遣坏扔诹愕娜我鈱?shí)數(shù)）2分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對照草圖，不難想到：過點(diǎn)B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解問題關(guān)于x的方程有唯一解解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離為： 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價(jià)于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .說明：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.3分析與解：從不等式分析入手，易知首先需要判斷f(x)的奇偶性和單調(diào)性，不難證明，在R上f(x)是奇函數(shù)和增函數(shù)，由此解出cos2+2msin<2m+2.令t=sin,命題轉(zhuǎn)化為不等式t22mt+(2m+1)>0,t0,1-(*)恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。接下來，設(shè)g(t)=t22mt+(2m+1),按對稱軸t=m與區(qū)間0，1的位置關(guān)系，分類使g(t)min>0,綜合求得m>.本題也可以用函數(shù)思想處理，將（*）化為2m(1t)>(t2+1),t0,1當(dāng)t=1時(shí)，mR;當(dāng)0t<1時(shí)，2m>h(t)=2(1t)+,由函數(shù)F（u)=u+在（1，1上是減函數(shù)，易知當(dāng)t=0時(shí)，h(x)max=1, m>,綜合（1）、（2）知m>。說明：本題涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的條件極值、不等式等知識，以及用函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法解題，是綜合性較強(qiáng)的一道好題。4分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x2+20x)=lg(8x6a3),從而得x2+20x=8x6a3>0,注意到若將等號兩邊看成是二次函數(shù)xyl1l2l-20oy= x2+20x及一次函數(shù)y=8x6a3，則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。解：令y1= x2+20x=（x+10）2100,y2=8x6a3,則如圖所示，y1的圖象為一個(gè)定拋物線，y2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)當(dāng)直線為l1時(shí)，直線過點(diǎn)（20，0）此時(shí)縱截距為6a3=160,a=;當(dāng)直線為l2時(shí)，直線過點(diǎn)（0，0），縱截距為6a3=0，a=a的范圍為，）。5解：（1）當(dāng)時(shí)，方程化為，表示軸。 （2）當(dāng)時(shí)，方程化為，表示軸 （3）當(dāng)時(shí)，方程為標(biāo)準(zhǔn)形式： 當(dāng)時(shí)，方程化為表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。 當(dāng)時(shí)，方程（*）表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，焦點(diǎn)為 當(dāng)時(shí)，方程（*）表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，焦點(diǎn)為 當(dāng)時(shí)，方程（*）表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，焦點(diǎn)為 當(dāng)時(shí)，方程（*）表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，焦點(diǎn)為 6解：設(shè)空調(diào)機(jī)、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別是x、y臺，總利潤是P，則P6x+8y 由題意：30x+20y 300 5x+10y110 x0，y0 x、y均為整數(shù) 畫圖知直線 y3/4x1/8P 過M（4,9）時(shí)，縱截距最大，這時(shí)P也取最大值Pmax6×48×996（百元）故：當(dāng)月供應(yīng)量為：空調(diào)機(jī)4臺，洗衣機(jī)9臺時(shí)，可獲得最大利潤9600元。7解：設(shè)每盒盒飯需要面食x（百克），米食y（百克）則目標(biāo)函數(shù)為S0.5x+0.4y 且x，y滿足 ： 6x+3y8 4x+7y10 x0 ，y0畫圖可知，直線 y5/4x+5/2S過A（13/15,14/15）時(shí)，縱截距5/2S最小，即S最小。故每盒盒飯為13/15百克，米食14/15百克時(shí)既科學(xué)又費(fèi)用最少。8解答從略，答案是： 值班人員的眼睛距表盤距離為 （米）。本題材料背景:儀表及工業(yè)電視，是現(xiàn)代化企業(yè)的眼睛，它總是全神貫注地注視著生產(chǎn)內(nèi)部過程，并忠實(shí)地把各種指標(biāo)顯示在值班人員的面前。這就要在值班人員和儀表及工業(yè)電視之間，建立某種緊密的聯(lián)系，聯(lián)系的紐帶是值班人員的眼睛！因此只有在最佳位置上安排值班人員的座位，才能避免盲目性。9.解：假設(shè)圍欄的邊長為x米和玉米，于是由題設(shè)可知x0，y0，且xy144 （1）2x+y50 （2）雙曲線xy144在第一象線內(nèi)的一支與直線2xy50的交點(diǎn)是A（），B（），滿足條件（1）、（2）的解集是在雙曲線xy144（），這一段上的點(diǎn)集（即如圖中雙曲線A、B之間的一段），當(dāng)過雙曲線A、B之間上的任一點(diǎn)作一點(diǎn)作直線2xyk（k0）就是相應(yīng)需用鐵絲網(wǎng)的長度，直線2x+y=k（k0）與雙曲線xy144相切。這時(shí)，相應(yīng)的k值最小，消去y得x的二次方程： ，從0得， 即k24（米）所需用鐵絲網(wǎng)的最短長度為24米。從圖中知，利用已有墻的最大長度由點(diǎn)A的縱坐標(biāo)給出，即米，利用墻的最短長度由B縱坐標(biāo)給出，即米。