2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第八章 高考專題突破四 高考中的立體幾何問題 理 新人教A版1(xx·廣東)某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是()A4 B. C. D6答案B解析由三視圖知四棱臺的直觀圖為由棱臺的體積公式得：V(2×21×1)×2.2(xx·課標(biāo)全國)已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線垂直于lD與相交，且交線平行于l答案D解析假設(shè)，由m平面，n平面，則mn，這與已知m，n為異面直線矛盾，那么與相交，設(shè)交線為l1，則l1m，l1n，在直線m上任取一點作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直線m與n1所確定的平面，所以l1l.3(xx·四川)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點O為線段BD的中點設(shè)點P在線段CC1上，直線OP與平面A1BD所成的角為，則sin 的取值范圍是()A，1 B，1C， D，1答案B解析根據(jù)題意可知平面A1BD平面A1ACC1且兩平面的交線是A1O，所以過點P作交線A1O的垂線PE，則PE平面A1BD，所以A1OP或其補角就是直線OP與平面A1BD所成的角.設(shè)正方體的邊長為2，則根據(jù)圖形可知直線OP與平面A1BD可以垂直當(dāng)點P與點C1重合時可得A1OOP，A1C12，所以×××sin ×2×2，所以sin ；當(dāng)點P與點C重合時，可得sin .根據(jù)選項可知B正確4(xx·山東)三棱錐PABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐DABE的體積為V1，PABC的體積為V2，則_.答案解析設(shè)點A到平面PBC的距離為h.D，E分別為PB，PC的中點，SBDESPBC，.5(xx·江蘇改編)如圖，在三棱錐PABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點若PAAC，PA6，BC8，DF5.則PA與平面DEF的位置關(guān)系是_；平面BDE與平面ABC的位置關(guān)系是_(填“平行”或“垂直”)答案平行垂直解析(1)因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DEPA.又因為PA平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA平面DEF.(2)因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，PA6，BC8，所以DEPA3，EFBC4.又因為DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90°，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因為ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC，又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.題型一空間點、線、面的位置關(guān)系例1(xx·安徽)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2.點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)證明：GHEF；(2)若EB2，求四邊形GEFH的面積思維點撥(1)證明GHEF，只需證明EF平面PBC，只需證明BCEF，利用BC平面GEFH即可；(2)求出四邊形GEFH的上底、下底及高，即可求出面積(1)證明因為BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可證EFBC，因此GHEF.(2)解如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK.因為PAPC，O是AC的中點，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面內(nèi)，所以PO底面ABCD.又因為平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因為平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，從而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，從而KBDBOB，即K為OB的中點再由POGK得GKPO，即G是PB的中點，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四邊形GEFH的面積S·GK×318.思維升華高考對該部分的考查重點是空間的平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明，一般以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度中等，但對空間想象能力和邏輯推理能力有一定的要求，在試卷中也可能以選擇題或者填空題的方式考查空間位置關(guān)系的基本定理在判斷線面位置關(guān)系中的應(yīng)用 (xx·江蘇)如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過A作AFSB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點求證：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.證明(1)由ASAB，AFSB知F為SB中點，則EFAB，F(xiàn)GBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC，且AFSB，知AF平面SBC，則AFBC.又BCAB，AFABA，則BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.題型二平面圖形的翻折問題例2(xx·廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2)折疊，折痕EFDC.其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M，并且MFCF.(1)證明：CF平面MDF；(2)求三棱錐MCDE的體積思維點撥折疊后，MD與平面CDEF的垂直關(guān)系不變(1)證明因為PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因為ABCD是矩形，CDAD，PD與CD交于點D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.(2)解因為PDDC，BC2，CD1，PCD60°，所以PD，由(1)知FDCF，在直角三角形DCF中，CFCD.過點F作FGCD交CD于點G，得FGFCsin 60°×，所以DEFG，故MEPE，所以MD .SCDEDE·DC××1.故VMCDEMD·SCDE××.思維升華平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況一般地翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化 已知四邊形ABCD是矩形，AB1，BC，將ABC沿著對角線AC折起來得到AB1C且頂點B1在平面ACD上的射影O恰落在邊AD上，如圖所示(1)求證：平面AB1C平面B1CD；(2)求三棱錐B1ABC的體積VB1ABC.(1)證明B1O平面ABCD，CD平面ABCD，B1OCD，又CDAD，ADB1OO，CD平面AB1D，又AB1平面AB1D，AB1CD，又AB1B1C，且B1CCDC，AB1平面B1CD，又AB1平面AB1C，平面AB1C平面B1CD.(2)解由于AB1平面B1CD，B1D平面ABCD，所以AB1B1D，在RtAB1D中，B1D，又由B1O·ADAB1·B1D得B1O，所以VB1ABCSABC·B1O××1××.題型三線面位置關(guān)系中的存在性問題例3(xx·四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形(1)若ACBC，證明：直線BC平面ACC1A1；(2)設(shè)D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE平面A1MC？請證明你的結(jié)論思維點撥(1)先證明AA1平面ABC，可得AA1BC，利用ACBC，可以證明直線BC平面ACC1A1；(2)取AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，A1C與AC1交于點O，證明四邊形MDEO為平行四邊形即可(1)證明因為四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因為AB，AC為平面ABC內(nèi)兩條相交的直線，所以AA1平面ABC.因為直線BC平面ABC，所以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1和AC為平面ACC1A1內(nèi)兩條相交的直線，所以BC平面ACC1A1.(2)解取線段AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設(shè)點O為A1C，AC1的交點由已知，點O為AC1的中點連接MD，OE，則MD，OE分別為ABC，ACC1的中位線，所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DEMO.因為直線DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直線DE平面A1MC.即線段AB上存在一點M(線段AB的中點)，使直線DE平面A1MC.思維升華對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在這假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè) 如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)求證：D1CAC1；(2)問在棱CD上是否存在點E，使D1E平面A1BD.若存在，確定點E位置；若不存在，說明理由(1)證明在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連接C1D，DCDD1，四邊形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D，AD平面DCC1D1，又D1C平面DCC1D1，ADD1C.AD平面ADC1，DC1平面ADC1，且ADDC1D，D1C平面ADC1，又AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)解假設(shè)存在點E，使D1E平面A1BD.連接AD1，AE，D1E，設(shè)AD1A1DM，BDAEN，連接MN，平面AD1E平面A1BDMN，要使D1E平面A1BD，可使MND1E，又M是AD1的中點，則N是AE的中點又易知ABNEDN，ABDE.即E是DC的中點綜上所述，當(dāng)E是DC的中點時，可使D1E平面A1BD.題型四空間向量與立體幾何例4(xx·遼寧)如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120°，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(1)求證：EFBC；(2)求二面角EBFC的正弦值思維點撥可以B為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法方法一(1)證明如圖(1)，過E作EOBC，垂足為O，連接OF.(1)由題意得ABCDBC，可證出EOCFOC.所以EOCFOC，即FOBC.又EOBC，EOFOO，因此BC平面EFO.又EF平面EFO，所以EFBC.(2)解如圖(1)，過O作OGBF，垂足為G，連接EG.由平面ABC平面BDC，從而EO平面BDC.又OGBF，EOBF，所以BF平面EGO，所以EGBF.因此EGO為二面角EBFC的平面角在EOC中，EOOFFC·BC·cos 30°.由BGOBFC知，OG·FC，因此tanEGO2，從而sinEGO，即二面角EBFC的正弦值為.方法二(1)證明由題意，以B為坐標(biāo)原點，在平面DBC內(nèi)過B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖(2)所示的空間直角坐標(biāo)系，(2)易得B(0,0,0)，A(0，1，)，D(，1,0)，C(0,2,0)，因而E(0，)，F(xiàn)(，0)，所以(，0，)，(0,2,0)，因此·0.從而，所以EFBC.(2)解如圖(2)，平面BFC的一個法向量為n1(0,0,1)設(shè)平面BEF的法向量為n2(x，y，z)，又(，0)，(0，)，由得其中一個n2(1，1)設(shè)二面角EBFC的大小為，且由題意知為銳角，則cos |cosn1，n2|.因此sin ，即二面角EBFC的正弦值為.思維升華用向量法解決立體幾何問題，可使復(fù)雜問題簡單化，使推理論證變?yōu)橛嬎闱蠼?，降低思維難度使立體幾何問題“公式”化，訓(xùn)練的關(guān)鍵在于“歸類、尋法” 在如圖所示的幾何體中，底面ABCD為菱形，BAD60°，AA1綊DD1綊CC1BE，且AA1AB，D1E平面D1AC，AA1底面ABCD.(1)求二面角D1ACE的大?。?2)在D1E上是否存在一點P，使得A1P平面EAC，若存在，求的值，若不存在，說明理由解(1)設(shè)AC與BD交于點O，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)AB2，則A(，0,0)，B(0，1,0)，C(，0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,2)，設(shè)E(0，1，t)，t>0，則(0,2,2t)，(2，0,0)，(，1，2)D1E面D1AC，D1ECA，D1ED1A，解得t3，E(0，1,3)，(，1,3)，設(shè)平面EAC的法向量為m(x，y，z)，則令z1，y3，m(0,3,1)又平面D1AC的法向量(0,2，1)，cosm，.所以所求二面角的大小為45°.(2)假設(shè)存在點P滿足題意設(shè)()，得(0，)，(，1,0)(0，)(，1，)A1P平面EAC，m，×03×(1)1×0，解得，故存在點P使A1P面EAC，此時D1PPE32.(時間：70分鐘)1(xx·重慶)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A54 B60 C66 D72答案B解析由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為直角三角形，由正視圖和側(cè)視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)截取得到的在長方體中分析還原，如圖(1)所示，故該幾何體的直觀圖如圖(2)所示在圖(1)中，直角梯形ABPA1的面積為×(25)×414，計算可得A1P5.直角梯形BCC1P的面積為×(25)×5.因為A1C1平面A1ABP，A1P平面A1ABP，所以A1C1A1P，故RtA1PC1的面積為×5×3.又RtABC的面積為×4×36，矩形ACC1A1的面積為5×315，故幾何體ABCA1PC1的表面積為1461560.2已知m，n分別是兩條不重合的直線，a，b分別垂直于兩不重合平面，有以下四個命題：若m，nb，且，則mn；若ma，nb，且，則mn；若m，nb，且，則mn；若m，nb，且，則mn.其中正確的命題是()A B C D答案D解析對于，b，nb，n，m，且，mn，錯誤；對于，a，b分別垂直于兩不重合平面，ab，ma，nb，mn，正確；對于，nb，b，n，m，mn，正確；對于，m，b，mb，nb，mn或mn或m，n相交，不正確所以正確3如圖梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，ADBCAB234，E、F分別是AB、CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折，給出四個結(jié)論：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平面DCF平面BFC.在翻折過程中，可能成立的結(jié)論是_(填寫結(jié)論序號)答案解析因為BCAD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，則不成立；設(shè)點D在平面BCF上的射影為點P，當(dāng)BPCF時就有BDFC，而ADBCAB234，可使條件滿足，所以正確；當(dāng)點P落在BF上時，DP平面BDF，從而平面BDF平面BCF，所以正確；因為點D的射影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即錯誤故答案為.4如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點，當(dāng)_時，D1E平面AB1F.答案1解析如圖，連接A1B，則A1B是D1E在平面ABB1A1內(nèi)的射影AB1A1B，D1EAB1，又D1E平面AB1FD1EAF.連接DE，則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影，D1EAFDEAF.ABCD是正方形，E是BC的中點，當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點時，DEAF，即當(dāng)點F是CD的中點時，D1E平面AB1F，1時，D1E平面AB1F.5如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明(1)GH是A1B1C1的中位線，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點共面(2)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G與EB平行且相等，四邊形A1EBG是平行四邊形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.6如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F平面A1BE？并證明你的結(jié)論解在棱C1D1上存在點F，使B1F平面A1BE.因為平面ABB1A1平面DCC1D1，所以A1B與平面A1EB和平面DCC1D1的交線平行，如圖所示，取CD的中點G，連接EG，BG，則EG，BG就是平面A1BE分別與平面DCC1D1和平面ABCD的交線取C1D1的中點F，CC1的中點H，連接HF，B1F，B1H.因為HFEG，所以HF平面A1EB.因為A1B1C1D1HE，所以A1，B1，H，E四點共面，又平面BB1C1C平面AA1D1D，所以B1HA1E，從而B1H平面A1EB，因為B1HHFH，所以平面B1HF平面A1EB，所以B1F平面A1EB.7(xx·福建)在平面四邊形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.將ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如圖所示(1)求證：ABCD；(2)若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值(1)證明平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)解過點B在平面BCD內(nèi)作BEBD，如圖由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.以B為坐標(biāo)原點，分別以，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系依題意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M(0，)，則(1,1,0)，(0，)，(0,1，1)設(shè)平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，則即取z01，得平面MBC的一個法向量n(1，1,1)設(shè)直線AD與平面MBC所成角為，則sin |cosn，|，即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為.8如圖所示，平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，四邊形ABDE是直角梯形，BDAE，BDBA，BDAE2，O，M分別為CE，AB的中點(1)求證：OD平面ABC；(2)求直線CD和平面ODM所成角的正弦值；(3)能否在EM上找一點N，使得ON平面ABDE？若能，請指出點N的位置，并加以證明；若不能，請說明理由(1)證明取AC中點F，連接OF，F(xiàn)B.F是AC中點，O為CE中點，OFEA且OFEA.又BDAE且BDAE，OFDB，OFDB，四邊形BDOF是平行四邊形，ODFB.又FB平面ABC，OD平面ABC，OD平面ABC.(2)解平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，DB平面ABDE，且BDBA，DB平面ABC.BDAE，EA平面ABC.如圖所示，以C為原點，分別以CA，CB所在直線為x，y軸，以過點C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)CBC4，C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,2)，E(4,0,4)，O(2,0,2)，M(2,2,0)，(0,4,2)，(2,4,0)，(2,2,2)設(shè)平面ODM的法向量為n(x，y，z)，則由n，n，可得令x2，得y1，z1.n(2,1,1)設(shè)直線CD和平面ODM所成角為，則sin .直線CD和平面ODM所成角的正弦值為.(3)解當(dāng)N是EM中點時，ON平面ABDE.方法一取EM中點N，連接ON，CM，ACBC，M為AB中點，CMAB.又平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，CM平面ABC，CM平面ABDE.N是EM中點，O為CE中點，ONCM，ON平面ABDE.方法二由(2)設(shè)N(a，b，c)，(a2，b2，c)，(4a，b,4c)點N在ME上，即(a2，b2，c)(4a，b,4c)，解得N(，)(0,0,2)是平面ABC的一個法向量，2，解得1.，即N是線段EM的中點，當(dāng)N是EM的中點時，ON平面ABDE.