2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題3 數(shù)列 第二講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 理2轉(zhuǎn)化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并3錯(cuò)位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列4倒序相加法這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，也就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序)，把它與原數(shù)列相加，若有公式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和5裂項(xiàng)相消法利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和1應(yīng)用問題一般文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng)，反映的事物背景陌生，知識(shí)涉及面廣，因此要解好應(yīng)用題，首先應(yīng)當(dāng)提高閱讀理解能力，將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言或數(shù)學(xué)符號(hào)，實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后再用數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理予以解決2數(shù)列應(yīng)用題一般是等比、等差數(shù)列問題，其中，等比數(shù)列涉及的范圍比較廣，如經(jīng)濟(jì)上涉及利潤(rùn)、成本、效益的增減，解決此類題的關(guān)鍵是建立一個(gè)數(shù)列模型an，利用該數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式或前n項(xiàng)和公式求解3解應(yīng)用問題的基本步驟判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn.()(2)當(dāng)n2時(shí)，.()(3)求Sna2a23a3nan之和時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得(×)(4)數(shù)列的前n項(xiàng)和為n2.(×)(5)若數(shù)列a1，a2a1，anan1是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an.()(6)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°sin22°sin23°sin288°sin289°44.5.()1(xx·福建卷)若a，b是函數(shù)f(x)x2pxq(p>0，q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則pq的值等于(D)A6B7C8D9解析：不妨設(shè)a>b，由題意得 a>0，b>0，則a，2，b成等比數(shù)列，a，b，2成等差數(shù)列， p5，q4， pq9.2(xx·新課標(biāo)卷)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1a3a53，則S5(A)A5 B7 C9 D11解析：解法一 a1a52a3， a1a3a53a33， a31， S55a35，故選A.解法二 a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3， a12d1， S55a1d5(a12d)5，故選A.3在數(shù)列an中，an，則：(1)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_；(2)數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和Tn_解析：(1)an×Sn×(1×2×30×1×2)(2×3×41×2×3)(3×4×52×3×4)n×(n1)×(n2)(n1)×n×(n1).(2)Sn ×n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2)Tn×(1×2×3×40×1×2×3)(2×3×4×51×2×3×4)n×(n1)×(n2)×6(n3)(n1)×n×(n1)×(n2).答案：(1)(2)4(xx·江蘇卷)設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為_解析：由題意有a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.又 a11， an(n2) 當(dāng)n1時(shí)也滿足此式， an(nN*) 2() S102() 2×(1).答案：一、選擇題1已知等差數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，若a1a2 0121，a2 0131 006，則使Sn取最值時(shí)n的值為(D)A1 005 B1 006C1 007 D1 006或1 0072設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a111，a3a76，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n(D)A9 B8 C7 D63等比數(shù)列an前n項(xiàng)的積為Tn，若a3a6a18是一個(gè)確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13，T17，T25中也是常數(shù)的項(xiàng)是(C)AT10 BT13 CT17 DT25解析：a3a6a18a1q2·a1q5·a1q17(a1q8)3(a9)3為定值T17a1a2a17(a1q8)17(a9)17也是定值4已知等比數(shù)列an滿足an0，n1，2，且a5·a2n522n(n3)，則當(dāng)n1時(shí)，log2a1log2a3log2a2n1(C)An(2n1) B(n1)2Cn2 D(n1)2解析：由a5·a2n522n(n3)得a22n，an0，則an2n，log2a1log2a3log2a2n113(2n1)n2.故選C.5公差不為零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項(xiàng)， S832，則S10(C)A18 B24 C60 D90解析：由aa3a7，得(a13d)2(a12d)(a16d)，得2a13d0，再由S88a1d32，得2a17d8，則d2，a13，所以S1010a1d60.故選C.6已知函數(shù)f(x)把函數(shù)g(x)f(x)x的零點(diǎn)按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為(B)Aan Bann1Cann(n1) Dan2n2解析：若0<x1，則1<x1<0，得f(x)f(x1)12x1, 若1<x2，則0<x11，得f(x)f(x1)12x21，若2<x3，則1<x12，得f(x)f(x1)12x32，若3<x4，則2<x1<3，得f(x)f(x1)12x43.以此類推，若n<xn1(其中nN)，則f(x)f(x1)12xn1n, 下面分析函數(shù)f(x)2x的圖象與直線yx1的交點(diǎn)很顯然，它們有兩個(gè)交點(diǎn)(0，1)和(1，2)，由于指數(shù)函數(shù)f(x)2x為增函數(shù)且圖象下凸，故它們只有這兩個(gè)交點(diǎn)將函數(shù)f(x)2x和yx1的圖象同時(shí)向下平移一個(gè)單位即得到函數(shù)f(x)2x1和yx的圖象，取x0的部分，可見它們有且僅有一個(gè)交點(diǎn)(0，0)即當(dāng)x0時(shí)，方程f(x)x0有且僅有一個(gè)根x0.取中函數(shù)f(x)2x1和yx圖象1<x0的部分，再同時(shí)向上和向右各平移一個(gè)單位，即得f(x)2x1和yx在0<x1上的圖象，顯然，此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋€(gè)交點(diǎn)(1，1)即當(dāng)0<x1時(shí)，方程f(x)x0有且僅有一個(gè)根x1.取中函數(shù)f(x)2x1和yx在0<x1上的圖象，繼續(xù)按照上述步驟進(jìn)行，即得到f(x)2x21和yx在1<x2上的圖象，顯然，此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋€(gè)交點(diǎn)(2，2)即當(dāng)1<x2時(shí)，方程f(x)x0有且僅有一個(gè)根x2.以此類推，函數(shù)yf(x)與yx在(2，3，(3，4，(n，n1上的交點(diǎn)依次為(3，3)，(4，4)，(n1，n1)即方程f(x)x0在(2，3，(3，4，(n，n1上的根依次為3，4，n1.綜上所述方程f(x)x0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為0，1，2，3，4，n1，其通項(xiàng)公式為ann1.故選B.二、填空題7對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線yxn(1x)在x2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an，則的前n項(xiàng)和是2n12解析：曲線yxn(1x)xnxn1，曲線導(dǎo)數(shù)為ynxn1(n1)xn，所以切線斜率為kn2n1(n1)2n(n2)2n1，切點(diǎn)為(2，2n)，所以切線方程為y2n(n2)2n1(x2)，令x0得，y2n(n2)2n，即y(n1)2n，所以an(n1)2n，所以2n，是以2為首項(xiàng)，q2為公比的等比數(shù)列，所以Sn2n12.8等比數(shù)列an的公比q0, 已知a21，an2an16an，則an的前4項(xiàng)和S4解析：由an2an16an得：qn1qn6qn1，即q2q60，q0，解得q2，又a21，所以a1，S4.三、解答題9已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a2anS2Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立(1)求a1，a2的值(2)設(shè)a10，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)n為何值時(shí)，Tn最大？并求出Tn的最大值解析：(1)取n1，得a2a1S2S12a1a2， 取n2，得a2a12a2， 由，得a2(a2a1)a2， 若a20, 由知a10，若a20，易知a2a11. 由得：a11，a22或a11，a22；綜上所述，a10，a20或a11，a22或a11，a22.(2)當(dāng)a1>0時(shí)，由(1)知， a11，a22；當(dāng)n2時(shí)，有(2)anS2Sn，(2)an1S2Sn1.兩式相減得(1)an(2)an1.所以anan1(n2)所以ana1()n1(1)×()n1.令bnlg，則bn1lg()n1lg.又b11，bnbn1lg 2，所以數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，lg 2為公差，且單調(diào)遞減的等差數(shù)列則b1>b2>>b7lglg 10.當(dāng)n8時(shí)，bnb8lg lg 10.所以，n7時(shí)，Tn取得最大值，且Tn的最大值為T77lg 2.10(xx·北京卷)已知數(shù)列an滿足：a1N*，a136，且an1(n1，2，)記集合Man|nN*(1)若a16，寫出集合M的所有元素；(2)若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；(3)求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值解析：(1)6，12，24.(2)證明：因?yàn)榧螹存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù)由an1可歸納證明對(duì)任意nk，an是3的倍數(shù)如果k1，則M的所有元素都是3的倍數(shù)如果k1，因?yàn)閍k2ak1或ak2ak136，所以2ak1是3的倍數(shù)，于是ak1是3的倍數(shù)類似可得，ak2，a1都是3的倍數(shù)從而對(duì)任意n1，an是3的倍數(shù)，因此M的所有元素都是3的倍數(shù)綜上，若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，則M的所有元素都是3的倍數(shù)(3)由a136，an可歸納證明an36(n2，3，)因?yàn)閍1是正整數(shù)，a2所以a2是2的倍數(shù)從而當(dāng)n3時(shí)，an是2的倍數(shù)如果a1是3的倍數(shù)，由(2)知對(duì)所有正整數(shù)n，an是3的倍數(shù)因此當(dāng)n3時(shí)，an12，24，36，這時(shí)M的元素個(gè)數(shù)不超過5.如果a1不是3的倍數(shù)，由(2)知對(duì)所有正整數(shù)n，an不是3的倍數(shù)因此當(dāng)n3時(shí)，an4，8，16，20，28，32，這時(shí)M的元素個(gè)數(shù)不超過8.當(dāng)a11時(shí)，M1，2，4，8，16，20，28，32有8個(gè)元素綜上可知，集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值為8.