第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和最新考綱1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第99頁(yè))1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為q(nN*，q為非零常數(shù))(2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)即G是a與b的等比中項(xiàng)a，G，b成等比數(shù)列G2ab.2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)通項(xiàng)公式：ana1qn1.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn3等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam·qnm(n，mN*)(2)若mnpq，則amanapaq；若2spr，則apara，其中m，n，p，q，s，rN*.(3)若數(shù)列an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an，a，an·bn，(0)仍然是等比數(shù)列(4)在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk.(5)當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比數(shù)列1“G2ab”是“a，G，b成等比數(shù)列”的必要不充分條件2若q0，q1，則Snkkqn(k0)是數(shù)列an成等比數(shù)列的充要條件，此時(shí)k.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)滿足an1qan(nN*，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列()(2)三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2ac.()(3)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列()(4)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)n an是等差數(shù)列()答案(1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改編1等比數(shù)列an中，a312，a418，則a6等于()A27B36C.D54C公比q，則a6a4q218×.2在等比數(shù)列an中，a3，S3，則a1，q的值分別為()A6，B6，C.，1D.，1或6，D由S3a1a2a3a3(q2q11)，得q2q113，即2q2q10，解得q1或q.當(dāng)q1時(shí)，a1；當(dāng)q時(shí)，a16，故選D.373與73的等比中項(xiàng)為_±2由G2(73)(73)4得G±2.4在9與243中間插入兩個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為_27,81設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，2439×q3，q327，q3.插入的兩個(gè)數(shù)分別為9×327,27×381.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第99頁(yè))考點(diǎn)1等比數(shù)列的基本運(yùn)算(1)等比數(shù)列基本運(yùn)算的通法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公比q，通過方程組求出結(jié)果，進(jìn)而解決問題，體現(xiàn)了方程的思想(2)在使用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)注意判斷公比q是不是1，從而選擇不同的求和公式(1)(2019·全國(guó)卷)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)和為15，且a53a34a1，則a3()A16B8C4D2(2)(2018·全國(guó)卷)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.求an的通項(xiàng)公式；記Sn為an的前n項(xiàng)和若Sm63，求m.(1)C(1)設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為q，則解得a3a1q24，故選C.(2)解設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)或q2或q2.故an(2)n1或an2n1.若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.把S4表示成S4a1a1qa1q2a1q3，不需要考慮q是不是1的情況，如本例T(1)教師備選例題已知等比數(shù)列an單調(diào)遞減，若a31，a2a4，則a1()A2B4C.D2B設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意知0q1，由a31，a2a4得，整理得2q25q20，解得q或q2(舍去)，所以a14，故選B.1.已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，若a22，S6S46a4，則a5()A4B10 C16D32C設(shè)公比為q(q0)，S6S4a5a66a4，因?yàn)閍22，所以2q32q412q2，即q2q60，所以q2或q3(舍去)，則a52×2316.2(2019·全國(guó)卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a11，S3，則S4_.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則ana1qn1qn1.a11，S3，a1a2a31qq2，即4q24q10，q，S4.3(2017·江蘇高考)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3，S6，則a8_.32設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則解得所以a8×272532.考點(diǎn)2等比數(shù)列的判定與證明判定等比數(shù)列的四種方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列(2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列an中，an0，且aan·an2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成anc·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snkqnk(k為常數(shù)且k0，q0,1)，則an是等比數(shù)列(2018·全國(guó)卷)已知數(shù)列an滿足a11，nan12(n1)an.設(shè)bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求an的通項(xiàng)公式解(1)由條件可得an1an.將n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.將n2代入得，a33a2，所以a312.從而b11，b22，b34.(2)bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列由條件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列(3)由(2)可得2n1，所以ann·2n1.本例中由bn12bn，不能判定bn是等比數(shù)列，還要驗(yàn)證b10.(2016·全國(guó)卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若S5，求.解(1)證明：由題意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是an.(2)由(1)得Sn1.由S5得1，即.解得1.教師備選例題設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，Sn14an2.(1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解(1)證明：由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首項(xiàng)b13，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知bnan12an3·2n1，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列(n1)·，故an(3n1)·2n2.考點(diǎn)3等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)轉(zhuǎn)化意識(shí)：在等比數(shù)列中，兩項(xiàng)之積可轉(zhuǎn)化為另外兩項(xiàng)之積或某項(xiàng)的平方，這是最常用的性質(zhì)(2)化歸意識(shí)：把非等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題解決，例如有關(guān)Sm，S2m，S3m的問題可利用Sm，S2mSm，S3mS2m成等比數(shù)列求解等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)(1)若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.(2)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an0，q1，a3a520，a2a664，則S5_.(1)50(2)31(1)因?yàn)閍10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)·(a2a19)··(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3a5a2a664，于是由且an0，q1，得a34，a516，所以解得所以S531.本例T(2)也可以先求出a1和q，再求S5，但運(yùn)算量大，易出錯(cuò)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)一題多解設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若，則_.(2)已知等比數(shù)列an共有2n項(xiàng)，其和為240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比q_.(1)(2)2(1)法一：(整體代入法)因?yàn)镾6S312，所以an的公比q1.由÷，得q3，所以.法二：(性質(zhì)法)由題意知S3，S6S3，S9S6成等比數(shù)列又，即S32S6，所以2S6，S6，S9S6成等比數(shù)列S9S6S6，即S9S6.(2)由題意，得解得所以q2.對(duì)于本例T(2)，熟練掌握S偶與S奇的關(guān)系為解答本題提供了保障，避免了繁瑣的運(yùn)算1.在等比數(shù)列an中，a3，a15是方程x26x20的根，則的值為()ABC.D或B設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閍3，a15是方程x26x20的根，所以a3·a15a2，a3a156，所以a30，a150，則a9，所以a9，故選B.2設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S21，S45，則S6等于()A9B21 C25D63B因?yàn)镾210，所以q1，由等比數(shù)列性質(zhì)得S2，S4S2，S6S4成等比數(shù)列，即1×(S65)(51)2，所以S621，故選B.考點(diǎn)4等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合計(jì)算等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合計(jì)算的策略(1)將已知條件轉(zhuǎn)化為等差與等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，利用方程思想和通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求解求解時(shí)，應(yīng)“瞄準(zhǔn)目標(biāo)”，靈活應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算過程求解方程中注意合理選擇有關(guān)公式，正確判斷是否需要分類討論(2)一定條件下，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，即an為等差數(shù)列a(a0且a1)為等比數(shù)列；an為正項(xiàng)等比數(shù)列l(wèi)ogaan(a0且a1)為等差數(shù)列(1)已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，且a3，a5，a4成等差數(shù)列，則的值是()A.B.C.D.(2)(2018·北京高考)設(shè)an是等差數(shù)列，且a1ln 2，a2a35ln 2.求an的通項(xiàng)公式；求eee.(1)A設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a3，a5，a4成等差數(shù)列可得a5a3a4，即a3q2a3a3q，故q2q10，解得q或q(舍去)，由，故選A.(2)解設(shè)an的公差為d.因?yàn)閍2a35ln 2，所以2a13d5ln 2.又a1ln 2，所以dln 2.所以ana1(n1)dnln 2.因?yàn)閑eln 22，eanan1eln 22，所以數(shù)列e是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列所以eee2×2(2n1)2n12.本例T(2)中，解答第問的關(guān)鍵是證明數(shù)列e是等比數(shù)列1.已知an為等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足b12，b25，且an(bn1bn)an1，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為()A3n1B3n1C.D.C設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，an(bn1bn)an1，bn1bnq(常數(shù))，即數(shù)列bn是等差數(shù)列，公差為q.b12，b25，q3，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為2n×3.故選C.2(2019·全國(guó)卷)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a12，a32a216.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得2q24q16，即q22q80.解得q2(舍去)或q4.因此an的通項(xiàng)公式為an2×4n122n1.(2)由(1)得bn(2n1)log222n1，因此數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為13(2n1)n2.- 10 -