第2章 函數(shù)全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式本章在高考中一般為23個客觀題2.考查內容高考中基礎題主要考查對基礎知識和基本方法的掌握主要涉及函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)的圖像，函數(shù)的奇偶性、單調性及周期性綜合，指數(shù)、對數(shù)運算以及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質，分段函數(shù)求函數(shù)值等3.備考策略(1)重視函數(shù)的概念和基本性質的理解：深刻把握函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、零點等概念研究函數(shù)的性質，注意分析函數(shù)解析式的特征，同時注意函數(shù)圖像的作用(2)重視對基本初等函數(shù)的研究，復習時通過選擇、填空題加以訓練和鞏固，將問題和方法進行歸納整理.第一節(jié)函數(shù)及其表示最新考綱1.了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用(函數(shù)分段不超過三段)1函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A，B設A，B是兩個非空的數(shù)集設A，B是兩個非空的集合對應關系f：AB如果按照某個對應關系f，對于集合A中的任何一個數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)和它對應集合A與B存在著對應關系f，對于集合A中的每一個元素x，集合B中總有唯一的元素y與之對應名稱把對應關系f叫作定義在集合A上的函數(shù)稱這種對應為從集合A到集合B的映射記法函數(shù)yf(x)，xA映射：f：AB2函數(shù)的有關概念(1)函數(shù)的定義域、值域：數(shù)集A叫作函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合f(x)|xA叫作函數(shù)的值域(2)函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)(4)函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法3分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內，對于定義域的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關系，這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù)分段函數(shù)是一個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集1常見函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于0.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R.(4)零次冪的底數(shù)不能為0.(5)yax(a0且a1)，ysin x，ycos x的定義域均為R.(6)ylogax(a0，a1)的定義域為x|x0(7)ytan x的定義域為.2基本初等函數(shù)的值域(1)ykxb(k0)的值域是R.(2)yax2bxc(a0)的值域：當a0時，值域為；當a0時，值域為.(3)y(k0)的值域是y|y0(4)yax(a0且a1)的值域是(0，)(5)ylogax(a0且a1)的值域是R.一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)對于函數(shù)f：AB，其值域是集合B.()(2)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是相等函數(shù)()(3)函數(shù)是一種特殊的映射()(4)若AR，B(0，)，f：xy|x|，則對應f可看作從A到B的映射()(5)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的()答案(1)×(2)×(3)(4)×(5)×二、教材改編1若函數(shù)yf(x)的定義域為Mx|2x2，值域為Ny|0y2，則函數(shù)yf(x)的圖像可能是() AB C DB由函數(shù)定義可知，選項B正確2函數(shù)y的定義域為()A.B(，3)(3，)C.(3，)D(3，)C由題意知解得x且x3.3下列函數(shù)中，與函數(shù)yx1是相等函數(shù)的是()Ay()2By1Cy1Dy1By1x1，且函數(shù)定義域為R，故選B.4設函數(shù)f(x)則f(f(3)_.f(3)，f(f(3)f211.5已知函數(shù)f(x)，若f(a)5，則實數(shù)a的值為_12由f(a)5得5，解得a12.考點1求函數(shù)的定義域已知函數(shù)解析式求定義域已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運算構成的，則它的定義域為各基本初等函數(shù)的定義域的交集(2)復合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內層函數(shù)的值域，從而確定對應的內層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可1.(2019·濟南模擬)函數(shù)yln(2x)的定義域為()A(0,2)B0,2)C(0,1D0,2B由題意知，x0且2x0，解得0x2，故其定義域是0,2)2函數(shù)f(x)的定義域為_(2，)要使函數(shù)f(x)有意義，則(log2x)210，即log2x1或log2x1，解得x2或0x，故所求函數(shù)的定義域是(2，)逆向問題若函數(shù)f(x)的定義域為x|1x2，則ab的值為_函數(shù)f(x)的定義域為x|1x2不等式ax2abxb0的解集為x|1x2可知a0，不等式化為a(x1)(x2)0，即ax23ax2a0.即ab.求函數(shù)定義域時，對函數(shù)解析式先不要化簡，求出定義域后，一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應該用并集符合“”連接(如T2)抽象函數(shù)的定義域抽象函數(shù)的定義域的求法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為a，b，則復合函數(shù)f(g(x)的定義域由ag(x)b求出(2)若已知函數(shù)f(g(x)的定義域為a，b，則f(x)的定義域為g(x)在xa，b時的值域已知函數(shù)f(x)的定義域是0,4，則f(x1)f(x1)的定義域是_1,3由題意知解得1x3.故f(x1)f(x1)的定義域為1,3逆向問題已知函數(shù)yf(x21)的定義域為，則函數(shù)yf(x)的定義域為_1,2因為yf(x21)的定義域為，所以x，x211,2，所以yf(x)的定義域為1,2函數(shù)f(g(x)的定義域為自變量x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍(如本例逆向問題)1.函數(shù)f(x)lg(3x1)的定義域是()ABCDA由題意可知解得x1，故選A.2函數(shù)f(x1)的定義域為0,2 020，則函數(shù)g(x)的定義域為_2,1)(1,2 018函數(shù)f(x1)的定義域為0，2 020，1x12 019.要使函數(shù)g(x)有意義，則解得2x2 018且x1.函數(shù)g(x)的定義域為2,1)(1,2 0183若函數(shù)f(x)的定義域為實數(shù)集R，則實數(shù)a的取值范圍為_2,2函數(shù)f(x)的定義域為R，a240，即2a2.考點2求函數(shù)的解析式求函數(shù)解析式的4種方法及適用條件(1)待定系數(shù)法先設出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質，或將已知條件代入，建立方程(組)，通過解方程(組)求出相應的待定系數(shù)(2)換元法對于形如yf(g(x)的函數(shù)解析式，令tg(x)，從中求出x(t)，然后代入表達式求出f(t)，再將t換成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范圍(3)配湊法由已知條件f(g(x)F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(4)解方程組法已知關于f(x)與f或f(x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)(1)一題多解已知二次函數(shù)f(2x1)4x26x5，求f(x)；(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)2f(x)2x，求f(x)解(1)法一：(待定系數(shù)法)因為f(x)是二次函數(shù)，所以設f(x)ax2bxc(a0)，則f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc.因為f(2x1)4x26x5，所以解得所以f(x)x25x9(xR)法二：(換元法)令2x1t(tR)，則x，所以f(t)426·5t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR)法三：(配湊法)因為f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9(xR)(2)(解方程組法)由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，×2，得3f(x)2x12x，即f(x).故f(x)的解析式是f(x)(xR)謹防求函數(shù)解析式的2種失誤(1)在求函數(shù)解析式時，一定要注意自變量的范圍，也就是定義域問題求出解析式后要標注x的取值范圍(2)利用換元法求解析式時要注意新元的取值范圍如已知f()x1，求函數(shù)f(x)的解析式，可通過換元的方法得f(x)x21，函數(shù)f(x)的定義域是0，)，而不是(，)1.如果f，則當x0且x1時，f(x)等于()ABC.D1B(換元法)令t，得x(t0且t1)，f(t)(t0且t1)，f(x)(x0且x1)2已知f，則f(x)()A(x1)2B(x1)2Cx2x1Dx2x1C(配湊法)f21，所以f(x)x2x1.3已知f(x)滿足2f(x)f3x，則f(x)_.2x(x0)(解方程組法)2f(x)f3x，把中的x換成，得2ff(x).聯(lián)立可得解此方程組可得f(x)2x(x0)4已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式解(待定系數(shù)法)設f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x(xR)考點3分段函數(shù)求函數(shù)值解決分段函數(shù)有關問題的關鍵是“分段歸類”，即自變量的取值屬于哪一段范圍，就用哪一段的解析式來解決問題(1)(2019·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)則f(f(1)()AB2 C4D11(2)(2019·石家莊模擬)已知f(x)(0a1)，且f(2)5，f(1)3，則f(f(3)()A2B2 C3D3(1)C(2)B(1)因為f(1)1223，所以f(f(1)f(3)34.故選C.(2)由題意得，f(2)a2b5，f(1)a1b3，聯(lián)立，結合0a1，得a，b1，所以f(x)則f(3)319，f(f(3)f(9)log392，故選B.求分段函數(shù)的函數(shù)值的策略(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對應的解析式求值(2)當出現(xiàn)f(f(a)的形式時，應從內到外依次求值(3)當自變量的值所在區(qū)間不確定時，要分類討論，分類標準應參照分段函數(shù)不同段的端點教師備選例題已知函數(shù)f(x)則f的值為()A1B1CDB依題意得ff1f112cos22×21.故選B.求參數(shù)或自變量的值解決此類問題時，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結果合起來(取并集)即可(1)已知函數(shù)f(x)且f(a)3，則f(6a)_.(2)設函數(shù)f(x)若f(f(a)2，則a_.(1)(2)(1)當a1時，f(a)2a23，無解；當a1時，由f(a)log2(a1)3，得a18，解得a7，所以f(6a)f(1)212.(2)當a0時，f(a)a20，f(f(a)a42a222，得a(a0與a舍去)當a0時，f(a)a22a2(a1)210，f(f(a)(a22a2)22，此方程無解故a.求解本題的關鍵是就a的取值討論f(a)的情形，另本題也可作出f(x)的圖像，數(shù)形結合求解，即f(a)0或f(a)2，從而求得a的值分段函數(shù)與方程、不等式問題解由分段函數(shù)構成的不等式，一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進行分類討論如果分段函數(shù)的圖像比較容易畫出，也可以畫出函數(shù)圖像后，結合圖像求解(2018·全國卷)設函數(shù)f(x)則滿足f(x1)<f(2x)的x的取值范圍是()A(，1B(0，)C(1,0)D(，0)D當x0時，函數(shù)f(x)2x是減函數(shù)，則f(x)f(0)1.作出f(x)的大致圖像如圖所示，結合圖像可知，要使f(x1)<f(2x)，則需或所以x<0，故選D.本例借助圖像較直觀地求解得出不等式的解集，另注意求解時要思考全面，需考慮變量可能落在同一區(qū)間，也可能落在不同區(qū)間的情況教師備選例題設函數(shù)f(x)則滿足f(x)f1的x的取值范圍是_根據(jù)分段函數(shù)的性質分情況討論，當x0時，則f(x)fx1x11，解得x0.當x0時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質以及一次函數(shù)的性質與圖像可得，f(x)f1恒成立，所以x的取值范圍是.1.已知f(x)則f f 的值等于()A2B4 C2D4B由題意得f 2×，f f f 2×，所以f f 4.2已知函數(shù)f(x)則使f(x)2的x的集合是()A.B1,4C.DA由f(x)2得或由知無解由得x或x4.故選A.3(2019·深圳模擬)已知函數(shù)f(x)則不等式f(x)0的解集是_(1,4)不等式f(x)0等價于或即2x4或1x2，故不等式f(x)0的解集為(1,4)課外素養(yǎng)提升數(shù)學抽象函數(shù)的新定義問題以學習過的函數(shù)相關知識為基礎，通過一類問題共同特征的“數(shù)學抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基礎上，解決新問題【例】(2019·深圳模擬)在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，若函數(shù)f(x)的圖像恰好經(jīng)過n(nN)個整點，則稱函數(shù)f(x)為n階整點函數(shù)給出下列函數(shù)：f(x)sin 2x；g(x)x3；h(x)x；(x)ln x.其中是一階整點函數(shù)的是()ABCDC對于函數(shù)f(x)sin 2x，它的圖像(圖略)只經(jīng)過一個整點(0,0)，所以它是一階整點函數(shù)，排除D；對于函數(shù)g(x)x3，它的圖像(圖略)經(jīng)過整點(0,0)，(1,1)，所以它不是一階整點函數(shù)，排除A；對于函數(shù)h(x)x，它的圖像(圖略)經(jīng)過整點(0,1)，(1,3)，所以它不是一階整點函數(shù)，排除B.故選C.評析本題意在考查考生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)破解新定義函數(shù)題的關鍵是：緊扣新定義的函數(shù)的含義，學會語言的翻譯、新舊知識的轉化，便可使問題順利獲解如本例，若能把新定義的一階整點函數(shù)轉化為函數(shù)f(x)的圖像恰好經(jīng)過1個整點，問題便迎刃而解【素養(yǎng)提升練習】1.若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，則函數(shù)解析式為yx21，值域為1,3的同族函數(shù)有()A1個B2個 C3個D4個C由x211得x0，由x213得x±，所以函數(shù)的定義域可以是0，0，0，故值域為1,3的同族函數(shù)共有3個2若定義在R上的函數(shù)f(x)當且僅當存在有限個非零自變量x，使得f(x)f(x)，則稱f(x)為“類偶函數(shù)”，則下列函數(shù)中為類偶函數(shù)的是()Af(x)cos xBf(x)sin xCf(x)x22xDf(x)x32xDA中函數(shù)為偶函數(shù)，則在定義域內均滿足f(x)f(x)，不符合題意；B中，當xk(kZ)時，滿足f(x)f(x)，不符合題意；C中，由f(x)f(x)，得x22xx22x，解得x0，不符合題意；D中，由f(x)f(x)，得x32xx32x，解得x0或x±，滿足題意，故選D.12