第四節(jié)變量間的相關關系、統(tǒng)計案例最新考綱1.會作兩個相關變量的數據的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系.2.了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程.3.了解獨立性檢驗的基本思想、方法及其初步應用.4.了解回歸分析的基本思想、方法及簡單應用(對應學生用書第184頁)1相關性(1)線性相關若兩個變量x和y的散點圖中，所有點看上去都在一條直線附近波動，則稱變量間是線性相關的(2)非線性相關若所有點看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動，則稱此相關為非線性相關的(3)不相關如果所有的點在散點圖中沒有顯示任何關系，則稱變量間是不相關的2最小二乘估計(1)最小二乘法如果有n個點(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)可以用下面的表達式來刻畫這些點與直線yabx的接近程度：y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2.使得上式達到最小值的直線yabx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法(2)線性回歸方程方程ybxa是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的線性回歸方程，其中a，b是待定參數3回歸分析(1)定義：對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關關系的數據(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中，(，)稱為樣本點的中心(3)相關系數rr；當r>0時，稱兩個變量正相關當r<0時，稱兩個變量負相關當r0時，稱兩個變量線性不相關4獨立性檢驗若一個2×2列聯(lián)表為：BAB1B2總計A1ababA2cdcd總計acbdnabcd則統(tǒng)計量2為：2.(1)當22.706時，可以認為變量A，B是沒有關聯(lián)的；(2)當2>2.706時，有90%的把握判定變量A，B有關聯(lián)；(3)當2>3.841時，有95%的把握判定變量A，B有關聯(lián)；(4)當2>6.635時，有99%的把握判定變量A，B有關聯(lián)1線性回歸方程ybxa一定過樣本點的中心(，)2由回歸直線求出的數據是估算值，不是精確值一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關關系()(2)只有兩個變量有相關關系，所得到的回歸模型才有預測價值()(3)回歸直線方程x至少經過點(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的一個點()(4)若事件X，Y關系越密切，則由觀測數據計算得到的2的觀測值越小. ()答案(1)(2)(3)×(4)×二、教材改編1下面是2×2列聯(lián)表：則表中a，b的值分別為()y1y2合計x1a2173x2222547合計b46120A.94,72B52,50C52,74D74,52Ca2173，a52.又a22b，b74.2已知變量x與y正相關，且由觀測數據算得樣本平均數3，3.5，則由該觀測數據算得的線性回歸方程可能是()A.0.4x2.3B.2x2.4C.2x9.5D.0.3x4.4A因為變量x和y正相關，排除選項C，D.又樣本中心(3,3.5) 在回歸直線上，排除B，選項A滿足3已知x，y的取值如下表，從散點圖可以看出y與x具有線性相關關系，且回歸方程為0.95x，則_.x0134y2.24.34.86.72.6回歸直線必過樣本點的中心(，)，又2，4.5，代入回歸方程，得2.6.4為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關系，現隨機抽取50名學生，得到如下列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知P(23.841)0.05，P(25.024)0.025.根據表中數據，得到2的觀測值為4.844.則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性為_5%2的觀測值k4.844，這表明小概率事件發(fā)生根據假設檢驗的基本原理，應該斷定“是否選修文科與性別之間有關系”成立，并且這種判斷出錯的可能性約為5%.(對應學生用書第185頁)考點1變量間的相關關系的判斷判定兩個變量正、負相關性的方法(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關(2)相關系數：r>0時，正相關；r<0時，負相關(3)線性回歸方程中：>0時，正相關；<0時，負相關1.觀察下列各圖形，其中兩個變量x，y具有相關關系的圖是()ABCDC圖形具有正線性相關關系，圖形具有非線性相關關系，故選C.2已知變量x和y滿足關系y0.1x1，變量y與z正相關下列結論中正確的是()Ax與y正相關，x與z負相關Bx與y正相關，x與z正相關Cx與y負相關，x與z負相關Dx與y負相關，x與z正相關C因為y0.1x1的斜率小于0，故x與y負相關因為y與z正相關，可設zy，0，則zy0.1x，故x與z負相關3某統(tǒng)計部門對四組數據進行統(tǒng)計分析后，獲得如圖所示的散點圖，關于相關系數的比較，其中正確的是()Ar4r20r1r3Br2r40r1r3Cr2r40r3r1Dr4r20r3r1C根據散點圖的特征，數據大致呈增長趨勢的是正相關，數據呈遞減趨勢的是負相關；數據越集中在一條直線附近，說明相關性越強，由題中數據可知：(1)(3)為正相關，(2)(4)為負相關；故r1>0，r3>0；r2<0，r40；又(1)與(2)中散點圖更接近于一條直線，故r1>r3，r2<r4, 因此，r2<r4<0<r3<r1，故選C.(1)變量間的相關關系分線性相關關系和非線性相關關系，如T1.(2)對相關系數r來說，|r|越接近于1，散點圖越接近于一條直線，如T3.考點2線性回歸分析線性回歸分析問題的類型及解題方法(1)求回歸方程利用公式，求出回歸系數.利用回歸直線過樣本點的中心求系數.(2)利用回歸方程進行預測，把線性回歸方程看作一次函數，求函數值(3)利用回歸直線判斷正、負相關；決定正相關還是負相關的是系數.(4)回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數判斷，當|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關性越強下圖是我國2012年至2018年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖注：年份代碼17分別對應年份20122018.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；(2)建立y關于t的回歸方程(系數精確到0.01)，預測2020年我國生活垃圾無害化處理量附注：參考數據：yi9.32，tiyi40.17，0.55，2.646.回歸方程t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： 解(1)由折線圖中數據和附注中參考數據得因為y與t的相關系數近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系(2)由1.331及(1)得所以y關于t的回歸方程為0.930.10t.將2020年對應的t9代入回歸方程得0.930.10×91.83.所以預測2020年我國生活垃圾無害化處理量約為1.83億噸在計算時，應根據所給數據對公式進行合理變形，如 教師備選例題下表是某學生在4月份開始進入沖刺復習至高考前的5次大型聯(lián)考數學成績(分)：聯(lián)考次數x(1x5，xN*)12345數學分數y(0y150)117127125134142(1)請畫出上表數據的散點圖：(2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程； 若在4月份開始進入沖刺復習前，該生的數學分數最好為116分，并以此作為初始分數，利用上述回歸方程預測高考的數學成績，并以預測高考成績作為最終成績，求該生4月份后復習提高率(復習提高率×100%，分數取整數)附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為 解(1)散點圖如圖：(2)由題得，3，129，xiyi1 992，x55,525×3245,55×3×1291 935，所以5.7，1295.7×3111.9，故y關于x的線性回歸方程為y5.7x111.9.由上述回歸方程可得高考應該是第六次考試，故x6，則y5.7×6111.9146.1146(分)，故凈提高分為14611630(分)，所以該生的復習提高率為×100%20%.1.經過對中學生記憶能力x和識圖能力y進行統(tǒng)計分析，得到如下數據：記憶能力x46810識圖能力y3568由表中數據，求得線性回歸方程為x，若某中學生的記憶能力為14，則該中學生的識圖能力為()A7B9.5C11.1D12Cx的平均數(46810)7，y的平均數(3568)5.5，回歸方程過點(，)，即(7,5.5)，則5.50.8×7，得0.1，則0.8x0.1，則當x14時，y0.8×140.111.20.111.1，即該中學生的識圖能力為11.1，故選C.2二手車經銷商小王對其所經營的A型號二手汽車的使用年數x與銷售價格y(單位：萬元/輛)進行整理，得到如下數據：使用年數x234567售價y201286.44.43zln y3.002.482.081.861.481.10z關于x的折線圖，如圖所示：(1)由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合z與x的關系，請用相關系數加以說明；(2)求y關于x的回歸方程，并預測某輛A型號二手車當使用年數為9年時售價約為多少(，小數點后保留兩位有效數字)解(1)由題意，知×(234567)4.5，×(32.482.081.861.481.10)2，r0.99，z與x的相關系數大約為0.99，說明z與x的線性相關程度很高(2)0.36，20.36×4.53.62，z與x的線性回歸方程是0.36x3.62，又zln y，y關于x的回歸方程是e0.36x3.62.令x9，得e0.36×93.62e0.38，ln 1.460.38，1.46，即預測某輛A型號二手車當使用年數為9年時售價約為1.46萬元考點3獨立性檢驗獨立性檢驗的一般步驟(1)根據樣本數據制成2×2列聯(lián)表；(2)根據公式2，計算2的觀測值k的值；(3)查表比較2的觀測值k與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計判斷(2019·全國卷)某商場為提高服務質量，隨機調查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020(1)分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？附：2P(2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解(1)由調查數據知，男顧客中對該商場服務滿意的比率為0.8，因此男顧客對該商場服務滿意的概率的估計值為0.8.女顧客中對該商場服務滿意的比率為0.6，因此女顧客對該商場服務滿意的概率的估計值為0.6.(2)2的觀測值k4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異對于“估計概率”問題，一般是用頻率代替概率教師備選例題有人發(fā)現，多看電視容易使人變冷漠，下表是一個調查機構對此現象的調查結果：冷漠不冷漠總計多看電視6842110少看電視203858總計8880168附表：P(2k)0.0500.010k3.8416.635則在犯錯誤的概率不超過多少的前提下認為多看電視與人冷漠有關系()A0.01B0.025C0.05D0.10A2的觀測值k11.377，又11.3776.635，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為多看電視與人變冷漠有關系，故選A.(2017·全國卷)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg”，估計A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關；箱產量50 kg箱產量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據箱產量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較附：P(2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.8282.解(1)舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg的頻率為(0.0120.0140.0240.0340.040)×50.62.因此，事件A的概率估計值為0.62.(2)根據箱產量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產量<50 kg箱產量50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法34662的觀測值k15.705.由于15.7056.635，故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關(3)箱產量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數)在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數)在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度高，因此，可以認為新養(yǎng)殖法的箱產量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法- 12 -