第12章 選修4-4全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式本章在高考中考查1道解答題，分值10分.2.考查內(nèi)容高考對本章內(nèi)容的考查主要有以下兩個方面(1)極坐標與直角坐標的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化；(2)極坐標、參數(shù)方程的應用.3.備考策略(1)熟練掌握解決以下問題的方法和規(guī)律極坐標與直角坐標、參數(shù)方程與普通方程的互化問題；極坐標的定義及應用問題；參數(shù)方程的定義及應用問題.(2)重視數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用.第一節(jié)坐標系最新考綱1.了解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化.3.能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程(對應學生用書第204頁)1平面直角坐標系中的坐標伸縮變換設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換：的作用下，點P(x，y)對應到點P(x，y)，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換2極坐標系的概念(1)極坐標系如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；從極點O引一條射線Ox，叫做極軸；選定一個單位長度、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系(2)極坐標極徑：設M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為.極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為.極坐標：有序數(shù)對(，)叫做點M的極坐標，記為M(，)一般不作特殊說明時，我們認為0，可取任意實數(shù)3極坐標與直角坐標的互化設M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(，)，則它們之間的關系為：4常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為r的圓r(02)圓心為(r,0)半徑為r的圓2rcos_圓心為，半徑為r的圓2rsin_(0)過極點，傾斜角為的直線(R) 或(R)過點(a,0)，與極軸垂直的直線cos a過點，與極軸平行的直線sin_a(0)一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應關系，在極坐標系中點與坐標也是一一對應關系()(2)若點P的直角坐標為(1，)，則點P的一個極坐標是.()(3)在極坐標系中，曲線的極坐標方程不是唯一的()(4)極坐標方程(0)表示的曲線是一條直線()答案(1)×(2)(3)(4)×二、教材改編1若點P的直角坐標為(3，)，則點P的極坐標為()A.B.C.D.C因為點P(3，)在第二象限，與原點的距離為2，且OP與x軸所成的角為，所以點P的極坐標為.2若以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段y1x(0x1)的極坐標方程為()A，0B，0Ccos sin ，0Dcos sin ，0Ay1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)，.3在極坐標系中，A，B兩點間的距離為_6法一：(數(shù)形結(jié)合)在極坐標系中，A，B兩點如圖所示，|AB|OA|OB|6.法二：A，B的直角坐標系為A(1，)，B(2,2)，|AB|6.4在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系若曲線C的極坐標方程為2sin ，則曲線C的直角坐標方程為_x2y22y0由2sin ，得22sin ，即x2y22y.(對應學生用書第205頁)考點1平面直角坐標系下圖形的伸縮變換伸縮變換后方程的求法平面上的曲線yf(x)在變換：的作用下的變換方程的求法是將代入yf(x)，得f，整理之后得到y(tǒng)h(x)，即為所求變換之后的方程1.求雙曲線C：x21經(jīng)過：變換后所得曲線C的焦點坐標解由伸縮變換得到代入x21得1，化簡得1.即曲線C的方程為1，則曲線C是雙曲線，其焦點坐標為(5,0)和(5,0)2若函數(shù)yf(x)的圖像在伸縮變換：的作用下得到曲線的方程為y3sin，求函數(shù)yf(x)的最小正周期解由題意，把變換公式代入曲線y3sin得3y3sin，整理得ysin，故f(x)sin.所以函數(shù)f(x)的最小正周期為.3將圓x2y21變換為橢圓1的一個伸縮變換公式：(，0)，求，的值解將變換后的橢圓1改寫為1，把伸縮變換公式：(，0)代入上式得：1，即x2y21，與x2y21比較系數(shù)得所以應用伸縮變換時，要分清變換前的點的坐標(x，y)與變換后的點的坐標(x，y)考點2極坐標與直角坐標的互化1極坐標方程與直角坐標方程的互化方法(1)直角坐標方程化為極坐標方程：將公式xcos 及ysin 直接代入直角坐標方程并化簡即可(2)極坐標方程化為直角坐標方程：通過變形，構造出形如cos ，sin ，2的形式，再應用公式進行代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形技巧2極角的確定由tan 確定角時，應根據(jù)點P所在象限取最小正角(1)當x0時，角才能由tan 按上述方法確定(2)當x0時，tan 沒有意義，這時可分三種情況處理：當x0，y0時，可取任何值；當x0，y0時，可??；當x0，y0時，可取.一題多解(2019·江蘇高考)在極坐標系中，已知兩點A，B，直線l的方程為sin3.(1)求A，B兩點間的距離；(2)求點B到直線l的距離解(1)法一：(使用余弦定理)設極點為O，在AOB中，A，B，由余弦定理得|AB|.法二：(化為直角坐標)點A的直角坐標為，點B的直角坐標為(0，)，則|AB|.(2)由sin3得sin cos 3，所以直線l的直角坐標方程為xy30，又點B的直角坐標為(0，)，則點B到直線l的距離d2.把極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，然后利用平面解析幾何的知識解決問題，這是常用的方法教師備選例題在極坐標系中，直線l的方程為sin2，曲線C的方程為4cos ，求直線l被曲線C截得的弦長解因為曲線C的極坐標方程為4cos ，化成直角坐標方程為(x2)2y24，所以曲線C是圓心為(2,0)，直徑為4的圓因為直線l的極坐標方程為sin2，化成直角坐標方程為y(x4)，則直線l過A(4,0)，傾斜角為，所以A為直線l與圓C的一個交點設另一個交點為B，則OAB，如圖，連接OB，因為OA為直徑，從而OBA，所以AB4cos2.所以直線l被曲線C截得的弦長為2.1.在極坐標系下，已知圓O：cos sin 和直線l：sin(0,02)(1)求圓O和直線l的直角坐標方程；(2)當(0，)時，求直線l與圓O的公共點的極坐標解(1)圓O：cos sin ，即2cos sin ，故圓O的直角坐標方程為x2y2xy0，直線l：sin，即sin cos 1，則直線l的直角坐標方程為xy10.(2)將兩直角坐標方程聯(lián)立得解得即圓O與直線l在直角坐標系下的公共點為(0,1)，將(0,1)轉(zhuǎn)化為極坐標為即為所求2已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為2，22·cos2.(1)求圓O1和圓O2的直角坐標方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程解(1)由2知24，所以圓O1的直角坐標方程為x2y24.因為22cos2，所以222，所以圓O2的直角坐標方程為x2y22x2y20.(2)將兩圓的直角坐標方程相減，得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為xy1.化為極坐標方程為cos sin 1，即sin.考點3求曲線的極坐標方程求簡單曲線的極坐標方程的方法(1)設點M(，)為曲線上任意一點，由已知條件，構造出三角形，利用三角函數(shù)及正、余弦定理求解|OM|與的關系(2)先求出曲線的直角坐標方程，再利用極坐標與直角坐標的變換公式，把直角坐標方程化為極坐標方程(2019·全國卷)如圖，在極坐標系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圓的圓心分別是(1,0)，(1，)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧.(1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標方程；(2)曲線M由M1，M2，M3構成，若點P在M上，且|OP|，求P的極坐標解(1)由題設可得，弧，所在圓的極坐標方程分別為2cos ，2sin ，2cos .所以M1的極坐標方程為2cos ，M2的極坐標方程為2sin ，M3的極坐標方程為2cos .(2)設P(，)，由題設及(1)知若0，則2cos ，解得；若，則2sin ，解得或；若，則2cos ，解得.綜上，P的極坐標為或或或.本題易錯點有二：一是第(1)問沒有對圓的極坐標方程進行范圍限制；二是寫點P的極坐標時，當時，只得到一個結(jié)果在極坐標系中，圓C是以點C為圓心，2為半徑的圓(1)求圓C的極坐標方程；(2)求圓C被直線l：(R)所截得的弦長解(1)圓C是將圓4cos 繞極點按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的圓，所以圓C的極坐標方程是4cos.(2)將代入圓C的極坐標方程4cos得2，所以圓C被直線l所截得的弦長為2.考點4曲線極坐標方程的應用利用極坐標系解決問題的技巧(1)用極坐標系解決問題時要注意題目中的幾何關系，如果幾何關系不容易通過極坐標表示時，可以先化為直角坐標方程，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決(2)已知極坐標方程解答最值問題時，通?？赊D(zhuǎn)化為三角函數(shù)模型求最值問題，其比直角坐標系中求最值的運算量小(2017·全國卷)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為cos 4.(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；(2)設點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解(1)設點P的極坐標為(，)(>0)，點M的極坐標為(1，)(1>0)由題設知|OP|，|OM|1.由|OM|·|OP|16得C2的極坐標方程為4cos (0)因此C2的直角坐標方程為(x2)2y24(x0)(2)設點B的極坐標為(B，)(B>0)由題設知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面積S|OA|·B·sinAOB4cos ·22.當時，S取得最大值2.所以OAB面積的最大值為2.在曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，注意轉(zhuǎn)化的等價性教師備選例題已知曲線C的極坐標方程為2，以極點為平面直角坐標系的原點O，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系(1)求曲線C的直角坐標方程；(2)A，B為曲線C上兩點，若OAOB，求的值解(1)由2得2cos292sin29，將xcos ，ysin 代入得到曲線C的直角坐標方程是y21.(2)因為2，所以sin2，由OAOB，設A(1，)，則點B的坐標可設為，所以sin2cos21.在直角坐標系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程為(R)，設C2與C3的交點為M，N，求C2MN的面積解(1)因為xcos ，ysin ，所以C1的極坐標方程為cos 2，C2的極坐標方程為22cos 4sin 40.(2)將代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半徑為1，所以C2MN的面積為.- 10 -