第四節(jié)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式(對應(yīng)學(xué)生用書第47頁)考點1作差法構(gòu)造函數(shù)證明不等式(1)欲證函數(shù)不等式f(x)g(x)(xa)，只需證明f(x)g(x)0(xa)，設(shè)h(x)f(x)g(x)，即證h(x)0(xa)若h(a)0，h(x)h(a)(xa)接下來往往用導(dǎo)數(shù)證得函數(shù)h(x)是增函數(shù)即可(2)欲證函數(shù)不等式f(x)g(x)(xI，I是區(qū)間)，只需證明f(x)g(x)0(xI)設(shè)h(x)f(x)g(x)(xI)，即證h(x)0(xI)，也即證h(x)min0(xI)(若h(x)min不存在，則須求函數(shù)h(x)的下確界)，而這用導(dǎo)數(shù)往往容易解決已知函數(shù)f(x)axxln x在xe2(e為自然對數(shù)的底數(shù))處取得極小值(1)求實數(shù)a的值；(2)當(dāng)x1時，求證：f(x)3(x1)解(1)因為f(x)定義域為(0，)，f(x)axxln x，所以f(x)aln x1，因為函數(shù)f(x)在xe2處取得極小值，所以f(e2)0，即aln e210，所以a1，所以f(x)ln x2.當(dāng)f(x)0時，xe2；當(dāng)f(x)0時，0xe2，所以f(x)在(0，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，)上單調(diào)遞增，所以f(x)在xe2處取得極小值，符合題意，所以a1.(2)證明：由(1)知a1，所以f(x)xxln x.令g(x)f(x)3(x1)，即g(x)xln x2x3(x0)g(x)ln x1，由g(x)0，得xe.由g(x)0，得xe；由g(x)0，得0xe.所以g(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，)上單調(diào)遞增，所以g(x)在(1，)上的最小值為g(e)3e0.于是在(1，)上，都有g(shù)(x)g(e)0，所以f(x)3(x1)將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來證明不等式，其主要思想是依據(jù)函數(shù)在固定區(qū)間的單調(diào)性，直接求得函數(shù)的最值，然后由f(x)f(x)max或f(x)f(x)min直接證得不等式(2019·廣州模擬)已知函數(shù)f(x)exax(e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù))的圖像在點(0,1)處的切線斜率為1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x0時，x2ex.解(1)由f(x)exax，得f(x)exa.因為f(0)1a1，所以a2，所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2，當(dāng)xln 2時，f(x)0，f(x)在(，ln 2)上單調(diào)遞減；當(dāng)xln 2時，f(x)0，f(x)在(ln 2，)上單調(diào)遞增所以當(dāng)xln 2時，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln 2)eln 22ln 222ln 2，f(x)無極大值(2)證明：令g(x)exx2，則g(x)ex2x.由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)0，故g(x)在R上單調(diào)遞增所以當(dāng)x0時，g(x)g(0)10，即x2ex.考點2拆分法構(gòu)造函數(shù)證明不等式若f(x)ming(x)max，則f(x)g(x)，常借助此結(jié)論，將要證明的不等式拆、分成兩個函數(shù)，然后比較它們的最值設(shè)函數(shù)f(x)ax2(x1)ln x，曲線yf(x)在點(1，f(1)處切線的斜率為0.(1)求a的值；(2)求證：當(dāng)0x2時，f(x)x.解(1)f(x)2axln x1，由題意，可得f(1)2a20，所以a1.(2)證明：由(1)得f(x)x2(x1)ln x，要證當(dāng)0x2時，f(x)x，只需證當(dāng)0x2時，xln x，即xln x.令g(x)xln x，h(x)，令g(x)10，得x1，易知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,2上單調(diào)遞增，故當(dāng)0x2時，g(x)ming(1)1.因為h(x)，當(dāng)0x2時，h(x)0，所以h(x)在(0,2上單調(diào)遞增，故當(dāng)0x2時，h(x)maxh(2)1，即h(x)maxg(x)min.故當(dāng)0x2時，h(x)g(x)，即當(dāng)0x2時，f(x)x.在證明的不等式中，若對不等式的變形無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，可以借助兩個函數(shù)的最值進(jìn)行證明已知函數(shù)f(x)eln xax(aR)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)ae時，求證：xf(x)ex2ex0.解(1)f(x)a(x0)，若a0，則f(x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；若a0，令f(x)0，得x，則當(dāng)0x時，f(x)0；當(dāng)x時，f(x)0，故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)證明：因為x0，所以只需證f(x)2e，當(dāng)ae時，由(1)知，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，所以f(x)maxf(1)e.記g(x)2e(x0)，則g(x)，當(dāng)0x1時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x1時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)ming(1)e.綜上，當(dāng)x0時，f(x)g(x)，即f(x)2e，即xf(x)ex2ex0.考點3換元法構(gòu)造函數(shù)證明不等式換元法構(gòu)造函數(shù)證明不等式的基本思路是直接消掉參數(shù)a，再結(jié)合所證問題，巧妙引入變量c，從而構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)其解題要點為：聯(lián)立消參利用方程f(x1)f(x2)消掉解析式中的參數(shù)a抓商構(gòu)元令c，消掉變量x1，x2，構(gòu)造關(guān)于c的函數(shù)h(c)用導(dǎo)求解利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)h(c)的最小值，從而可證得結(jié)論已知函數(shù)f(x)ln xax(x0)，a為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2(x1x2)求證：x1x2e2.證明不妨設(shè)x1x20，因為ln x1ax10，ln x2ax20，所以ln x1ln x2a(x1x2)，ln x1ln x2a(x1x2)，所以a，欲證x1x2e2，即證ln x1ln x22.因為ln x1ln x2a(x1x2)，所以即證a，所以原問題等價于證明，即ln ，令c(c1)，則不等式變?yōu)閘n c.令h(c)ln c，c1，所以h(c)0，所以h(c)在(1，)上單調(diào)遞增，所以h(c)h(1)ln 100，即ln c0(c1)，因此原不等式x1x2e2得證破解含雙參不等式證明題的三個關(guān)鍵點(1)轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式(2)巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值(3)回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果已知函數(shù)f(x)ln xax2x，aR.(1)當(dāng)a0時，求函數(shù)f(x)的圖像在(1，f(1)處的切線方程；(2)若a2，正實數(shù)x1，x2滿足f(x1)f(x2)x1x20，求證：x1x2.解(1)當(dāng)a0時，f(x)ln xx，則f(1)1，所以切點(1,1)，又因為f(x)1，所以切線斜率kf(1)2，故切線方程為y12(x1)，即2xy10.(2)證明：當(dāng)a2時，f(x)ln xx2x(x0)由f(x1)f(x2)x1x20，得ln x1xx1ln x2xx2x1x20，從而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)，令tx1x2(t0)，令(t)tln t，得(t)1，易知(t)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，所以(t)(1)1，所以(x1x2)2(x1x2)1，因為x10，x20，所以x1x2成立.課外素養(yǎng)提升邏輯推理用活兩個經(jīng)典不等式(對應(yīng)學(xué)生用書第49頁)邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證利用兩個經(jīng)典不等式解決其他問題，降低了思考問題的難度，優(yōu)化了推理和運算過程(1)對數(shù)形式：x1ln x(x0)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時，等號成立(2)指數(shù)形式：exx1(xR)，當(dāng)且僅當(dāng)x0時，等號成立進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：exx1x1ln x(x0，且x1)【例1】(1)已知函數(shù)f(x)，則yf(x)的圖像大致為()(2)已知函數(shù)f(x)ex，xR.證明：曲線yf(x)與曲線yx2x1有唯一公共點(1)B因為f(x)的定義域為即x|x1，且x0，所以排除選項D.當(dāng)x0時，由經(jīng)典不等式x1ln x(x0)，以x1代替x，得xln(x1)(x1，且x0)，所以ln(x1)x0(x1，且x0)，即x0或1x0時均有f(x)0，排除A，C，易知B正確(2)證明令g(x)f(x)exx2x1，xR，則g(x)exx1，由經(jīng)典不等式exx1恒成立可知，g(x)0恒成立，所以g(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，且g(0)0.所以函數(shù)g(x)有唯一零點，即兩曲線有唯一公共點【例2】設(shè)函數(shù)f(x)ln xx1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)求證：當(dāng)x(1，)時，1x.解(1)由題設(shè)知，f(x)的定義域為(0，)，f(x)1，令f(x)0，解得x1.當(dāng)0x1時，f(x)0，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x1時，f(x)0，f(x)在(1，)上單調(diào)遞減(2)證明：由(1)知f(x)在x1處取得最大值，最大值為f(1)0.所以當(dāng)x1時，ln xx1.故當(dāng)x(1，)時，ln xx1，1.因此ln 1，即ln x，x.故當(dāng)x(1，)時恒有1x.- 7 -