2022年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 函數(shù)教學(xué)案
2022年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 函數(shù)教學(xué)案考綱指要:函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn),其中函數(shù)思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法,通過具體問題(幾何問題、實(shí)際應(yīng)用題)找出變量間的函數(shù)關(guān)系,再求出函數(shù)的定義域、值域,進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì),尋求問題的結(jié)果??键c(diǎn)掃描:1.函數(shù)概念,構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。 2. 函數(shù)性質(zhì):(1)奇偶性;(2單調(diào)性;(3)最值;(4)周期性。 3基本初等函數(shù):正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等。4函數(shù)圖象:圖象變換規(guī)則,如:平移變換、對(duì)稱變換、翻折變換、伸縮變換等;結(jié)合二次函數(shù)的圖像,判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù),從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系;借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解,了解這種方法是求方程近似解的常用方法。 5函數(shù)應(yīng)用:以基本初等函數(shù)為載體,通過它們的性質(zhì)(單調(diào)性、極值和最值等)來解釋生活現(xiàn)象,主要涉及經(jīng)濟(jì)、環(huán)保、能源、健康等社會(huì)現(xiàn)象??碱}先知:例1 定義域?yàn)镽的函數(shù),若,則關(guān)于的方程,的不同實(shí)根共有( )個(gè)。 A. 4 B.5 C.7 D.8解析: 方程可化為或。而的圖象大致如圖1所示,yx123O由圖可知,直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn),直線與的圖象有4個(gè)交點(diǎn),即方程有3個(gè)實(shí)根,方程有4個(gè)實(shí)根,從而原方程共有7個(gè)實(shí)根,故答案選C。例2函數(shù)滿足,則這樣的函數(shù)個(gè)數(shù)共有( )(A) 1個(gè) (B)4個(gè) (C)8個(gè) (D) 10個(gè)分析:這是一個(gè)從集合A到集合A的函數(shù),由于集合A中的元素僅有三個(gè),情況比較簡單,通過列舉便可解決此題。解:若,則一定滿足,這樣的函數(shù)個(gè)數(shù)有3個(gè);若,則一定滿足,類似的函數(shù)個(gè)數(shù)有個(gè);若,則一定滿足,這樣的函數(shù)個(gè)數(shù)有1個(gè),綜上所述,共有10個(gè),故選D。點(diǎn)評(píng):將上述問題推廣為:設(shè),函數(shù),則滿足的函數(shù)共有多少個(gè)?解:令,則有,即有,在的作用下函數(shù)是自身。(1)當(dāng)t只取一個(gè)數(shù)時(shí),不妨設(shè)此元素為,那么其它元素的函數(shù)值也只能是,故此時(shí)滿足條件的函數(shù)只能有一個(gè),由于元素的不同選擇有n種,所以此類滿足條件的函數(shù)共n個(gè)。(2)當(dāng)t恰好取2個(gè)數(shù)時(shí),不妨設(shè)這兩個(gè)元素為,那么其它元素的函數(shù)值就只能取或,其它元素有n-2個(gè),由乘法原理滿足條件的函數(shù)共有個(gè),又因?yàn)榈倪x擇有種,故此類滿足條件的函數(shù)共有個(gè)。同理,當(dāng)t恰取3個(gè)數(shù)時(shí),滿足重要任務(wù)的函數(shù)共有個(gè)。當(dāng)t恰取n個(gè)數(shù)時(shí),滿足條件的函數(shù)共有個(gè)。綜上所述,滿足條件的函數(shù)共有個(gè)。復(fù)習(xí)智略: 例3。已知函數(shù)。()是否存在實(shí)數(shù)、,使得函數(shù)的定義域與值域都是,若存在,求出、的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;()若存在實(shí)數(shù)、,使得函數(shù)的定義域,值域?yàn)?,求?shí)數(shù)的取值范圍解析:()假設(shè)存在實(shí)數(shù)、,使得函數(shù)的定義域與值域都為,因?yàn)?,所以。又因?yàn)?,故,此時(shí) 當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù),故可得矛盾,此時(shí)實(shí)數(shù)、不存在; 當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù),故,可得、是方程的根,該方程無解,故此時(shí)實(shí)數(shù)、也不存在; 當(dāng)且時(shí),顯然,則,矛盾,所以此時(shí)實(shí)數(shù)、也不存在;綜上知,適合條件的、不存在。()因?yàn)椋?,所以,則由,知。仿()可知,當(dāng)以及當(dāng)且時(shí),都不符合要求;當(dāng)時(shí),由可得、是方程不小于的兩個(gè)相異實(shí)根,由實(shí)根分布知識(shí)可得,從而實(shí)數(shù)的取值范圍是。檢測(cè)評(píng)估:1若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同,但定義域不同,稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,則函數(shù)的解析式為,值域?yàn)榈摹巴搴瘮?shù)”共有( )個(gè)。A8 B9 C10 D無數(shù)個(gè)2. 若方程有解,則屬于以下區(qū)間 ( )A. B. C. D.3已知函數(shù)上單調(diào)遞減,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A(0,1)BCD4. 設(shè)函數(shù),數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,若則的值等于 A-1976 B-1990 C2042 D20385定義域和值域均為a,a(常數(shù)a>0)的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象如圖所示:給出下列四個(gè)命題:方程fg(x)=0有且僅有三個(gè)解;方程gf(x)=0有且僅有三個(gè)解;方程ff(x)=0有且僅有九個(gè)解;方程gg(x)=0有且僅有一個(gè)解。ABCD6在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中,我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“”如下:當(dāng)ab時(shí),aba;當(dāng)ab時(shí),abb2;則函數(shù)f(x)(1x)·x(2x),x2,2的最大值等于 (“·”與“”分別為乘法與減法)7若為的各位數(shù)字之和如:因?yàn)椋杂?,則= 8.已知定義在上的函數(shù)滿足下列三個(gè)條件:對(duì)任意的都有;對(duì)于任意的時(shí),;的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,則的大小關(guān)系是 .9定義在R上的函數(shù)為奇函數(shù). 給出下列結(jié)論:函數(shù)的最小正周期是;函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱;函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;函數(shù)的最大值為其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .(寫出所有你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào))10已知函數(shù),正實(shí)數(shù)、成公差為正數(shù)的等差數(shù)列,且滿足,若實(shí)數(shù)是方程的一個(gè)解,那么下列四個(gè)判斷:;中有可能成立的的序號(hào)是 .(寫出所有你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào))11 已知函數(shù)f1(x)=, f2(x)=x+2,(1)設(shè)y=f(x)=,試畫出y=f(x)的圖像并求y=f(x)的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積;(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有兩個(gè)不等的實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的范圍 (3)若f1(x)>f2(xb)的解集為1,求b的值 12A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合:對(duì)任意,都有 ; 存在常數(shù),使得對(duì)任意的,都有(1)設(shè),證明:(2)設(shè),如果存在,使得,那么這樣的是唯一的;(3)設(shè),任取,令證明:給定正整數(shù)k,對(duì)任意的正整數(shù)p,成立不等式。點(diǎn)撥與全解:1解:令得,同理令得,四個(gè)元素構(gòu)成值域?yàn)榈暮瘮?shù)的定義域有,。共9個(gè),選B。2解:記,因,故選B。3解:由條件得:,故選C。4解:因數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,所以=,故選A。5解:因?yàn)榉匠蘤(x)=0有三個(gè)解,不妨設(shè)為x1,x2,x3,且-a<x1<x2<x3<a,所以方程fg(x)=0可化為g(x)= x1,x2,x3, 有且僅有三個(gè)解,即命題正確;同理,方程gg(x) =0有且僅有一個(gè)解,命題正確;因?yàn)榉匠蘥(x)=0有一個(gè)解,不妨設(shè)為x0,且-a<x0 <a,所以方程gf(x)=0可化為f(x)= x0,有一解、二解、三解等三種可能,即命題錯(cuò)誤;同理,方程ff(x)=0不一定有九解,命題錯(cuò)誤;故選D。6解:根據(jù)定義得,所以當(dāng)x2,2時(shí),最大值等于。7解:由條件知:因?yàn)?,又,從而周期?,故。8解:由知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,由知函數(shù)周期為,所以,從而由知9解:由函數(shù)為奇函數(shù)得,得點(diǎn)(,0)是它的對(duì)稱中心,故正確;由得,所以最小正周期為,故錯(cuò)誤;由得,所以,故正確;顯然不能確定。因此其中正確結(jié)論的序號(hào)是。10解:可證是單調(diào)遞減函數(shù),而,所以由可知或,因?qū)崝?shù)是方程的一個(gè)解,得,所以由或得或,故能成立的的序號(hào)是。11解 (1)y=f(x)=的圖像如圖所示 y=f(x)的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是由一個(gè)半徑為1的半球及底面半徑和高均為1的圓錐體組成,其表面積為(2+) (2)當(dāng)f1(x+a)=f2(x)有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí),a的取值范圍為2a1 (3)若f1(x)>f2(xb)的解集為1,則可解得b= 12解:對(duì)任意,所以對(duì)任意的,所以0<,令=,所以反證法:設(shè)存在兩個(gè)使得,。則由,得,所以,矛盾,故結(jié)論成立。,所以,+。