第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決與切線相關(guān)的問題【例1】已知函數(shù)f(x)xaln x(aR)(1)當(dāng)a2時，求曲線yf(x)在點(diǎn)A(1，f(1)處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的極值解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1.(1)當(dāng)a2時，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，f(1)1，f(1)1，yf(x)在點(diǎn)A(1，f(1)處的切線方程為y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：當(dāng)a0時，f(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時，由f(x)0，解得xa；x(0，a)時，f(x)0，x(a，)時，f(x)0，f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a，無極大值綜上，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無極大值根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)就是相應(yīng)切線的斜率，從而就可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決一些與切線相關(guān)的問題.1已知函數(shù)f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直線m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使直線m既是曲線yf(x)的切線，又是yg(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由解(1)因?yàn)閒(x)3ax26x6a，且f(1)0，所以3a66a0，得a2.(2)因?yàn)橹本€m過定點(diǎn)(0,9)，先求過點(diǎn)(0,9)，且與曲線yg(x)相切的直線方程設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,3x6x012)，又因?yàn)間(x0)6x06，所以切線方程為y(3x6x012)(6x06)(xx0)將點(diǎn)(0,9)代入，得93x6x0126x6x0，所以3x30，得x0±1.當(dāng)x01時，g(1)12，g(1)21，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,21)，所以切線方程為y12x9；當(dāng)x01時，g(1)0，g(1)9，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,9)，所以切線方程為y9.下面求曲線yf(x)的斜率為12和0的切線方程：因?yàn)閒(x)2x33x212x11，所以f(x)6x26x12.由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1.當(dāng)x0時，f(0)11，此時切線方程為y12x11；當(dāng)x1時，f(1)2，此時切線方程為y12x10.所以y12x9不是公切線由f(x)0，得6x26x120，解得x1或x2.當(dāng)x1時，f(1)18，此時切線方程為y18；當(dāng)x2時，f(2)9，此時切線方程為y9，所以y9是公切線綜上所述，當(dāng)k0時，y9是兩曲線的公切線.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)【例2】已知函數(shù)f(x)x3ax2x1，aR.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍解(1)因?yàn)閒(x)x3ax2x1，所以f(x)3x22ax1.當(dāng)0，即a23時，f(x)0，f(x)在R上遞增當(dāng)a23時，f(x)0求得兩根為x，即f(x)在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)所以函數(shù)f(x)在和內(nèi)是增函數(shù)；在內(nèi)是減函數(shù)(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，則f(x)3x22ax1兩根在區(qū)間外，即解得a2，故a的取值范圍是2，)1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)的定義域(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)(3)解不等式f(x)>0或f(x)<0.(4)將(3)中的解集與(1)中的定義域取公共部分寫出增(減)區(qū)間2利用導(dǎo)數(shù)解決取值范圍問題的兩個基本思路(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)取“”時是否滿足題意(2)先令f(x)>0(或f(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗(yàn)證參數(shù)取“”，看此時f(x)是否滿足題意(通常驗(yàn)證參數(shù)取“”這一步當(dāng)不影響結(jié)果時可省略)函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)【例3】已知函數(shù)f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值解(1)由題意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)與f(x)隨x的變化情況如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k1，)(2)當(dāng)k10，即k1時，f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)k；當(dāng)0k11，即1k2時，f(x)在0，k1上單調(diào)遞減，在k1,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(k1)ek1；當(dāng)k11，即k2時，f(x)在0,1上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(1)(1k)e.綜上，當(dāng)k1時，f(x)在0,1上的最小值為f(0)k；當(dāng)1k2時，f(x)在0,1上的最小值為f(k1)ek1；當(dāng)k2時，f(x)在0,1上的最小值為f(1)(1k)e.(1)已知極值點(diǎn)求參數(shù)的值后，要回代驗(yàn)證參數(shù)值是否滿足極值的定義.(2)討論極值點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即f(x)的正負(fù)；(3)求最大值要在極大值與端點(diǎn)值中取最大者，求最小值要在極小值與端點(diǎn)值中取最小者.2已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，過曲線yf(x)上的點(diǎn)P(1，f(1)的切線方程為y3x1，yf(x)在x2時有極值(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)求yf(x)在3,1上的單調(diào)區(qū)間和最大值解(1)因?yàn)閒(x)3x22axb，所以f(1)32ab，故過曲線上P點(diǎn)的切線方程為yf(1)(32ab)(x1)，即y(abc1)(32ab)(x1)，已知該切線方程為y3x1，所以即因?yàn)閥f(x)在x2時有極值，所以f(2)0，即4ab12，解方程組得所以f(x)x32x24x5.(2)由(1)知f(x)3x24x4(3x2)(x2)，令f(x)0，得x12，x2.當(dāng)x3，2)時，f(x)0；當(dāng)x時，f(x)0；當(dāng)x時，f(x)0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為3，2)和，單調(diào)遞減區(qū)間為.又f(2)13，f ，f(3)8，f(1)4，所以f(x)在區(qū)間3,1上的最大值為13.分類討論思想【例4】已知函數(shù)f(x)1.(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)m>0，求f(x)在m,2m上的最大值；(3)試證明：對nN，不等式lne.解(1)函數(shù)f(x)的定義域是(0，)由已知f(x)，令f(x)0，得1ln x0，所以xe.因?yàn)楫?dāng)0<x<e時，f(x)0，當(dāng)x>e時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(0，e上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減(2)由(1)知函數(shù)f(x)在(0，e上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減，當(dāng)0<2me，即0<m時，f(x)在m,2m上單調(diào)遞增，所以f(x)maxf(2m)1；當(dāng)me時，f(x)在m,2m上單調(diào)遞減所以f(x)maxf(m)1；當(dāng)m<e2m，即<m<e時，當(dāng)mx<e時，f(x)>0，當(dāng)e<x2m時，f(x)<0，所以f(x)maxf(e)1.(3)證明：由(1)知，當(dāng)x(0，)時，f(x)maxf(e)1，所以在(0，)上恒有f(x)11，即，當(dāng)且僅當(dāng)xe時“”成立，所以對x(0，)恒有l(wèi)n xx.因?yàn)?gt;0，e，所以ln·ln，即對nN，不等式ln恒成立(1)分類討論即分別歸類再進(jìn)行討論，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法，同時又是一種重要的解題策略(2)解題時首先要思考為什么分類，即分類依據(jù)是什么，一般的分類依據(jù)如方程類型、根的個數(shù)及與區(qū)間的關(guān)系、不等號的方向等；其次考慮分幾類，每一類中是否還需要分類(3)分類討論的基本原則是不重不漏3已知函數(shù)f(x)x2aln x(aR)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x>1時，x2ln x<x3是否恒成立，并說明理由解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，由題意得f(x)x(x0)，所以當(dāng)a0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)當(dāng)a0時，f(x)x.所以當(dāng)0x時，f(x)0，當(dāng)x時，f(x)0.所以當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)(2)設(shè)g(x)x3x2ln x(x1)，則g(x)2x2x.因?yàn)楫?dāng)x1時，g(x)0，所以g(x)在(1，)上是增函數(shù)，所以g(x)g(1)0，即x3x2ln x0，所以x2ln xx3，故當(dāng)x1時，x2ln xx3恒成立- 9 -