2022年高考數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí)1、已知拋物線的焦點為F，點P是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，。   （1）求拋物線的方程；   （2）設(shè)點，（）是拋物線上的兩點，APB的角平分線與x軸垂直，求PAB的面積最大時直線AB的方程。2、已知過點A（-4，0）的動直線與拋物線相交于B、C兩點。當(dāng)?shù)男甭适恰?#160; （1）求拋物線C的方程；  （2）設(shè)BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍。3、已知橢圓的右頂點、上頂點分別為坐標原點到直線的距離為且 （1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的左焦點的直線交橢圓于兩點，且該橢圓上存在點,使得四邊形圖形上的字母按此順序排列）恰好為平行四邊形，求直線的方程. 4、已知是雙曲線的左、右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，若為鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是(    )A                     BC                   D5、已知拋物線，過點的直線與拋物線交于兩點，且，過點向直線作垂線，垂足分別為，的面積分別為記為與，那么A.      B.        C.      D.6、已知橢圓 的離心率為，長軸長為（）求橢圓C的標準方程；（）設(shè)為橢圓C的右焦點，T為直線上縱坐標不為的任意一點，過作的垂線交橢圓C于點P，Q.（）若OT平分線段PQ(其中O為坐標原點)，求的值；（）在（）的條件下，當(dāng)最小時，求點T的坐標7、已知橢圓+=1，（ab0）的離心率e=，直線y=x與橢圓交于A，B兩點，C為橢圓的右頂點，（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上存在兩點E，F(xiàn)使，（0，2），求OEF面積的最大值8、已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，過點F作直線l交拋物線C于A、B兩點；橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，點F是它的一個頂點，且其離心率e=（1）求橢圓E的方程；（2）經(jīng)過A、B兩點分別作拋物線C的切線l1、l2，切線l1與l2相交于點M證明：ABMF；（3）橢圓E上是否存在一點M，經(jīng)過點M作拋物線C的兩條切線MA、MB（A、B為切點），使得直線AB過點F？若存在，求出拋物線C與切線MA、MB所圍成圖形的面積；若不存在，試說明理由9、函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）處的切線的斜率分別是kA，kB，規(guī)定（A，B）=叫曲線y=f（x）在點A與點B之間的“彎曲度”，給出以下命題：（1）函數(shù)y=x3x2+1圖象上兩點A、B的橫坐標分別為1，2，則（A，B）；（2）存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數(shù)；（3）設(shè)點A、B是拋物線，y=x2+1上不同的兩點，則（A，B）2；（4）設(shè)曲線y=ex上不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=1，若t（A，B）1恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（，1）；以上正確命題的序號為（寫出所有正確的）10、已知點P是圓F1：（x+1）2+y2=16上任意一點（F1是圓心），點F2與點F1關(guān)于原點對稱線段PF2的中垂線m分別與PF1、PF2交于M、N兩點（I）求點M的軌跡C的方程；（）直線l經(jīng)過F2，與拋物線y2=4x交于A1，A2兩點，與C交于B1，B2兩點當(dāng)以B1B2為直徑的圓經(jīng)過F1時，求|A1A2|11、已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為，且橢圓C上的點到兩個焦點的距離之和為4（）求橢圓C的方程；（）設(shè)A為橢圓C的左頂點，過點A的直線l與橢圓交于點M，與y軸交于點N，過原點與l平行的直線與橢圓交于點P證明：|AM|AN|=2|OP|212、已知橢圓C1：+=1（ab0）的離心率為e=，且過點（1，）拋物線C2：x2=2py（p0）的焦點坐標為（0，）（）求橢圓C1和拋物線C2的方程；（）若點M是直線l：2x4y+3=0上的動點，過點M作拋物線C2的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB交橢圓C1于P，Q兩點（i）求證直線AB過定點，并求出該定點坐標；（ii）當(dāng)OPQ的面積取最大值時，求直線AB的方程13、已知橢圓的左、右頂點分別為A，B，右焦點為F（c，0），點P是橢圓C上異于A，B的動點，過點B作橢圓C的切線l，直線AP與直線l的交點為D，且當(dāng)|BD|=2c時，|AF|=|DF|（）求橢圓C的方程；（）當(dāng)點P運動時，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論14、在平面直角坐標系中，點與點關(guān)于原點對稱，是動點，且直線與的斜率之積等于()求動點的軌跡方程；()設(shè)直線和與直線分別交于兩點，問：是否存在點使得與的面積相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.15、設(shè)橢圓C：的離心率，點M在橢圓C上，點M到橢圓C的兩個焦點的距離之和是4（）求橢圓C的方程；（）若橢圓的方程為，橢圓的方程為，則稱橢圓是橢圓的倍相似橢圓已知橢圓是橢圓C的3倍相似橢圓若橢圓C的任意一條切線交橢圓于M,N兩點，O為坐標原點，試研究當(dāng)切線變化時面積的變化情況，并給予證明16、已知橢圓（常數(shù)）的左頂點為，點，為坐標原點（）若是橢圓上任意一點，求的值；（）設(shè)是橢圓上的兩個動點，滿足，試探究的面積是否為定值，說明理由17、如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，它的一個頂點為（0，），且離心率等于，過點（0，2）的直線與橢圓相交于，不同兩點，點在線段上   （）求橢圓的標準方程；   （）設(shè)，試求的取值范圍18、橢圓的上頂點為是上的一點，以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點（1）求橢圓的方程；（2）動直線與橢圓有且只有一個公共點，問：在軸上是否存在兩個定點，它們到直線的距離之積等于1？如果存在，求出這兩個定點的坐標；如果不存在，說明理由19、如圖所示，橢圓與直線相切于點（I）求滿足的關(guān)系式，并用表示點的坐標；（II）設(shè)是橢圓的右焦點，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，求橢圓的標準方程  20、已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當(dāng)點的橫坐標為時，為正三角形.（）求的方程；（）若直線，且和有且只有一個公共點，（）證明直線過定點，并求出定點坐標；（）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由. 答 案1、（1）拋物線的方程為。（2）。（1）設(shè)，因為，由拋物線的定義得，又，3分因此，解得，從而拋物線的方程為。    6分（2）由（1）知點P的坐標為P（2,4），因為APB的角平分線與x軸垂直，所以可知PA，PB的傾斜角互補，即PA，PB的斜率互為相反數(shù)設(shè)直線PA的斜率為k，則，由題意，   7分把代入拋物線方程得，該方程的解為4、，由韋達定理得，即，同理。所以，    8分設(shè)，把代入拋物線方程得，由題意，且，從而又，所以，點P到AB的距離，因此，設(shè),  10分則，由知，所以在上為增函數(shù)，因此，即PAB面積的最大值為。PAB的面積取最大值時b=0，所以直線AB的方程為。    12分2、（1）設(shè)                                                        2分    由             又6分    由及，即拋物線方程為                                                        8分   （2）設(shè)    由              10分        的中垂線方程為              13分    的中垂線在y軸上的截距為    對于方程由                                              15分3、（1）直線的方程為坐標原點到直線的距離為又解得故橢圓的方程為 .(2)由（1）可求得橢圓的左焦點為 易知直線的斜率不為0,故可設(shè)直線點因為四邊形為平行四邊形，所以 聯(lián)立 ,因為點在橢圓上，所以 那么直線的方程為4、B5、C6、（1）由已知解得所以橢圓C的標準方程是. （3分）（2）（）由（1）可得，F(xiàn)點的坐標是(2，0).設(shè)直線PQ的方程為xmy+2，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得消去x，得(m23)y2+4my20，其判別式16m28(m23)>0.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則.設(shè)M為PQ的中點，則M點的坐標為.     6分因為，所以直線FT的斜率為，其方程為.當(dāng)時，所以點的坐標為，此時直線OT的斜率為，其方程為.將M點的坐標為代入，得.解得.                     8分（）由（）知T為直線上任意一點可得，點T點的坐標為.于是，      .          10分所以.     12分當(dāng)且僅當(dāng)，即m±1時，等號成立，此時取得最小值故當(dāng)最小時，T點的坐標是(3，1)或(3，1)    12分7、解：（1）根據(jù)題意，不妨設(shè)A（t，t）且t0，（1分），（2分），a2b2=c2，聯(lián)立解得：a2=3，b2=1橢圓的方程為：（6分）（2）設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），EF中點為M（x0，y0），（7分）E，F(xiàn)在橢圓上，則 ，相減可得，直線EF的方程為：，即，代入，整理得：，（9分），=，原點O（0，0）到直線EF的距離為，（11分）=，（12分）=，當(dāng)時等號成立，所以O(shè)EF得最大值為（13分）8、解：（1）設(shè)橢圓E的方程為，半焦距為c由已知條件，F(xiàn)（0，1），b=1，=，a2=b2+c2，解得a=2，b=1所以橢E的方程為（2）顯然直線l的斜率存在，否則直線l與拋物線C只有一個交點，不合題意，故可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x1，y1）B（x2，y2）（x1x2）與拋物線方程聯(lián)立，消去y，并整理得，x24kx4=0x1x2=4拋物線的方程為y=x2，求導(dǎo)得y=x，過拋物線上A，B兩點的切線方程分別是yy1=x1（xx1），yy2=x2（xx2）即y=x1x，y=x2xx22解得兩條切線的交點M的坐標為（，1）=0ABMF（3）假設(shè)存在點M滿足題意，由（2）知點M必在直線y=1上，又直線y=1與橢圓有唯一交點，故M的坐標為（01），設(shè)過點M且與拋物線C相切的切線方程為yy0=x0（xx0）：，其中點（x0，y0）為切點令x=0，y=1得，1x02=x0（0x0），解得x0=2或x0=2，故不妨取A（2，1）B（2，1），即直線AB過點F綜上所述，橢圓E上存在一點M（0，1），經(jīng)過點M作拋物線C的兩條切線MA、MB（A、B為切點），能使直線AB過點F此時，兩切線的方程分別為y=x1和y=x1拋物線C與切線MA、MB所圍成圖形的面積為=9、解：對于（1），由y=x3x2+1，得y=3x22x，則，y1=1，y2=5，則，（A，B）=，（1）錯誤；對于（2），常數(shù)函數(shù)y=1滿足圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數(shù)，（2）正確；對于（3），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），y=2x，則kAkB=2x12x2，=（A，B）=，（3）正確；對于（4），由y=ex，得y=ex，（A，B）=t（A，B）1恒成立，即恒成立，t=1時該式成立，（4）錯誤故答案為：（2）（3）10、解：（I）由題意得，F(xiàn)1（1，0），F(xiàn)2（1，0），圓F1的半徑為4，且|MF2|=|MP|，從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4|F1F2|，（2分）點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，（4分）其中長軸2a=4，得到a=2，焦距2c=2，則短半軸b=，橢圓方程為：     （5分）（）當(dāng)直線l 與x軸垂直時，B1（1，），B2（1，），又F1（1，0），此時，所以以B1B2為直徑的圓不經(jīng)過F1不滿足條件（6分）當(dāng)直線l 不與x軸垂直時，設(shè)L：y=k（x1）由即（3+4k2）x28k2x+4k212=0，因為焦點在橢圓內(nèi)部，所以恒有兩個交點設(shè)B1（x1，y1），B2（x2，y2），則：x1+x2=，x1x2=，因為以B1B2為直徑的圓經(jīng)過F1，所以，又F1（1，0）所以（1x1）（1x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1k2）（x1+x2）+1+k2=0所以解得k2=，（8分）由得k2x2（2k2+4）x+k2=0因為直線l 與拋物線有兩個交點，所以k0，設(shè)A1（x3，y3），A2（x4，y4），則：x3+x4=2+，x3x4=1所以|A1A2|=x3+x4+p=2+2=（12分）11、解：（）設(shè)橢圓C的標準方程為，由題意知解得a=2，b=1所以橢圓C的標準方程為（）證明：設(shè)直線AM的方程為：y=k（x+2），則N（0，2k）由 得（1+4k2）x2+16k2x+16k24=0（*）設(shè)A（2，0），M（x1，y1），則2，x1是方程（*）的兩個根，所以所以=則設(shè)直線OP的方程為：y=kx由 得（1+4k2）x24=0設(shè)P（x0，y0），則，所以，所以|AM|AN|=2|OP|212、解：（I）由于橢圓C1中，則設(shè)其方程為，由于點在橢圓上，故代入得=1故橢圓C1的方程為拋物線C2中，拋物線C2：x2=2py（p0）的焦點坐標為（0，），故p=1，從而橢圓C1的方程為，拋物線C2的方程為x2=2y（II）（i）證明：設(shè)點M（x0，y0），且滿足2x04y0+3=0，點A（x1，y1），B（x2，y2），則切線MA的斜率為x1，從而MA的方程為y=x1（xx1）+y1，考慮到，則切線MA的方程為x1x+y+y1=0，同理切線MB的方程為x2x+y+y2=0，由于切線MA，MB同過點M，從而有，由此點A（x1，y1），B（x2，y2）在直線x0x+y+y0=0上又點M在直線2x4y+3=0上，則2x04y0+3=0，故直線AB的方程為（4y03）x+2y+2y0=0，即y0（4x+2）+（2y3x）=0，直線AB過定點（ii）解：設(shè)P（x3，y3），Q（x4，y4），考慮到直線AB的方程為x0x+y+y0=0，則聯(lián)立方程，消去y并簡化得，從而，從而，點O到PQ的距離，從而=，當(dāng)且僅當(dāng)，即，又由于2x04y0+3=0，從而消去x0得，即，解得，從而或，所求的直線為x+2y+2=0或x14y10=013、解：（）依題可知A（a，0）、，由|AF|=|FD|，得，化簡得a=2c，由a2=3+c2得 a2=4，故所求橢圓C的方程為：；（）由（）知A（2，0），B（2，0），在點B處的切線方程為x=2結(jié)論：以BD為直徑的圓與直線PF相切證明如下：由題意可知直線AP的斜率存在，設(shè)直線AP的方程為y=k（x+2），（k0）則點D坐標為（2，4k），BD中點E的坐標為（2，2k） 聯(lián)立，得（4k2+3）x2+16k2x+16k212=0設(shè)點P的坐標為（x0，y0），由韋達定理：所以，因為點F坐標為（1，0），分情況討論：（1）當(dāng)時，點P的坐標為，直線PF的方程為x=1，點D的坐標為（2，±2）此時以BD為直徑的圓（x2）2+（y1）2=1與直線PF相切；（2）當(dāng)時，直線PF的斜率所以直線PF的方程為，即故點E到直線PF的距離d=|2k|；綜上所述，當(dāng)點P運動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切14、() 點與關(guān)于原點對稱，點，設(shè)，直線與的斜率之積等于， ，化簡得 ，動點的軌跡方程為 .()法一：設(shè)存在點，使得與的面積相等， ，  即，   ，解得，  ，   滿足條件的點P為.法二：設(shè)，解得 ，又點到直線的距離，  ，解得，   ，   滿足條件的點P為.15、（）依題意，橢圓C方程為：          3分（）依題意，橢圓C2方程為：當(dāng)切線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為：由得，由得設(shè)，則又點O到直線l的距離，當(dāng)切線l的斜率不存在時，l的方程為，綜上，當(dāng)切線l變化時，面積為定值            13分16、（），得2分    將代入橢圓得化簡得5分（）法一：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，不妨設(shè)，且，由 化簡得 ，聯(lián)立橢圓方程解得              ，      故（為定值）6分當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為由由，可得7分又  ，可得 9分因為，點到直線的距離10分綜上：的面積為定值13分解法二：由條件得， 6分平方得,  即 7分8分=12分故的面積為定值  13分17、（）設(shè)橢圓的標準方程為因為它的一個頂點為（0，），所以，由離心率等于，得，解得，所以橢圓的標準方程為 （）設(shè)，若直線與軸重合，則，得，得；若直線與軸不重合，則設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去得，得， ， 由得，整理得，將代入得，又點在直線上，所以，于是有，因此，由得，所以，綜上所述，有18、（1）（2）存在兩個定點，使它們到直線的距離之積等于1.【知識點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標準方程H5 H8解析：（1），由題設(shè)可知，得                                                                                                    1分又點P在橢圓C上，                                                                                                                  3分聯(lián)立解得，                            4分故所求橢圓的方程為                         5分（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，代入橢圓方程，消去y，整理得                            （）方程（）有且只有一個實根，又，所以得                              8分假設(shè)存在滿足題設(shè)，則由對任意的實數(shù)恒成立,所以，   解得，當(dāng)直線的斜率不存在時，經(jīng)檢驗符合題意.總上，存在兩個定點，使它們到直線的距離之積等于1.12分【思路點撥】（1）由題設(shè)可得，又點P在橢圓C上，可得a2=2，又b2+c2=a2=2，聯(lián)立解得c，b2，即可得解（2）設(shè)動直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程消去y，整理得（），由得，假設(shè)存在滿足題設(shè)，則由對任意的實數(shù)k恒成立由 即可求出這兩個定點的坐標19、（I）（II）【知識點】橢圓及其幾何性質(zhì)H5（I）聯(lián)立方程組消元得：2分相切     得： 4分將代入式得：  解得 7分（II）解法1：到直線的距離，是等腰直角三角形     12分   由可得：代入上式得：                 得 即14分又       橢圓的標準方程為：15分解法2：    直線的方程為9分解得：      12分        解得 14分  又         橢圓的標準方程為：15分解法3：由方法二得12分分別過做軸的垂線，垂足分別為是等腰直角三角形  又，得14分又            橢圓的標準方程為：15分20、解析：（I）由題意知，設(shè)，則FD的中點為，因為，由拋物線的定義知：，解得或（舍去）.由，解得.  所以拋物線C的方程為.（II）（）由（I）知，設(shè)，因為，則，由得，故，  故直線AB的斜率為， 因為直線和直線AB平行， 設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，  由題意，得.設(shè)，則，.當(dāng)時，可得直線AE的方程為，由，整理可得，直線AE恒過點.當(dāng)時，直線AE的方程為，過點，所以直線AE過定點.（）由（）知，直線AE過焦點，所以，設(shè)直線AE的方程為， 因為點在直線AE上，故，設(shè)，直線AB的方程為，由于，可得，代入拋物線方程得，所以，可求得，所以點B到直線AE的距離為.則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立. 所以的面積的最小值為16.【思路點撥】（I）設(shè)，因為 ，則FD的中點為，由為正三角形求得p=2，所以拋物線C的方程為.（II）（）由（I）知，設(shè)，得，  故直線AB的斜率為，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，由得.從而得切點. 當(dāng)時，可得直線AE的方程為，由，得直線AE的方程，直線AE恒過點.當(dāng)時，直線AE的方程為，過點.  所以直線AE過定點.（）由（）知，直線AE過焦點，所以，設(shè)直線AE的方程為，故，因為直線AB的方程為，即：，代入拋物線方程得，設(shè)，則 ，可求得，所以點B到直線AE的距離為：d.則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立. 所以的面積的最小值為16