第1講數(shù)列的概念與簡單表示法一、知識梳理1數(shù)列的定義、分類與通項公式(1)數(shù)列的定義數(shù)列：按照一定次序排列的一列數(shù)；數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)(2)數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an1>an其中，nN+遞減數(shù)列an1<an常數(shù)列an1an(3)數(shù)列的通項公式如果數(shù)列an的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子表示或anf(n)，那么這個式子叫作這個數(shù)列的通項公式2數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列an的首項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an1(n2)(或前幾項)間的關(guān)系可用一個公式來表示，那么這個公式叫作數(shù)列的遞推公式常用結(jié)論常用結(jié)論若數(shù)列的前n項和為Sn，通項公式為an，則an即anSnSn1的應(yīng)用前提是n2，nN.2在數(shù)列an中，若an最大，則若an最小，則3數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列可以看成一類特殊的函數(shù)anf(n)，它的定義域是正整數(shù)集N或正整數(shù)集N的有限子集，所以它的圖像是一系列孤立的點，而不是連續(xù)的曲線二、教材衍化1在數(shù)列an中，a11，an1(n2)，則a5_解析：a212，a31，a413，a51.答案：2根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式an_答案：5n4一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列()(2)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達()(3)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個()(4)1，1，1，1，不能構(gòu)成一個數(shù)列()(5)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列()(6)如果數(shù)列an的前n項和為Sn，則對任意的nN+，都有an1Sn1Sn.()答案：(1)×(2)×(3)(4)×(5)×(6)二、易錯糾偏(1)忽視數(shù)列是特殊的函數(shù)，其自變量為正整數(shù)集或其子集1，2，n；(2)求數(shù)列前n項和Sn的最值時忽視項為零的情況；(3)根據(jù)Sn求an時忽視對n1的驗證1在數(shù)列1，0，中，0.08是它的第_項解析：依題意得，解得n10或n(舍)答案：102在數(shù)列an中，ann26n7，當其前n項和Sn取最大值時，n_解析：由題可知nN+，令ann26n70，得1n7(nN+)，所以該數(shù)列的第7項為零，且從第8項開始an<0，則S6S7且最大答案：6或73已知Sn2n3，則an_解析：因為Sn2n3，那么當n1時，a1S12135；當n2時，anSnSn12n3(2n13)2n1(*)由于a15不滿足(*)式，所以an答案：由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式(自主練透)1數(shù)列1，3，6，10，的一個通項公式是()Aann2(n1)Bann21Can Dan解析：選C.觀察數(shù)列1，3，6，10，可以發(fā)現(xiàn)第n項為1234n.所以an.2數(shù)列an的前4項是，1，則這個數(shù)列的一個通項公式是an_解析：數(shù)列an的前4項可變形為，故an.答案：3根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式(1)1，7，13，19，；(2)0.8，0.88，0.888，；(3)，.解：(1)數(shù)列中各項的符號可通過(1)n表示，從第2項起，每一項的絕對值總比它的前一項的絕對值大6，故通項公式為an(1)n(6n5)(2)數(shù)列可變?yōu)?，故an.(3)各項的分母分別為21，22，23，24，易看出第2，3，4項的絕對值的分子分別比分母小3.原數(shù)列化為，故an(1)n.由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法(2)具體策略：分式中分子、分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后的特征；各項的符號特征和絕對值特征；化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(1)k或(1)k1，kN+處理 an與Sn關(guān)系的應(yīng)用(多維探究)角度一利用an與Sn的關(guān)系求通項公式an 已知數(shù)列的前n項和Snan，則的通項公式為an_【解析】當n1時，a1S1a1，所以a11.當n2時，anSnSn1anan1，所以，所以數(shù)列為首項a11，公比q的等比數(shù)列，故an1.【答案】1【遷移探究】(變條件)若將本例中的“Snan”改為“Snn22n2”，結(jié)論如何？解：當n1時，a1S11；當n2時，anSnSn12n3.由于n1時，a112×13，所以an的通項公式為an角度二利用an與Sn的關(guān)系求Sn 設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，Sn0，且a11，an1SnSn1，則Sn_【解析】因為 an1Sn1Sn，an1SnSn1，所以 Sn1SnSnSn1.因為 Sn0，所以 1，即1.又1，所以 是首項為1，公差為1的等差數(shù)列所以 1(n1)×(1)n，所以 Sn.【答案】(1)已知Sn求an的三個步驟先利用a1S1求出a1；用n1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當n2時an的表達式；注意檢驗n1時的表達式是否可以與n2的表達式合并(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化利用anSnSn1(n2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn1的關(guān)系式，再求解；利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為只含an，an1的關(guān)系式，再求解 1已知數(shù)列an的前n項和Sn2n3，則數(shù)列an的通項公式an_解析：當n1時，a1S11；當n2時，anSnSn1(2n3)(2n13)2n2n12n1，a1不適合此等式所以an答案：2已知數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項和，Sn0，且當n2時，有1成立，則S2 017_解析：當n2時，由1，得2(SnSn1)(SnSn1)SnSSnSn1，所以1，又2，所以是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以n1，故Sn，則S2 017.答案：3已知數(shù)列an滿足a12a23a34a4nan3n22n1，求an.解：設(shè)a12a23a34a4nanTn，當n1時，a1T13×122×112，當n2時，nanTnTn13n22n13(n1)22(n1)16n5，因此an，顯然當n1時，不滿足上式故數(shù)列an的通項公式為an由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式(多維探究)角度一形如an1anf(n)，求an 在數(shù)列an中，a11，anan1(n2)，求數(shù)列an的通項公式【解】因為anan1(n2)，所以an1an2，an2an3，a2a1.以上(n1)個式子相乘得ana1····.當n1時，a11，上式也成立所以an(nN+)根據(jù)形如an1an·f(n)(f(n)是可以求積的)的遞推公式求通項公式時，常用累乘法求出與n的關(guān)系式，進而得到an的通項公式 角度二形如an1anf(n)，求an 設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN+)，求數(shù)列an的通項公式【解】由題意有a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.又因為a11，所以an(n2)因為當n1時也滿足上式，所以an(nN+)根據(jù)形如an1anf(n)(f(n)是可以求和的)的遞推公式求通項公式時，常用累加法求出ana1與n的關(guān)系式，進而得到an的通項公式 角度三形如an1panq(p0且p1)，求an 已知數(shù)列an滿足a11，an13an2，求數(shù)列an的通項公式【解】因為an13an2，所以an113(an1)，所以3，所以數(shù)列an1為等比數(shù)列且公比q3，又a112，所以an12·3n1，所以an2·3n11(nN+)根據(jù)形如an1panq的遞推關(guān)系式求通項公式時，一般先構(gòu)造公比為p的等比數(shù)列anx，即將原遞推關(guān)系式化為an1xp(anx)的形式，再求出數(shù)列anx的通項公式，最后求an的通項公式 角度四形如an1(A，B，C為常數(shù))，求an 已知數(shù)列an中，a11，an1，求數(shù)列an的通項公式【解】因為an1，a11，所以an0，所以，即.又a11，則1，所以是以1為首項，為公差的等差數(shù)列所以(n1)×.所以an(nN+)根據(jù)形如an1(A，B，C為常數(shù))的遞推關(guān)系式求通項公式時，一般對遞推式兩邊同時取倒數(shù)，當AC時，化為x的形式，可構(gòu)造公比為的等比數(shù)列，其中用待定系數(shù)法求x是關(guān)鍵，當AC時，可構(gòu)成一個等差數(shù)列 1已知數(shù)列an中，a12，an1anln，則數(shù)列an的通項公式an_解析：因為an1anln，所以anan1lnln(n2)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1lnlnlnln 222ln2ln n(n2)又a12適合上式，故an2ln n(nN+)答案：2ln n2已知數(shù)列an中，a13，且點Pn(an，an1)(nN+)在直線4xy10上，則數(shù)列an的通項公式為_解析：因為點Pn(an，an1)(nN*)在直線4xy10上，所以4anan110.所以an14.因為a13，所以a1.故數(shù)列是首項為，公比為4的等比數(shù)列所以an×4n1，故數(shù)列的通項公式為an×4n1.答案：an×4n1數(shù)列的函數(shù)特征(多維探究)角度一數(shù)列的單調(diào)性 (一題多解)已知an是遞增數(shù)列，且對于任意的nN+，ann2n恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_【解析】法一(定義法)：因為an是遞增數(shù)列，所以對任意的nN+，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因為n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.法二(函數(shù)法)：設(shè)f(n)ann2n，其圖象的對稱軸為直線n，要使數(shù)列an為遞增數(shù)列，只需使定義在正整數(shù)集上的函數(shù)f(n)為增函數(shù)，故只需滿足f(1)f(2)，即3.【答案】(3，)判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法(1)作差比較法：an1an0數(shù)列an是遞增數(shù)列；an1an0數(shù)列an是遞減數(shù)列；an1an0數(shù)列an是常數(shù)列(2)作商比較法：.當an0時，則1數(shù)列an是遞增數(shù)列；1數(shù)列an是遞減數(shù)列；1數(shù)列an是常數(shù)列；.當an0時，則1數(shù)列an是遞減數(shù)列；1數(shù)列an是遞增數(shù)列；1數(shù)列an是常數(shù)列(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷 角度二求最大(小)項 (一題多解)已知數(shù)列an的通項公式為an，試判斷此數(shù)列是否有最大項？若有，第幾項最大，最大項是多少？若沒有，說明理由【解】法一：an1an·，當n8時，an1an0，即an1an；當n8時，an1an0，即an1an；當n8時，an1an0，即an1an.則a1a2a3a8a9a10a11，故數(shù)列an有最大項，為第8項和第9項，且a8a9.法二：設(shè)數(shù)列an的第n項最大，則即解得8n9，又nN*，則n8或n9.故數(shù)列an有最大項，為第8項和第9項，且a8a9.求數(shù)列最大(小)項的方法(1)構(gòu)造函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)性，進一步求出數(shù)列的最大項或最小項(2)利用求數(shù)列中的最大項an；利用求數(shù)列中的最小項an.當解不唯一時，比較各解大小即可確定 角度三數(shù)列的周期性 已知數(shù)列an滿足a12，an1(nN+)，則該數(shù)列的前2 021項的乘積a1·a2·a3··a2 021_【解析】由題意可得，a23，a3，a4，a52a1，所以數(shù)列an是以4為周期的周期數(shù)列，而2 0214×5051，且a1a2a3a42×(3)××1.故該數(shù)列前2 021項的乘積為a12.【答案】2【遷移探究】(變問法)其他條件不變，該數(shù)列前2 021項的和為_解析：a1a2a2 021505(a1a2a3a4)a2 021505(23)2.答案：解決數(shù)列周期性的方法先根據(jù)數(shù)列的前幾項確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期求值 1等差數(shù)列an的公差d0，且aa，則數(shù)列an的前n項和Sn取得最大值時的項數(shù)n的值為()A5B6C5或6D6或7解析：選C.由aa，可得(a1a11)(a1a11)0，因為d0，所以a1a110，所以a1a110，又2a6a1a11，所以a60.因為d0，所以an是遞減數(shù)列，所以a1a2a5a60a7a8，顯然前5項和或前6項和最大，故選C.2已知an滿足an(n)2n(nN+)，若an是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是_解析：因為an是遞增數(shù)列，所以an1an，所以(n1)2n1(n)2n，化簡得n2，對任意的nN+都成立所以3.答案：(，3)基礎(chǔ)題組練1已知數(shù)列，則5是它的()A第19項B第20項C第21項 D第22項解析：選C.數(shù)列，中的各項可變形為，所以通項公式為an，令5，得n21.2已知數(shù)列an滿足：m，nN+，都有an·amanm，且a1，那么a5()A.BC.D解析：選A.因為數(shù)列an滿足：對任意的m，nN+，都有an·amanm，且a1，所以a2a1a1，a3a1·a2.那么a5a3·a2.故選A.3在數(shù)列an中，a1，an1(n2，nN+)，則a2 020的值為()A B5 C. D解析：選A.在數(shù)列an中，a1，an1(n2，nN+)，所以a215，a31，a41，所以an是以3為周期的周期數(shù)列，所以a2 020a673×31a1.4(2020·山西太原模擬(一)已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Snan2n(nN+)，則a7()A. B C. D解析：選B.當n2時，Sn1an12n2，又Snan2n，所以2anan12，所以2(an2)an12，故an2是首項為a12，公比為的等比數(shù)列，又S1a12，故a11，所以an2，故a72，故選B.5(2020·廣東廣州天河畢業(yè)班綜合測試(一)數(shù)列an滿足a11，對任意nN+，都有an11ann，則()A. B2 C. D解析：選C.由an11ann，得an1ann1，則an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)1，則，則2×2×.故選C.6已知數(shù)列an的前n項和Sn3n1，則an_解析：當n1時，a1S1314；當n2時，anSnSn1(3n1)(3n11)2·3n1.當n1時，2×3112a1，所以an答案：7記數(shù)列an的前n項和為Sn，若對任意的nN+，2Snan1，則a2 018_解析：因為2Snan1，所以2Sn1an11(n2)，所以2Sn2Sn12ananan1(n2)，即anan1(n2)，所以數(shù)列an是以2為周期的周期數(shù)列又2S12a1a11，所以a11，所以a2 018a2a11.答案：18(2020·河南焦作第四次模擬)已知數(shù)列an的通項公式為an2n，記數(shù)列anbn的前n項和為Sn，若1n，則數(shù)列bn的通項公式為bn_解析：因為1n，所以Sn(n1)·2n12.所以當n2時，Sn1(n2)2n2，兩式相減，得anbnn·2n，所以bnn；當n1時，a1b12，所以b11.綜上所述，bnn，nN+.故答案為n.答案：n9已知數(shù)列an中，a11，前n項和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通項公式解：(1)由S2a2得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由S3a3得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由題設(shè)知a11.當n2時，有anSnSn1anan1，整理得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.將以上n個等式兩端分別相乘，整理得an.顯然，當n1時也滿足上式綜上可知，an的通項公式an.10設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN+.(1)設(shè)bnSn3n，求數(shù)列bn的通項公式；(2)若an1an，nN+，求a的取值范圍解：(1)依題意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，即bn12bn，又b1S13a3，所以數(shù)列bn的通項公式為bn(a3)2n1，nN+.(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1，nN+，于是，當n2時，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n22×3n1(a3)2n2，an1an4×3n1(a3)2n22n2，當n2時，an1an12a30a9.又a2a13a1.綜上，a的取值范圍是9，3)(3，)綜合題組練1(2020·安徽江淮十校第三次聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足2，a120，則的最小值為()A4 B41 C8 D9解析：選C.由an1an2n知a2a12×1，a3a22×2，anan12(n1)，n2，以上各式相加得ana1n2n，n2，所以ann2n20，n2，當n1時，a120符合上式，所以n1，nN*，所以n4時遞減，n5時遞增，因為，所以的最小值為8，故選C.2若數(shù)列an滿足a1·a2·a3··ann23n2，則數(shù)列an的通項公式為_解析：a1·a2·a3··an(n1)(n2)，當n1時，a16；當n2時，故當n2時，an，所以an答案：an3已知數(shù)列an中，a1a，a22a，an2an2，若數(shù)列an單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：由an2an2可知數(shù)列an的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別遞增，若數(shù)列an遞增，則必有a2a1(2a)a0且a2a1(2a)aan2an2，可得0a1，故實數(shù)a的取值范圍為(0，1)答案：(0，1)4(2020·廣東湛江二模)一元線性同余方程組問題最早可見于中國南北朝時期(公元5世紀)的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”問題，原文如下：有物不知數(shù)，三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，問物幾何？即，一個整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個整數(shù)設(shè)這個整數(shù)為a，當a2，2 019時，符合條件的a共有_個解析：由題設(shè)a3m25n3，m，nN，則3m5n1，m，nN，當m5k，n不存在；當m5k1，n不存在；當m5k2，n3k1，滿足題意；當m5k3，n不存在；當m5k4，n不存在其中kN.故2a15k82 019，解k，則k0，1，2，134，共135個，即符合條件的a共有135個故答案為135.答案：1355已知二次函數(shù)f(x)x2axa(a0，xR)，有且只有一個零點，數(shù)列an的前n項和Snf(n)(nN+)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)cn1(nN+)，定義所有滿足cm·cm10的正整數(shù)m的個數(shù)，稱為這個數(shù)列cn的變號數(shù)，求數(shù)列的變號數(shù)解：(1)依題意，a24a0，所以a0或a4.又由a0得a4，所以f(x)x24x4.所以Snn24n4.當n1時，a1S11441；當n2時，anSnSn12n5.所以an(2)由題意得cn由cn1可知，當n5時，恒有cn0.又c13，c25，c33，c4，c5，c6，即c1·c20，c2·c30，c4·c50.所以數(shù)列cn的變號數(shù)為3.17