2022年高考數(shù)學二輪復習 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應用 文 求數(shù)列的通項訓練提示: 求數(shù)列通項的常用方法有累加法、累積法、構造等比數(shù)列法或已知Sn與an關系,求an或利用方程思想聯(lián)立方程組,求出基本量,得出an.解題時應注意各自的適用范圍及注意驗證n=1的情況.1.(xx寧夏石嘴山高三聯(lián)考)已知各項都不相等的等差數(shù)列an的前7項和為70,且a3為a1和a7的等比中項.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若數(shù)列bn滿足bn+1-bn=an(nN*),且b1=2,求數(shù)列的前n項和Tn.解:(1)設等差數(shù)列an的公差為d(d0),則解得所以an=2n+2.(2)因為bn+1-bn=an,所以bn-bn-1=an-1=2n(n2,nN*)bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+a1+b1=n(n+1).所以=-,所以Tn=1-+-+-=1-=.2.(xx東北三校第二次聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1=2,an+1=Sn+2,nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設bn=n·an,求數(shù)列bn的前n項和Tn.解:(1)當n=1時a2=S1+2=4=2a1,當n2時,an+1=2an,數(shù)列an滿足an+1=2an(nN*),且a1=2,所以an=2n(nN*).(2)bn=n·an=n·2nTn=1×21+2×22+3×23+(n-1)·2n-1+n·2n2Tn=1×22+2×23+3×24+(n-1)·2n+n·2n+1兩式相減,得-Tn=21+22+23+2n-1+2n-n·2n+1-Tn=-n·2n+1,Tn=2+(n-1)·2n+1(nN*).求數(shù)列的前n項和訓練提示: 在數(shù)列求和的幾種常見方法中,一定要注意其各自的適用范圍,其中在裂項相消法中注意裂項后的恒等變形,在錯位相減法中注意相減后,哪些項構成等比數(shù)列.3.(xx甘肅二診)已知數(shù)列an中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n2,nN*).(1)求a2,a3,并證明an-n是等比數(shù)列;(2)設bn=,求數(shù)列bn的前n項和Sn.解:(1)由已知an=2an-1-n+2(n2,nN*)得a2=4,a3=7.an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2an-1-(n-1),因為=2(n2,nN*).所以an-n是以2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)得an-n=(a1-1)·2n-1.即an=2n-1+n.所以bn=1+.設cn=,且前n項和為Tn,所以Tn=+Tn=+-得Tn=1+(+)-=-=2-.所以Tn=4-,Sn=n+4-.4.(xx鄭州第二次質(zhì)量預測)已知等差數(shù)列an的各項均為正數(shù),a1=1,且a3,a4+,a11成等比數(shù)列.(1)求an的通項公式;(2)設bn=,求數(shù)列bn的前n項和Tn.解:(1)設等差數(shù)列公差為d,由題意知d>0.因為a3,a4+,a11成等比數(shù)列,所以(a4+)2=a3a11,所以(+3d)2=(1+2d)(1+10d),即44d2-36d-45=0,所以d=(d=-舍去),所以an=.(2)bn=(-).所以Tn=(-+-+-)=.數(shù)列的綜合問題訓練提示: 解答數(shù)列綜合問題要善于用化歸思想把非等差、等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題,并結合函數(shù)與方程的思想方法分析、解決問題.數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分,先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結合得到數(shù)列的通項公式,然后再利用數(shù)列知識和方法求解.5.(xx鄭州第二次質(zhì)量預測)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn=2an-2.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設bn=log2a1+log2a2+log2an,求使(n-8)bnnk對任意nN*恒成立的實數(shù)k的取值范圍.解:(1)由Sn=2an-2可得a1=2,因為Sn=2an-2,所以當n2時,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即=2.數(shù)列an是以a1=2為首項,公比為2的等比數(shù)列,所以an=2n(nN*).(2)bn=log2a1+log2a2+log2an=1+2+3+n=.由(n-8)bnnk對任意nN*恒成立,即實數(shù)k對nN*恒成立;設cn=(n-8)(n+1),則當n=3或4時,cn取得最小值為-10,所以k-10.【教師備用】 (xx陜西卷)設fn(x)=x+x2+xn-1,x0,nN,n2.(1)求fn(2);(2)證明:fn(x)在(0,)內(nèi)有且僅有一個零點(記為an),且0<an-<()n.(1)解:法一由題設fn(x)=1+2x+nxn-1.所以fn(2)=1+2×2+(n-1)2n-2+n·2n-1,則2fn(2)=2+2×22+(n-1)2n-1+n·2n,-得-fn(2)=1+2+22+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)×2n-1,所以fn(2)=(n-1)×2n+1.法二當x1時,fn(x)=-1,則fn(x)=,可得fn(2)=(n-1)×2n+1.(2)證明:因為fn(0)=-1<0,fn()=-1=1-2×()n1-2×()2>0,所以fn(x)在(0,)內(nèi)至少存在一個零點.又fn(x)=1+2x+nxn-1>0,所以fn(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增,因此fn(x)在(0,)內(nèi)有且僅有一個零點an.由于fn(x)=-1,所以0=fn(an)=-1,由此可得an=+>,故<an<.所以0<an-=<×()n+1=()n. 類型一:周期數(shù)列與通項公式1.(xx山西大同三模)在數(shù)列an中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(nN+)的個位數(shù),則axx=. 解析:a1a2=2×7=14,所以a3=4,4×7=28,所以a4=8,4×8=32,所以a5=2,2×8=16,所以a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,a11=2,所以從第三項起,an的值成周期排列,周期為6,xx=335×6+5,所以axx=a5=2.答案:22.(xx赤峰市高三統(tǒng)考)數(shù)列an滿足a1=1,a2=3,an+2=an+1-an,nN*,則axx=. 解析:因為a1=1,a2=3,an+2=an+1-an,所以a3=2,a4=-1,a5=-3,a6=-2,a7=1,a8=3,所以數(shù)列an是以6為周期的周期數(shù)列.所以axx=a6×335+5=a5=-3.答案:-3類型二:由數(shù)列性質(zhì)解決恒成立問題3.(xx遼寧沈陽一模)已知數(shù)列an,cn滿足條件:a1=1,an+1=2an+1,cn=.(1)求證數(shù)列an+1是等比數(shù)列,并求數(shù)列an的通項公式;(2)求數(shù)列cn的前n項和Tn,并求使得am>對任意nN+都成立的正整數(shù)m的最小值.解:(1)因為an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1),因為a1=1,a1+1=20,所以數(shù)列an+1是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.所以an+1=2×2n-1,所以an=2n-1.(2)因為cn=(-),所以Tn=(-+-+-)=(-)=.所以=6+,nN*,所以6+15.所以當n=1時,取得最大值15.要使得am>對任意nN*恒成立,結合(1)的結果,只需2m-1>15,由此得m>4.所以正整數(shù)m的最小值是5.4.(xx東北三校聯(lián)合二模)已知數(shù)列an前n項和為Sn,滿足Sn=2an-2n(nN*).(1)證明:an+2是等比數(shù)列,并求an的通項公式;(2)數(shù)列bn滿足bn=log2(an+2),Tn為數(shù)列的前n項和,若Tn<a對正整數(shù)n都成立,求a的取值范圍.解:(1)由題設Sn=2an-2n(nN*),Sn-1=2an-1-2(n-1)(n2),兩式相減得an=2an-1+2,即an+2=2(an-1+2),又a1+2=4,所以an+2是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列.an+2=4×2n-1,an=4×2n-1-2=2n+1-2(n2),又a1=2,所以an=2n+1-2(nN*).(2)因為bn=log2(an+2)=log22n+1=n+1,=-,所以Tn=(-)+(-)+(-)=-<,所以a,即a的取值范圍為,+).類型三:數(shù)列的綜合問題5.(xx東北三校聯(lián)合模擬)已知數(shù)列an滿足··=(nN*),則a10等于(C)(A)e26(B)e29(C)e32(D)e35解析:因為··=所以··=所以得=,所以ln an=3n+2.所以ln a10=32,所以a10=e32.故選C.6.(xx濱州模擬)已知數(shù)列an中,a1=9,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).(1)證明:數(shù)列l(wèi)g(an+1)為等比數(shù)列.(2)令bn=an+1,設數(shù)列bn的前n項積為Tn,即Tn=(a1+1)(a2+1)(an+1),求lg Tn.(3)在(2)的條件下,記cn=,設數(shù)列cn的前n項和為Sn,求證:Sn<1.(1)證明:由題意得an+1=+2an,即an+1+1=(an+1)2,對an+1+1=(an+1)2兩邊取對數(shù)得lg(an+1+1)=2lg(an+1),因為a1=9,所以lg(a1+1)=lg 10=1,所以數(shù)列l(wèi)g(an+1)是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列.(2)解:由(1)知lg(an+1)=2n-1.lg Tn=lg(a1+1)(a2+1)(an+1)=lg(a1+1)+lg(a2+1)+lg(an+1)=所以lg Tn=2n-1.(3)證明:cn=-,Sn=(-)+(-)+(-)+(-)=1-<1.