2022年高考數(shù)學專題復習 第27講 平面向量應用舉例練習 新人教A版考情展望1.用向量的方法解決某些簡單的平面幾何證明問題.2.與三角函數(shù)、解析幾何等知識交匯命題，體現(xiàn)向量運算的工具性一、向量在平面幾何中的應用1平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題2用向量解決常見平面幾何問題的技巧問題類型所用知識公式表示線平行、點共線、相似等問題共線向量定理ababx1y2x2y10(b0)其中a(x1，y1)，b(x2，y2)垂直問題數(shù)量積的運算性質(zhì)aba·b0x1x2y1y20a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a，b為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義cos (為向量a，b的夾角)二、向量在物理中的應用1向量的加法、減法在力的分解與合成中的應用2向量在速度的分解與合成中的應用3向量的數(shù)量積在合力做功問題中的應用：Wf·s.1已知三個力f1，f2，f3作用于物體同一點，使物體處于平衡狀態(tài)，若f1(2,2)，f2(2,3)，則|f3|為()A2.5B4C2D5【解析】 由題意知f1f2f30，f3(f1f2)(0，5)，|f3|5.【答案】D2已知O是ABC所在平面上一點，若···，則O是ABC的()A內(nèi)心 B重心 C外心 D垂心【解析】 ···()0，·0OBAC.同理：OABC，OCAB，O是ABC的垂心【答案】D3若·20，則ABC為()A鈍角三角形 B銳角三角形C等腰直角三角形 D直角三角形【解析】 ·20可化為·()0，即·0，所以.所以ABC為直角三角形【答案】D4已知兩個力F1、F2的夾角為90°，它們的合力F的大小為10 N，合力與F1的夾角為60°，那么F1的大小為_【解析】 如圖所示|F1|F|cos 60°10×5(N)【答案】5 N5(xx·湖南高考)在ABC中，AB2，AC3，·1，則BC()A. B. C2 D.【解析】 ·1，且AB2，1|cos(B)，|cos B.在ABC中，|AC|2|AB|2|BC|22|AB|BC|cos B，即94|BC|22×2×.|BC|.【答案】A6(xx·福建高考)在四邊形ABCD中，(1,2)，(4,2)，則該四邊形的面積為()A. B2 C5 D10【解析】 ·(1,2)·(4,2)440，S四邊形ABCD|·|××25.【答案】C考向一 080向量在平面幾何中的應用(1)(xx·長沙模擬)在ABC中，已知向量與滿足·0，且·，則ABC為()A等邊三角形B直角三角形C等腰非等邊三角形 D三邊均不相等的三角形(2)(xx·濟南模擬)設a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點的任意三個非零向量，且a與b不共線，ac，|a|c|，則|b·c|的值一定等于()A以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B以b，c為兩邊的三角形面積C以a，b為兩邊的三角形面積D以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積(3)已知ABC的三邊長AC3，BC4，AB5，P為AB邊上任意一點，則·()的最大值為_【思路點撥】(1)是單位向量，結(jié)合平行四邊形法則及·0分析AB與AC的關(guān)系，借助數(shù)量積的定義求CBA，進而得出ABC的形狀(2)借助數(shù)量積的定義及三角函數(shù)誘導公式求解(3)可采用坐標法和基向量法分別求解本題【嘗試解答】(1)因為·0，所以BAC的平分線垂直于BC，所以ABAC.又·，所以cosBAC，即BAC，所以ABC為等邊三角形(2)依題意可得|b·c|b|c|cosb，c|b|c|sina，bS平行四邊形|b·c|的值一定等于以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積(3)法一(坐標法)以C為原點，建立平面直角坐標系如圖，設P點坐標為(x，y)且0y3,0x4，則·()·(x，y)·(0,3)3y，當y3時，取得最大值9.法二(基向量法)，·()()·2·9·9|·|·cosBAC93|·cosBAC，cosBAC為正且為定值，當|最小即|0時，·()取得最大值9.【答案】(1)A(2)D(3)9規(guī)律方法11.向量在平面幾何中的三大應用：一是借助運算判斷圖形的形狀，二是借助模、數(shù)量積等分析幾何圖形的面積；三是借助向量探尋函數(shù)的最值表達式，進而求最值.2.平面幾何問題的向量解法(1)坐標法,把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.(2)基向量法,適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設定未知量的方程來進行求解.對點訓練(1)已知點O，N，P在ABC所在平面內(nèi)，且|，0，···，則點O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心B重心、外心、內(nèi)心C外心、重心、垂心 D外心、重心、內(nèi)心(注：三角形的三條高線交于一點，此點稱為三角形的垂心)(2)(xx·課標全國卷)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則·_.【解析】 (1)|，即點O到A，B，C三點的距離相等，點O為ABC的外心如圖，設D為BC邊的中心，則2，0，20，2，A，D，N三點共線，點N在BC邊的中線上同理，點N也在AB，AC邊的中線上，點N是ABC的重心··，··0，·()0，·0，.同理，點P是ABC的垂心(2)如圖，以A為坐標原點，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，(1,2)，(2,2)，·1×(2)2×22.【答案】(1)C(2)2考向二 081向量在物理中的應用(1)一質(zhì)點受到平面上的三個力F1、F2、F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為()A2B2C2D6圖441(2)如圖441所示，已知力F與水平方向的夾角為30°(斜向上)，F(xiàn)的大小為50 N，F(xiàn)拉著一個重80 N的木塊在摩擦因數(shù)0.02的水平平面上運動了20 m，問F、摩擦力f所做的功分別為多少？【思路點撥】(1)利用F1F2F30，結(jié)合向量模的求法求解(2)力在位移上所做的功，是向量數(shù)量積的物理含義，要先求出力F，f和位移的夾角【嘗試解答】(1)如圖所示，由已知得F1F2F30，F(xiàn)3(F1F2)FFF2F1·F2FF2|F1|F2|cos 60°28.|F3|2.【答案】A(2)設木塊的位移為s，則F·s|F|·|s|cos 30°50×20×500 J，F(xiàn)在豎直方向上的分力大小為|F|sin 30°50×25(N)，所以摩擦力f的大小為|f|(8025)×0.021.1(N)，所以f·s|f|·|s|cos 180°1.1×20×(1)22 J.F，f所做的功分別是500 J，22 J規(guī)律方法21.物理學中的“功”可看作是向量的數(shù)量積的原型.2.應善于將平面向量知識與物理有關(guān)知識進行類比.例如，向量加法的平行四邊形法則可與物理中力的合成進行類比，平面向量基本定理可與物理中力的分解進行類比.3.用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運算解決問題；三是將結(jié)果還原為物理問題.考向三 082向量在三角函數(shù)中的應用(xx·遼寧高考)設向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)設函數(shù)f(x)a·b，求f(x)的最大值【思路點撥】分別表示兩向量的模，利用相等求解x的值；利用數(shù)量積運算及輔助角公式化為一個角的一種函數(shù)求解【嘗試解答】(1)由|a|2(sin x)2sin2 x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x，從而sin x，所以x.(2)f(x)a·bsin x·cos xsin2xsin 2xcos 2xsin，當x時，sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.規(guī)律方法3平面向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目的解題思路通常是將向量的數(shù)量積與模經(jīng)過坐標運算后轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用三角函數(shù)基本公式求解.對點訓練已知O為坐標原點，向量(sin ，1)，(cos ，0)，(sin ，2)，點P滿足.(1)記函數(shù)f()·，求函數(shù)f()的最小正周期；(2)若O、P、C三點共線，求|的值【解】(1)(cos sin ，1)，設(x，y)，則(xcos ，y)，由得x2cos sin ，y1，故(2cos sin ，1)(sin cos ，1)，(2sin ，1)，f()(sin cos ，1)·(2sin ，1)2sin22sin cos 1(sin 2cos 2)sin，f()的最小正周期T.(2)由O、P、C三點共線可得(1)×(sin )2×(2cos sin )，得tan ，sin 2，|.規(guī)范解答之七平面向量與三角函數(shù)的交匯問題求平面向量與三角函數(shù)的交匯問題的一般步驟：第一步：將向量間的關(guān)系式化成三角函數(shù)式；第二步：化簡三角函數(shù)式；第三步：求三角函數(shù)式的值或求角或分析三角函數(shù)式的性質(zhì)；第四步：明確表述結(jié)論1個示范例1個規(guī)范練(12分)(xx·江蘇高考)已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設c(0,1)，若abc，求，的值【規(guī)范解答】(1)證明由題意得|ab|22，2分即(ab)2a22a·bb22.又因為a2b2|a|2|b|21，所以22a·b2，即a·b0，故ab.5分(2)因為ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以7分由此得，cos cos()，由0，得0.9分又0，故.代入sin sin 1，得sin sin ，11分而，所以，.12分 【名師寄語】(1)熟練掌握平面向量的線性運算及數(shù)量積的運算是求解此類問題的前提.(2)解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題，要利用平面向量的定義和運算法則準確轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式.在此基礎上運用三角函數(shù)的知識求解.(xx·煙臺模擬)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|.(1)求cos()的值；(2)若0，0，且sin .求sin .【解】(1)|ab|，|ab|2，a22abb2，22(cos cos sin sin )，22cos()，即cos().(2)sin sin()sin()cos cos()sin ，又0，0，則0，sin()，cos ，sin ××.