2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第48講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布練習(xí) 新人教A版考情展望1.以實(shí)際問題為背景考查離散型隨機(jī)變量的均值、方差的求解.2.利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差解決一些實(shí)際問題.3.考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義一、離散型隨機(jī)變量的均值與方差及其性質(zhì)1定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(xi)pi，i1,2，n.(1)均值：稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(2)方差：稱D(X) (xiE(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b為常數(shù))(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差均值方差變量X服從兩點(diǎn)分布E(X)pD(X)p(1p)XB(n，p)E(X)npD(X)np(1p)求均值、方差的方法1已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；2已知隨機(jī)變量的均值、方差，求的線性函數(shù)ab的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解；3如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解二、正態(tài)分布1正態(tài)曲線的定義函數(shù)，(x)e，x(，)，其中實(shí)數(shù)和(0)為參數(shù)，我們稱，(x)的圖象為正態(tài)曲線2正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實(shí)數(shù)a，b(ab)，隨機(jī)變量X滿足P(aXb)，(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作N(，2)3正態(tài)曲線的性質(zhì)：(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線關(guān)于直線x對稱；(3)曲線在x處達(dá)到峰值；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當(dāng)一定時(shí)，曲線隨著的變化而沿x軸平移；(6)當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散4正態(tài)總體三個(gè)基本概率值(1)P(X)0.682_6；(2)P(2X2)0.954_4；(3)P(3X3)0.997_4.關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值；(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.正態(tài)曲線關(guān)于直線x對稱，從而在關(guān)于x對稱的區(qū)間上概率相等P(Xa)1P(xa)，P(Xa)P(Xa)1已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2，2)，P(4)0.84，則P(0)()A0.16B0.32C0.68D0.84【解析】P(4)0.84，2，P(0)P(4)10.840.16.【答案】A2已知X的分布列為X101P設(shè)Y2X3，則E(Y)的值為()A. B4 C1 D1【解析】E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33.【答案】A3設(shè)隨機(jī)變量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，則()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45【解析】XB(n，p)，E(X)np1.6，D(X)np(1p)1.28，【答案】A4某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E()8.9，則y的值為_【解析】依題意得即由此解得y0.4.【答案】0.45(xx·廣東高考)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學(xué)期望E(X)()A. B2 C. D3【解析】把數(shù)據(jù)代入隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行計(jì)算即可E(X)1×2×3×，選A.【答案】A6(xx·湖北高考)如圖1091，將一個(gè)各面圖1091都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)()A. B. C. D.【解析】先求出隨機(jī)變量X的分布列，然后利用均值的計(jì)算公式求得E(X)依題意得X的取值可能為0,1,2,3，且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故E(X)0×1×2×3×.【答案】B考向一 195正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量XN(3,1)，若P(x4)p，則P(2x4)()A.p B1p C12p D.p【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求解【嘗試解答】隨機(jī)變量XN(3,1)，觀察圖得，P(2X4)12P(X4)12p.【答案】C規(guī)律方法11.求解本題關(guān)鍵是明確正態(tài)曲線關(guān)于x3對稱，且區(qū)間2，4關(guān)于x3對稱.2.解決此類問題，首先要確定與的值，然后把所求問題轉(zhuǎn)化到已知概率的區(qū)間上來，在求概率時(shí)，要注意關(guān)于直線x對稱的區(qū)間上概率相等，而且把一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.對點(diǎn)訓(xùn)練如果隨機(jī)變量N(1，2)，且P(31)0.4，則P(1)等于()A0.4B0.3C0.2D0.1【解析】因?yàn)镻(31)P(11)0.4，所以P(1)0.1，選D.【答案】D考向二 196離散型隨機(jī)變量的均值與方差(xx·廣東百所高中聯(lián)考)為貫徹“激情工作，快樂生活”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識有獎(jiǎng)競賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選答題的機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽，答對3題者直接進(jìn)入決賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為.(1)求選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率；(2)設(shè)選手甲在初賽 中答題的個(gè)數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望【思路點(diǎn)撥】(1)分兩種情況：一是答對三道，二是前三道答對二道，第四道答對；(2)的可能取值為3,4,5，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與相互獨(dú)立事件求取值所對應(yīng)的概率【嘗試解答】(1)選手甲答3道題進(jìn)入決賽的概率為3，選手甲答4道題進(jìn)入決賽的概率為C·2··，選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率P；(2)依題意，的可取取值為3、4、5，則有P(3)33，P(4)C·2··C···，P(5)C·2··C·2·2·，因此，有345PE3×4×5×.規(guī)律方法2求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的方法：(1)先求隨機(jī)變量的分布列，然后利用均值與方差的定義求解.(2)若隨機(jī)變量XB(n，p)，則可直接使用公式E(X)np，D(X)np(1p)求解.對點(diǎn)訓(xùn)練為了解某校高三畢業(yè)班報(bào)考體育專業(yè)學(xué)生的體重(單位：千克)情況，將從該市某學(xué)校抽取的樣本數(shù)據(jù)整理后得到如下頻率分布直方圖，已知圖1092中從左至右前3個(gè)小組的頻率之比為123，其中第2小組的頻數(shù)為12.圖1092(1)求該校報(bào)考體育專業(yè)學(xué)生的總?cè)藬?shù)n；(2)若用這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)該市的總體情況，現(xiàn)從該市報(bào)考體育專業(yè)的學(xué)生中任選3人，設(shè)表示體重超過60千克的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望【嘗試解答】(1)設(shè)該校報(bào)考體育專業(yè)的人數(shù)為n，前三小組的頻率分別為p1，p2，p3，則由題意可知，解得p10.125，p20.25，p30.375.又因?yàn)閜20.25，故n48.(2)由(1)可得，一個(gè)報(bào)考學(xué)生體重超過60公斤的概率為pp3(0.03750.0125)×5.所以服從二項(xiàng)分布，P(k)Ck·3k，k0,1,2,3隨機(jī)變量的分布列為：0123p則E0×1×2×3×.考向三 197期望與方差在決策中的應(yīng)用小明從家到學(xué)校有兩條路線，路線1上有三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為；路線2上有兩個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，.(1)若小明上學(xué)走路線1，求最多遇到1次紅燈的概率；(2)若小明上學(xué)走路線2，求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望(3)按照“平均遇到紅燈次數(shù)越少為越好”的標(biāo)準(zhǔn)，請你幫助小明從上述兩條路線中選擇一條最好的上學(xué)路線，并說明理由【思路點(diǎn)撥】(1)利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與互斥事件的概率知識解決；(2)確定X的可能值，求出相應(yīng)的概率，可得隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)比較兩路線遇紅燈的數(shù)學(xué)期望即可做出判斷【嘗試解答】(1)設(shè)走路線1最多遇到1次紅燈為A事件，則P(A)C×3C××2(2)依題意，X的可能取值為0,1,2.P(X0)×，P(X1)××，P(X2)×隨機(jī)變量X的分布列為：X012PEX×0×1×2(3)設(shè)選擇路線1遇到紅燈次數(shù)為Y，則YB，所以EY3×因?yàn)镋XEY，所以選擇路線1上學(xué)最好規(guī)律方法31.解決此類題目的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值所表示的具體事件，求得該事件發(fā)生的概率，列出分布列.2.隨機(jī)變量的期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)，一般是先分析比較均值，若均值相同，再用方差來決定.對點(diǎn)訓(xùn)練(xx·福建高考)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X3的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？【解】(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響記“這2人的累計(jì)得分X3”的事件為A，則事件A的對立事件為“X5”因?yàn)镻(X5)×，所以P(A)1P(X5)1，即這2人的累計(jì)得分X3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2)由已知可得，X1B，X2B，所以E(X1)2×，E(X2)2×，從而E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).因?yàn)镋(2X1)E(3X2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大規(guī)范解答之二十四離散型隨機(jī)變量的均值求解指南第一步：理清題意，分析條件與結(jié)論，確定所求事件，求出相應(yīng)的概率值；第二步：確定隨機(jī)變量的所有可能取值，注意變量取值的準(zhǔn)確性；第三步：根據(jù)條件及概率類型，求每一個(gè)可能值所對應(yīng)的概率；第四步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列，利用分布列的性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn)是否準(zhǔn)確；第五步：利用均值和方差公式求值1個(gè)示范例1個(gè)規(guī)范練(12分)某校50名學(xué)生參加智力答題活動(dòng)，每人回答3個(gè)問題，答對題目個(gè)數(shù)及對應(yīng)人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果見下表：答對題目個(gè)數(shù)0123人數(shù)5102015根據(jù)上表信息解答以下問題：(1)從50名學(xué)生中任選兩人，求兩人答對題目個(gè)數(shù)之和為4或5的概率；(2)從50名學(xué)生中任選兩人，用X表示這兩名學(xué)生答對題目個(gè)數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.【規(guī)范解答】(1)記“兩人答對題目個(gè)數(shù)之和為4或5”為事件A，則P(A)，5分即兩人答對題目個(gè)數(shù)之和為4或5的概率為6分(2)依題意可知X的可能取值分別為0,1,2,3.則P(X0)，7分P(X1)8分P(X2)，9分P(X3)，10分從而X的分布列為：X0123P故X的數(shù)學(xué)期望EX0×1×2×3×.12分【名師寄語】(1)解答本題的關(guān)鍵是正確確定隨機(jī)變量X的取值并求出相應(yīng)的概率，注意分類討論思想的應(yīng)用.(2)分布列中某一欄的概率如果比較復(fù)雜，可不求而改由利用分布列的性質(zhì)p1p2pn1求解比較方便，否則也可用此性質(zhì)檢驗(yàn)各概率的計(jì)算有無錯(cuò)誤.(xx·課標(biāo)全國卷)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n3，再從這批產(chǎn)品中任取4件檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單元：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望【解】(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件A，依題意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2)××.(2)X可能的取值為400,500,800，并且P(X400)1，P(X500)，P(X800)，所以以X的分布列為X400500800PEX400×500×800×506.25.