2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 函數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)圖像的走勢，高考中?？计湟幌伦饔茫罕容^大小，解不等式，求最值。定義：（略）定理1：那么上是增函數(shù)；上是減函數(shù).定理2：（導(dǎo)數(shù)法確定單調(diào)區(qū)間） 若，那么上是增函數(shù)； 上是減函數(shù).1.函數(shù)單調(diào)性的判斷(證明)(1)作差法(定義法) (2)作商法 (3)導(dǎo)數(shù)法2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定對于函數(shù)和，如果函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，當(dāng)時，且函數(shù)在區(qū)間上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間具有單調(diào)性。3.由單調(diào)函數(shù)的四則運算所得到的函數(shù)的單調(diào)性的判斷對于兩個單調(diào)函數(shù)和，若它們的定義域分別為和，且：(1)當(dāng)和具有相同的增減性時，的增減性與相同，、的增減性不能確定；(2)當(dāng)和具有相異的增減性時，我們假設(shè)為增函數(shù)，為減函數(shù)，那么：的增減性不能確定；、為增函數(shù)，為減函數(shù)。4.奇偶函數(shù)的單調(diào)性奇函數(shù)在其定義域內(nèi)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其定義域內(nèi)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。二、函數(shù)的對稱性函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì), 對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中,而且利用對稱性往往能夠更簡捷的使問題得到解決,對稱關(guān)系同時還充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。1.函數(shù)的圖象的對稱性（自身）:定理1: 函數(shù)的圖象關(guān)于直對稱特殊的有：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱（奇函數(shù)）。函數(shù)是偶函數(shù)關(guān)于對稱。定理2：函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱特殊的有： 函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱。 函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱（奇函數(shù)）。 函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于點 對稱。定理3：（性質(zhì)）若函數(shù)y=f (x)的圖像有兩條鉛直對稱軸x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)為周期函數(shù)且2|a-b|是它的一個周期。若函數(shù)y=f (x)的圖像有一個對稱中心M(m.n)和一條鉛直對稱軸x=a,那么f(x)為周期函數(shù)且4|a-m|為它的一個周期。若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱（ab），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| ab|是其一個周期。若一個函數(shù)的反函數(shù)是它本身,那么它的圖像關(guān)于直線y=x對稱。2.兩個函數(shù)圖象的對稱性:函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對稱.函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.特殊地: 與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的解析式為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱的解析式為函數(shù)y = f (x)與ax = f (ay)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對稱。函數(shù)y = f (x)與xa = f (y + a)的圖像關(guān)于直線xy = a成軸對稱。函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對稱。3奇偶函數(shù)性質(zhì)對于兩個具有奇偶性的函數(shù)和，若它們的定義域分別為和，且：（1）滿足定義式子（偶）（奇）（2）在原點有定義的奇函數(shù)有(3)當(dāng)和具有相同的奇偶性時，假設(shè)為奇函數(shù)，那么：函數(shù)、也為奇函數(shù)；簡單地說：奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)， 偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)， 奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)， 偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)， 奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù). 、為偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)之和、差、積、商為偶函數(shù)(4)當(dāng)和具有相異的奇偶性時，那么：、的奇偶性不能確定；、為奇函數(shù)。（6）任意函數(shù)均可表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。（7）一般的奇函數(shù)都具有反函數(shù)，且依然是奇函數(shù)，偶函數(shù)沒有反函數(shù)（8）圖形的對稱性 關(guān)于軸對稱的函數(shù)（偶函數(shù)）關(guān)于原點對稱的函數(shù)（奇函數(shù)）（9）若是偶函數(shù)，則必有 若是奇函數(shù)，則必有（10）若為偶函數(shù)，則必有 若是奇函數(shù)，則必有（11）常見的奇偶函數(shù)三、函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性反映了函數(shù)的重復(fù)性，在試題中它的主要用途是將大值化小，負(fù)值化正，求值。1.周期性的定義對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個值時，都有都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期。如果非零常數(shù)是函數(shù)的周期，那么、（）也是函數(shù)的周期。2. 函數(shù)的周期性的主要結(jié)論：結(jié)論1：如果（），那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論2：如果（），那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論3：如果定義在上的函數(shù)有兩條對稱軸、對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論4：如果偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論5：如果奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論6：如果函數(shù)同時關(guān)于兩點、（）成中心對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論7：如果奇函數(shù)關(guān)于點（）成中心對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論8：如果函數(shù)的圖像關(guān)于點（）成中心對稱，且關(guān)于直線（）成軸對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論9：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論10：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論11：如果，那么是周期函數(shù)，其中一個周期函數(shù)的圖象和性質(zhì)課堂例題一、函數(shù)圖象的分析和判斷例1 (1)設(shè)a<b，則函數(shù)y(ax)(xb)的圖象可能是()類型二：構(gòu)造函數(shù)解決不等式問題例2（1）函數(shù)f(x)的定義域為R，f(1)2，對任意xR，f(x)2，則f(x)2x4的解集為 （2）若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足f(x) x f(x)，則一定有（ ）A、2 f(5)< f(10) B、2 f(5)> f(10) C、2 f(5)= f(10) D、f(5)< f(10)(3)(xx浙江9) 9設(shè)，則（ ） A若，則 B若，則 C若，則 D若，則類型三：函數(shù)的性質(zhì)（對稱性、奇偶性、周期性、單調(diào)性）判斷對稱性的問題：例3：判斷函數(shù)對稱性命題的正誤有以下四個命題：(1) 定義在R上的函數(shù)y=f(x)，對任意的實數(shù)x，都有f(x-1) +f(1-x)=2，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點（0,1）對稱。(2) 定義在R上的函數(shù)y=f(x)，對任意的實數(shù)x，都有f(x-1) =f(1-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱。(3) 同一坐標(biāo)系中，實數(shù)集上的函數(shù)y= f(x-1)與實數(shù)集上的函數(shù)y=f(1-x)的圖象關(guān)于x=1對稱。(4) 同一坐標(biāo)系中，實數(shù)集上的函數(shù)y= f(x+1)與實數(shù)集上的函數(shù)y=f(1-x)的圖象關(guān)于x=0對稱。其正確的命題是 .判斷函數(shù)的奇偶性例4：（xx年全國1卷）函數(shù)的定義域為R，若與都是奇函數(shù)，則（ ）(A) 是偶函數(shù) (B) 是奇函數(shù) (C) (D) 是奇函數(shù)練習(xí)：設(shè)，、，且，則下列結(jié)論必成立的是（ ） A. B. +0 C. D. 3xx·新課標(biāo)全國卷 設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()Af(x)g(x)是偶函數(shù)B|f(x)|g(x)是奇函數(shù)Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù)D|f(x)g(x)|是奇函數(shù)函數(shù)周期性的問題例5、已知函數(shù)f(x)對任意xR都有f(x6)f(x)2f(3)，yf(x1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，且f(4)4，則f(2 012)()A0 B4 C8 D16練習(xí)1已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足 ff(x)，且函數(shù)yf為奇函數(shù)，給出三個結(jié)論：f(x)是周期函數(shù)；f(x)的圖象關(guān)于點對稱；f(x)是偶函數(shù)其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A3 B2 C1 D0其中所有正確結(jié)論的序號是 。練習(xí)2.(xx·高考天津卷)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增若實數(shù)a滿足f(log2a)f(loga)2f(1)，則a的取值范圍是()A1，2 B. C. D(0，2【思路點撥】(1)先確定y3|x|的奇偶性及單調(diào)性，再驗證練習(xí)3.(1)(xx·高考山東卷)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x6)f(x)，當(dāng)3x1時，f(x)(x2)2；當(dāng)1x3時，f(x)x.則f(1)f(2)f(3)f(2 012)()A335 B338C1 678 D2 012(2)(xx·高考江蘇卷)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)x24x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為_類型四：交點和所有交點橫坐標(biāo)的和例6、(1)(新課標(biāo)2011、12)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和等于（ ）（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8(2)(新課標(biāo)2011、12)已知函數(shù)y= f (x) 的周期為2，當(dāng)x時 f (x) =x2,那么函數(shù)y = f (x) 的圖像與函數(shù)y =的圖像的交點共有( )（A）10個 （B）9個 （C）8個 （D）1個 類型五：分段函數(shù)問題例7（13年11）已知函數(shù)f(x)，若| f(x)|ax，則a的取值范圍是()A、（，0 B、（，1 C、2，1 D、2，0 【解析】|=，由|得，且，由可得，則-2，排除，當(dāng)=1時，易證對恒成立，故=1不適合，排除C，故選D.類型六：三次函數(shù)的問題：例8、（14年11）已知函數(shù)=，若存在唯一的零點，且0，則的取值范圍為（ ）.（2，+） .（-，-2） .（1，+） .（-，-1）11已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是A B C D解析：當(dāng)時， 有兩個零點，不滿足條件當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，在，為極小值，為極大值，若存在唯一的零點，且，只需，當(dāng)時，在，為極大值，為極小值，不可能有滿足條件的極值，故選C