2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講教案 理 新人教版選修4-5【xx年高考會這樣考】1考查含絕對值不等式的解法2考查有關(guān)不等式的證明3利用不等式的性質(zhì)求最值【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時，緊緊抓住含絕對值不等式的解法，以及利用重要不等式對一些簡單的不等式進(jìn)行證明該部分的復(fù)習(xí)以基礎(chǔ)知識、基本方法為主，不要刻意提高難度，以課本難度為宜，關(guān)鍵是理解有關(guān)內(nèi)容本質(zhì).基礎(chǔ)梳理1含有絕對值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|a(a0)af(x)a；(3)對形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用絕對值不等式的幾何意義求解2含有絕對值的不等式的性質(zhì)|a|b|a±b|a|b|.3基本不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab.當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立定理2：如果a、b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立定理3：如果a、b、c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均值不等式)如果a1、a2、an為n個正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時，等號成立5不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等雙基自測1不等式1|x1|3的解集為_答案(4，2)(0,2)2不等式|x8|x4|2的解集為_解析令：f(x)|x8|x4|當(dāng)x4時，f(x)42；當(dāng)4x8時，f(x)2x122，得x5，4x5；當(dāng)x8時，f(x)42不成立故原不等式的解集為：x|x5答案x|x53已知關(guān)于x的不等式|x1|x|k無解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析|x1|x|x1x|1，當(dāng)k1時，不等式|x1|x|k無解，故k1.答案k14若不等式|3xb|4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，則b的取值范圍為_解析由|3xb|4，得x，即解得5b7.答案(5,7)5(xx·南京模擬)如果關(guān)于x的不等式|xa|x4|1的解集是全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析在數(shù)軸上，結(jié)合實(shí)數(shù)絕對值的幾何意義可知a5或a3.答案(，53，) 考向一含絕對值不等式的解法【例1】設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式f(x)2；(2)求函數(shù)yf(x)的最小值審題視點(diǎn) 第(1)問：采用分段函數(shù)解不等式；第(2)問：畫出函數(shù)f(x)的圖象可求f(x)的最小值解(1)f(x)|2x1|x4|當(dāng)x時，由f(x)x52得，x7.x7；當(dāng)x4時，由f(x)3x32，得x，x4；當(dāng)x4時，由f(x)x52，得x3，x4.故原不等式的解集為.(2)畫出f(x)的圖象如圖：f(x)min. (1)用零點(diǎn)分段法解絕對值不等式的步驟：求零點(diǎn)；劃區(qū)間、去絕對值號；分別解去掉絕對值的不等式；取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值(2)用圖象法，數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，即通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法【訓(xùn)練1】 設(shè)函數(shù)f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時，f(x)|x1|x1|，f(x)作出函數(shù)f(x)|x1|x1|的圖象由圖象可知，不等式的解集為.(2)若a1，f(x)2|x1|，不滿足題設(shè)條件；若a1，f(x)f(x)的最小值為1a.若a1，f(x)f(x)的最小值為a1.對于xR，f(x)2的充要條件是|a1|2，a的取值范圍是(，13，)考向二不等式的證明【例2】證明下列不等式：(1)設(shè)ab0，求證：3a32b33a2b2ab2；(2)a24b29c22ab3ac6bc；(3)a68b6c62a2b2c2.審題視點(diǎn) (1)作差比較；(2)綜合法；(3)利用柯西不等式證明(1)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ab)(ab)(3a22b2)ab0，ab0,3a22b20.(ab)(3a22b2)0.3a22b33a2b2ab2.(2)a24b224ab，a29c226ac，4b29c2212bc，2a28b218c24ab6ac12bc，a24b29c22ab3ac6bc.(3)a68b6c63 3×a2b2c22a2b2c2，a68b6c62a2b2c2. (1)作差法應(yīng)該是證明不等式的常用方法作差法證明不等式的一般步驟是：作差；分解因式；與0比較；結(jié)論關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力(2)注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)，利用基本不等式或柯西不等式證明【訓(xùn)練2】 (xx·遼寧)已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2b2c226，并確定a，b，c為何值時，等號成立證明法一因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得，a2b2c23(abc)，3(abc)，所以29(abc)，故a2b2c223(abc)9(abc).又3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)abc時，式和式等號成立當(dāng)且僅當(dāng)3(abc)9(abc)時，式等號成立故當(dāng)且僅當(dāng)abc3時，原不等式等號成立法二因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac.所以a2b2c2abbcac.同理，故a2b2c22abbcac6.所以原不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)abc時，式和式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)abc，(ab)2(bc)2(ac)23時，式等號成立故當(dāng)且僅當(dāng)abc3時，原不等式等號成立考向三利用基本不等式或柯西不等式求最值【例3】已知a，b，cR，且abc1，求的最大值審題視點(diǎn) 先將()平方后利用基本不等式；還可以利用柯西不等式求解解法一利用基本不等式()2(3a1)(3b1)(3c1)2·2·2·(3a1)(3b1)(3c1)(3a1)(3b1)(3b1)(3c1)(3a1)(3c1)3(3a1)(3b1)(3c1)18，3，()max3.法二利用柯西不等式(121212)()2()2()2(1·1·1·)2()233(abc)3又abc1，()218，3.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立()max3. 利用基本不等式或柯西不等式求最值時，首先要觀察式子特點(diǎn)，構(gòu)造出基本不等式或柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式，其次要注意取得最值的條件是否成立【訓(xùn)練3】 已知abc1，ma2b2c2，求m的最小值解法一abc1，a2b2c22ab2bc2ac1，又a2b22ab，a2c22ac，b2c22bc，2(a2b2c2)2ab2ac2bc，1a2b2c22ab2bc2ac3(a2b2c2)a2b2c2.當(dāng)且僅當(dāng)abc時，取等號，mmin.法二利用柯西不等式(121212)(a2b2c2)(1·a1·b1·c)abc1.a2b2c2，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立mmin 如何求解含絕對值不等式的綜合問題從近兩年的新課標(biāo)高考試題可以看出，高考對不等式選講的考查難度要求有所降低，重點(diǎn)考查含絕對值不等式的解法(可能含參)或以函數(shù)為背景證明不等式，題型為填空題或解答題【示例】 (本題滿分10分)(xx·新課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)|xa|3x，其中a0.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集為x|x1，求a的值 第(2)問解不等式|xa|3x0的解集，結(jié)果用a表示，再由x|x1求a.解答示范 (1)當(dāng)a1時，f(x)3x2可化為|x1|2.由此可得x3或x1.(3分)故不等式f(x)3x2的解集為x|x3或x1(5分)(2)由f(x)0得，|xa|3x0.此不等式化為不等式組或即或(8分)因?yàn)閍0，所以不等式組的解集為.由題設(shè)可得1，故a2.(10分) 本題綜合考查了含絕對值不等式的解法，屬于中檔題解含絕對值的不等式主要是通過同解變形去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為一元一次和一元二次不等式(組)進(jìn)行求解含有多個絕對值符號的不等式，一般可用零點(diǎn)分段法求解，對于形如|xa|xb|m或|xa|xb|m(m為正常數(shù))，利用實(shí)數(shù)絕對值的幾何意義求解較簡便【試一試】 (xx·遼寧)已知函數(shù)f(x)|x2|x5|.(1)證明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集嘗試解答(1)f(x)|x2|x5|當(dāng)2x5時，32x73.所以3f(x)3.(2)由(1)可知，當(dāng)x2時，f(x)x28x15的解集為空集；當(dāng)2x5時，f(x)x28x15的解集為x|5x5；當(dāng)x5時，f(x)x28x15的解集為x|5x6綜上，不等式f(x)x28x15的解集為x|5x6.