2022年高考數(shù)學大一輪復習 第七章 第39課 等差數(shù)列檢測評估
2022年高考數(shù)學大一輪復習 第七章 第39課 等差數(shù)列檢測評估
一、 填空題
1.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a3=1,a4+a10=18,那么首項a1= .
2. 在等差數(shù)列{an}中, 已知a1=1,d=4,那么該數(shù)列前20項和S20= .
3. 在等差數(shù)列{an}中,若a3+a7=37,則a2+a4+a6+a8= .
4. 設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2=-9,a3+a7=-6,則當Sn取最小值時,n= .
5.設等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若=,則an=bn時n= .
6.設{an}是公差不為零的等差數(shù)列,a1=2且a1,a3,a6成等比數(shù)列,則a2 015= .
7. (xx·泰州期末)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2a4a6a8=120,且+++=,則S9的值為 .
8.已知等差數(shù)列{an}的首項a1=a,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且滿足=3n2an+,an≠0,n≥2,n∈N*,那么a= .
二、 解答題
9.已知遞減的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a3a5=63,a2+a6=16.
(1)求數(shù)列{an}的通項;
(2)當n為多少時,Sn取得最大值?并求出其最大值;
(3)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
10. 設Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且Sn=kn2+n,n∈N*,其中k是常數(shù).
(1) 求a1及an;
(2) 若對于任意的m∈N*,am,a2m,a4m成等比數(shù)列,求k的值.
11.(xx·蘇錫常鎮(zhèn)連徐一調)設各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1對一切n∈N*都成立.
(1)若λ=1,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求λ的值,使數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
第39課 等差數(shù)列
1.-3 解析:設等差數(shù)列{an}的公差為d,則有a3=a1+2d=1,a4+a10=(a1+3d)+(a1+9d)=2a1+12d=18,解得a1=-3,d=2.
2. 780 解析:在等差數(shù)列{an}中,因為a1=1,d=4,所以S20=20+×4=780.
3. 74
4. 6 解析:因為a3+a7=2a5=-6,所以a5=-3,所以d=2,an=-9+2(n-2)=2n-13,所以a6=-1,a7=1,所以S6最小.
5.2 解析:因為======,所以當an=bn時,=1,解得n=2.
6.1009 解析:設等差數(shù)列{an}的公差為d,d≠0,由題意得=a1a6,即(2+2d)2=2(2+5d),解得d=,所以a2 015=2+2 014×=1009.
7. 解析:由題意得+++=+++=,則2(a2+a8)=14,即a2+a8=7,所以S9==(a2+a8)=.
8.3 解析:在=3n2an+中,分別令n=2,n=3及a1=a,得(a+a2)2=12a2+a2,(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2,因為an≠0,所以a2=12-2a,a3=3+2a.因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以a1+a3=2a2,即2(12-2a)=a+3+2a,解得a=3.經(jīng)檢驗a=3時,an=3n,Sn=,Sn-1=,滿足=3n2an+.所以a=3.
9.(1)由題意知a2+a6=a3+a5=16,又a3·a5=63,
所以a3與a5是方程x2-16x+63=0的兩根,
解得或
又因為{an}是遞減的等差數(shù)列,所以
則公差d==-1,a1=11,
所以an=a1+(n-1)d=11+(n-1)(-1)=12-n.
(2)由得解得11≤n≤12,
又n∈N*,所以當n=11或n=12時,Sn取得最大值,且最大值為S11=S12=12×11+×(-1)=66.
(3)由(2)知,當n≤12時,an≥0,當n>12時,an<0,
當n≤12時,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an=Sn===-n2+n.
當n>12時,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+a12-(a13+a14+a15+…+an)=-Sn+2S12=n2-n+132.
所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=.
10. (1) 當n=1時,a1=S1=k+1.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=kn2+n-[k(n-1)2+(n-1)]=2kn-k+1?、?
經(jīng)檢驗,當n=1時,①式成立,所以an=2kn-k+1.
(2) 因為am,a2m,a4m成等比數(shù)列,所以=am·a4m,即(4km-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1),整理得mk(k-1)=0.
因為對任意的m∈N*,上式均成立,所以k=0或k=1.
11. (1)若λ=1,則(Sn+1+1)an=(Sn+1)an+1,a1=S1=1,令n=1,得a2=2.
又因為an>0,Sn>0,所以=,
所以··…·=··…·,
化簡得Sn+1+1=2an+1. ①
所以當n≥2時,Sn+1=2an.?、?
①-②,得an+1=2an,所以=2(n≥2).
當n=1時上式也成立.
所以數(shù)列{an}是首項為1、公比為2的等比數(shù)列,
即an=2n-1(n∈N*).
(2)令n=1,得a2=λ+1.令n=2,得a3=(λ+1)2.
要使數(shù)列{an}是等差數(shù)列,必須有2a2=a1+a3,解得λ=0.
當λ=0時,Sn+1an=(Sn+1)an+1,且a2=a1=1.
當n≥2時,Sn+1(Sn-Sn-1)=(Sn+1)(Sn+1-Sn),
整理,得+Sn=Sn+1Sn-1+Sn+1,=,
從而··…·=··…·,
化簡,得Sn+1=Sn+1,所以an+1=1.
綜上所述,an=1(n∈N*).
所以λ=0時,數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
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