2022年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（文科） 含解析(I)一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知=2+i，則復(fù)數(shù)z=（）A1+3iB13iC3+iD3i2設(shè)全集I是實數(shù)集R，M=x|x3與N=x|0都是I的子集（如圖所示），則陰影部分所表示的集合為（）Ax|1x3Bx|1x3Cx|1x3Dx|1x33已知直線方程為cos300°x+sin300°y=3，則直線的傾斜角為（）A60°B60°或300°C30°D30°或330°4函數(shù)f（x）=x2+xsinx的圖象關(guān)于（）A坐標(biāo)原點對稱B直線y=x對稱Cy軸對稱D直線y=x對稱5點（1，2）關(guān)于直線x+y=1對稱的點坐標(biāo)是（）A（3，2）B（3，2）C（1，2）D（2，3）6已知某棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的表面積為（）A2+B3+C2+D3+7已知函數(shù)f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=log3x3的零點依次為a，b，c，則（）AcbaBabcCcabDbac8重慶市乘坐出租車的收費辦法如下：（1）不超過3千米的里程收費10元（2）超過3千米的里程2元收費（對于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米則不收費，若其大于或等于0.5千米則按1千米收費），當(dāng)車程超過3千米時，另收燃油附加費1元相應(yīng)系統(tǒng)收費的程序框圖如圖所示，其中x（單位：千米）為行駛里程，用x表示不大于x的最大整數(shù)，則圖中處應(yīng)填（）Ay=2x+4By=2x+5Cy=2x+4Dy=2x+59若不等式組表示的平面區(qū)域經(jīng)過所有四個象限，則實數(shù)的取值范圍是（）A（，4）B1，2C2，4D（2，+）10已知在ABC中，ACB=90°，BC=6，AC=8，P是線段AB上的點，則P到AC，BC的距離的乘積的最大值為（）A12B8CD3611當(dāng)曲線y=與直線kxy2k+4=0有兩個相異的交點時，實數(shù)k的取值范圍是（）A（0，）B（，C（，1D（，+12已知函數(shù)f（x）=ax2+bx2lnx（a0，bR），若對任意x0都有f（x）f（2）成立，則（）Alnab1Blnab1Clnab1Dlnab1二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13已知某長方體的長寬高分別為2，1，2，則該長方體外接球的體積為14若函數(shù)y=（）x在R上是減函數(shù)，則實數(shù) a取值集合是15若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為2，則其母線與軸的夾角的大小為16已知函數(shù)f（x）=如果對任意的nN*，定義fn（x）=，例如：f2（x）=f（f（x），那么fxx（2）的值為三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1=2，a2為整數(shù)，且a33，5（1）求an的通項公式；（2）設(shè)bn=，求數(shù)列bn的前n項和Tn18在ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cosA=，asinA+bsinBcsinC=asinB（1）求B的值；（2）設(shè)b=10，求ABC的面積S19如圖，在多面體ABCDM中，BCD是等邊三角形，CMD是等腰直角三角形，CMB=90°，平面CMD平面BCD，AB平面BCD，點O為CD的中點，連接OM（1）求證：OM平面ABD；（2）若AB=BC=4，求三棱錐ABDM的體積20已知橢圓C： +=1（ab0）的離心率為，以M（1，0）為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線xy+1=0相切（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點N（3，2），和平面內(nèi)一點P（m，n）（m3），過點M任作直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設(shè)直線AN，NP，BN的斜率分別為k1，k2，k3，k1+k3=3k2，試求m，n滿足的關(guān)系式21已知y=4x3+3tx26t2x+t1，xR，tR（1）當(dāng)x為常數(shù)，且t在區(qū)間變化時，求y的最小值（x）；（2）證明：對任意的t（0，+），總存在x（0，1），使得y=0選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為sincos=，求直線被曲線C截得的弦長選修4-5：不等式選講23已知關(guān)于x的不等式|x2|x3|m對xR恒成立（1）求實數(shù)m的最小值；（2）若a，b，c為正實數(shù)，k為實數(shù)m的最小值，且+=k，求證：a+2b+3c9參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知=2+i，則復(fù)數(shù)z=（）A1+3iB13iC3+iD3i【考點】復(fù)數(shù)相等的充要條件【分析】化簡復(fù)數(shù)直接求解，利用共軛復(fù)數(shù)可求z【解答】解：，故選B2設(shè)全集I是實數(shù)集R，M=x|x3與N=x|0都是I的子集（如圖所示），則陰影部分所表示的集合為（）Ax|1x3Bx|1x3Cx|1x3Dx|1x3【考點】Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算【分析】由圖形可得陰影部分所表示的集合為N（CIM）故先化簡兩個集合，再根據(jù)交集的定義求出陰影部分所表示的集合【解答】解：由題意M=x|x3與N=x|0=x|1x3由圖知陰影部分所表示的集合為N（CIM）N（CIM）=x|1x3故選A3已知直線方程為cos300°x+sin300°y=3，則直線的傾斜角為（）A60°B60°或300°C30°D30°或330°【考點】直線的傾斜角【分析】設(shè)直線的傾斜角為，0，）可得tan=，利用誘導(dǎo)公式即可得出【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為，0，）tan=tan30°，=30°故選：C4函數(shù)f（x）=x2+xsinx的圖象關(guān)于（）A坐標(biāo)原點對稱B直線y=x對稱Cy軸對稱D直線y=x對稱【考點】函數(shù)奇偶性的判斷【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，推出結(jié)果即可【解答】解：函數(shù)f（x）=x2+xsinx是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，故選：C5點（1，2）關(guān)于直線x+y=1對稱的點坐標(biāo)是（）A（3，2）B（3，2）C（1，2）D（2，3）【考點】與直線關(guān)于點、直線對稱的直線方程【分析】設(shè)（1，2）關(guān)于直線x+y=1對稱點的坐標(biāo)是 （ a，b ），則有，解得 a 和 b的值，即得結(jié)論【解答】解：設(shè)（1，2）關(guān)于直線x+y=1對稱點的坐標(biāo)是 （ a，b ），則有，解得 a=3，b=2，故點（1，2）關(guān)于直線x+y=1對稱的點坐標(biāo)是 （3，3），故選：A6已知某棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的表面積為（）A2+B3+C2+D3+【考點】由三視圖求面積、體積【分析】由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以底面為正方形的三棱錐，高為2，累加各個面的面積可得，幾何體的表面積【解答】解：由題意：可知該幾何體是一個以底面為正方形其邊長AB=1的三棱錐，高AS為2，（如圖）AS平面ABCD，AC=，SD=SB=，ADCD，SDCD（三垂線定理）SDC是直角三角形同理：SBCB，SBC是直角三角形平面SDC的表面積為： AD×SD=，平面ABS的表面積為： AS×AB=1，平面ABD的表面積為： AS×AD=1，平面SBC的表面積為： BS×CB=平面ABCD表面積為：AB×BC=1所以該幾何體的表面積為：3+故選D7已知函數(shù)f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=log3x3的零點依次為a，b，c，則（）AcbaBabcCcabDbac【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點【分析】根據(jù)函數(shù)零點的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象，由圖判斷出a、b的范圍，利用函數(shù)零點的定義和對數(shù)的運算求出c的值，可得三個零點的大小關(guān)系【解答】解：令f（x）=0，得3x+x=0，化為3x=x，分別作出函數(shù)y=3x，y=x的圖象由圖象可知函數(shù)f（x）的零點a0；令g（x）=log3x+x=0，得log3x=x，分別作出函數(shù)y=g（x）=log3x，y=x的圖象，由圖象可知函數(shù)g（x）的零點：0b1；令h（x）=log3x3=0，則log3x=3，解得x=27，即其零點c=27，綜上可知，abc故選B8重慶市乘坐出租車的收費辦法如下：（1）不超過3千米的里程收費10元（2）超過3千米的里程2元收費（對于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米則不收費，若其大于或等于0.5千米則按1千米收費），當(dāng)車程超過3千米時，另收燃油附加費1元相應(yīng)系統(tǒng)收費的程序框圖如圖所示，其中x（單位：千米）為行駛里程，用x表示不大于x的最大整數(shù)，則圖中處應(yīng)填（）Ay=2x+4By=2x+5Cy=2x+4Dy=2x+5【考點】程序框圖【分析】根據(jù)已知中的收費標(biāo)準(zhǔn)，求當(dāng)x3時，所收費用y的表達(dá)式，化簡可得答案【解答】解：由已知中，超過3千米的里程按每千米2元收費（對于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米則不收費，若其大于或等于0.5千米則按1千米收費）；當(dāng)車程超過3千米時，另收燃油附加費1元可得：當(dāng)x3時，所收費用y=10+x3+×2+1=2x+5，故選：B9若不等式組表示的平面區(qū)域經(jīng)過所有四個象限，則實數(shù)的取值范圍是（）A（，4）B1，2C2，4D（2，+）【考點】簡單線性規(guī)劃【分析】平面區(qū)域經(jīng)過所有四個象限可得20，由此求得實數(shù)的取值范圍【解答】解：由約束條件不等式組表示的平面區(qū)域經(jīng)過所有四個象限可得20，即2實數(shù)的取值范圍是（2，+）故選：D10已知在ABC中，ACB=90°，BC=6，AC=8，P是線段AB上的點，則P到AC，BC的距離的乘積的最大值為（）A12B8CD36【考點】點到直線的距離公式【分析】設(shè)P到AC的距離為x，到BC的距離為y，根據(jù)比例線段的性質(zhì)可知，整理求得y=8x，進(jìn)而可求得xy的表達(dá)式根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案【解答】解：如圖，設(shè)P到AC的距離為x，到BC的距離為y，即最上方小三角形和最大的那個三角形相似，它們對應(yīng)的邊有此比例關(guān)系，所以4x=243y，y=8x求xy最大，也就是那個矩形面積最大xy=x（8x）=（x26x），當(dāng)x=3時，xy有最大值12故選A11當(dāng)曲線y=與直線kxy2k+4=0有兩個相異的交點時，實數(shù)k的取值范圍是（）A（0，）B（，C（，1D（，+【考點】直線與圓的位置關(guān)系【分析】直線方程變形，判斷出直線過定點；求出特殊位置k的值，即可求出滿足題意的k的范圍【解答】解：曲線y=即x2+y2=4，（y0）表示一個以（0，0）為圓心，以2為半徑的位于x軸上方的半圓，如圖所示：直線kxy2k+4=0即y=k（x2）+4，表示恒過點A（2，4）斜率為k的直線B（2，0）時，kAB=1，=2解得k=要使直線與半圓有兩個不同的交點，k的取值范圍是（，1故選C12已知函數(shù)f（x）=ax2+bx2lnx（a0，bR），若對任意x0都有f（x）f（2）成立，則（）Alnab1Blnab1Clnab1Dlnab1【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【分析】由f（x）f（1），知x=1是函數(shù)f（x）的極值點，所以f（2）=0，從而得到b=14a，作差：lna（b1）=lna+24a，所以構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+24x，通過導(dǎo)數(shù)可求得g（x）g（）0，即g（x）0，所以g（a）0，所以lnab1【解答】解：f（x）=2ax+b，由題意可知，f（x）在x=2處取得最小值，即x=2是f（x）的極值點；f（2）=0，4a+b=1，即b=14a；令g（x）=24x+lnx（x0），則g（x）=；當(dāng)0x時，g（x）0，g（x）在（0，）上單調(diào)遞增；當(dāng)x時，g（x）0，g（x）在（，+）上單調(diào)遞減；g（x）g（）=1+ln=1ln40；g（a）0，即24a+lna=lna+b+10；故lnab1，故選：C二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13已知某長方體的長寬高分別為2，1，2，則該長方體外接球的體積為【考點】球內(nèi)接多面體【分析】根據(jù)長方體的對角線長公式，算出該長方體的對角線長，從而算出它的外接球半徑，利用球的體積公式即可算出答案【解答】解：長方體從同一頂點出發(fā)的三條棱長分別為2，1，2，長方體的對角線長為=3，設(shè)長方體外接球半徑為R，則2R=3，解得R=，該長方體外接球的體積為=故答案為14若函數(shù)y=（）x在R上是減函數(shù)，則實數(shù) a取值集合是【考點】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)函數(shù)在R上是減函數(shù)，可得，即，由此可得結(jié)論【解答】解：函數(shù)在R上是減函數(shù)，實數(shù)a取值集合是故答案為：15若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為2，則其母線與軸的夾角的大小為【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，由已知中圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為2，可得l=2h，進(jìn)而可得其母線與軸的夾角的余弦值，進(jìn)而得到答案【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，則圓錐的側(cè)面積為：rl，過軸的截面面積為：rh，圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為2，l=2h，設(shè)母線與軸的夾角為，則cos=，故=，故答案為：16已知函數(shù)f（x）=如果對任意的nN*，定義fn（x）=，例如：f2（x）=f（f（x），那么fxx（2）的值為2【考點】函數(shù)的值【分析】利用函數(shù)性質(zhì)直接求解【解答】解：函數(shù)f（x）=，對任意的nN*，定義fn（x）=，f（0）=2，f（1）=0，f（2）=21=1，f1（f（2）=f（2）=1，f2（2）=f（f（2）=f（1）=0，f3（2）=f（f（f（2）=f（f（1）=f（0）=2f4（2）=f（f（f（f（2）=f（f（f（1）=f（f（0）=f（2）=1，xx÷3=672，fxx（2）=f（0）=2故答案為：2三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1=2，a2為整數(shù)，且a33，5（1）求an的通項公式；（2）設(shè)bn=，求數(shù)列bn的前n項和Tn【考點】數(shù)列的求和【分析】（1）判斷數(shù)列的第二項，然后求解通項公式即可（2）利用裂項法化簡求解即可【解答】解：（1）由a1=2，a2為整數(shù)知，且a33，5a3=4，an的通項公式為an=n+1（2），于是18在ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cosA=，asinA+bsinBcsinC=asinB（1）求B的值；（2）設(shè)b=10，求ABC的面積S【考點】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由已知及正弦定理可得，利用余弦定理可求cosC，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC，sinA的值，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，兩角和的余弦函數(shù)公式可求cosB，解得B的范圍即可得解B的值（2）利用正弦定理可求c，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計算得解【解答】解：（1）由已知可得，A，C（0，），cosB=cos（A+C）=（）=，B（0，），B=（2）=10，c=10=6，19如圖，在多面體ABCDM中，BCD是等邊三角形，CMD是等腰直角三角形，CMB=90°，平面CMD平面BCD，AB平面BCD，點O為CD的中點，連接OM（1）求證：OM平面ABD；（2）若AB=BC=4，求三棱錐ABDM的體積【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定【分析】（1）推導(dǎo)出OMCD，從而OM平面BCD，進(jìn)而OMAB，由此能證明OM平面ABD（2）由VABDM=VMABD=VOABD=VABDO，能求出三棱錐ABDM的體積【解答】證明：（1）CMD是等腰直角三角形，CMD=90°，點O為CD的中點，OMCD平面CMD平面BCD，平面CMD平面BCD=CD，OM平面BCD，OM平面BCD，AB平面BCD，OMAB，AB平面ABD，OM平面ABD，OM平面ABD解：（2）由（1）知OM平面ABD，點M到平面ABD的距離等于點O到平面ABD的距離AB=BC=4，BCD是等邊三角形，BD=4，OD=2，連接OB，則OBCD，三棱錐ABDM的體積為20已知橢圓C： +=1（ab0）的離心率為，以M（1，0）為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線xy+1=0相切（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點N（3，2），和平面內(nèi)一點P（m，n）（m3），過點M任作直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設(shè)直線AN，NP，BN的斜率分別為k1，k2，k3，k1+k3=3k2，試求m，n滿足的關(guān)系式【考點】橢圓的簡單性質(zhì)【分析】（1）由點到直線的距離公式d=1，求得b=1，由e=，即可求得a的值，求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，求出A，B的坐標(biāo)，得到直線AN，BN的斜率，進(jìn)一步得到NP的斜率，可得m，n滿足的關(guān)系式當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線l：y=k（x1），代入橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得直線AN，BN的斜率和，進(jìn)一步得到NP的斜率，可得m，n滿足的關(guān)系式【解答】解：（1）由橢圓C： +=1（ab0），焦點在x軸上，則M（1，0）到直線xy+1=0的距離d=1，b=d=1，離心率e=，解得：a=，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，由，解得x=1，不妨設(shè)，k1+k3=2，m，n的關(guān)系式為3n=2m當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），直線l：y=k（x1），聯(lián)立橢圓整理得：（3k2+1）x26k2x+3k23=0，由韋達(dá)定理可知：x1+x2=，x1x2=，=，=，m，n的關(guān)系式為3n=2m21已知y=4x3+3tx26t2x+t1，xR，tR（1）當(dāng)x為常數(shù)，且t在區(qū)間變化時，求y的最小值（x）；（2）證明：對任意的t（0，+），總存在x（0，1），使得y=0【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義【分析】（1）當(dāng)x為常數(shù)時，設(shè)f（t）=4x3+3tx26t2x+t1=6xt2+（3x2+1）t+4x31，是關(guān)于y的二次函數(shù)利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)求解（2）設(shè)g（x）=4x3+3tx26t2x+t1，按照零點存在性定理去判斷可利用導(dǎo)數(shù)計算函數(shù)的極值，有關(guān)端點值，作出證明【解答】解：（1）當(dāng)x為常數(shù)時，f（t）=4x3+3tx26t2x+t1=6xt2+（3x2+1）t+4x31，f'（t）=12xt+（3x2+1），f'（t）=12xt+3x21=3（x2t）212t2+1，當(dāng)，f'（t）0，f（t）在上遞增，其最小值（x）=f（0）=4x31（2）令g（x）=4x3+3tx26t2x+t1，g'（x）=12x2+6tx6t2=6（2xt）（x+t），由t（0，+），當(dāng)x在區(qū)間（0，+）內(nèi)變化時，g（x）與g'（x）變化情況如下表：xg'（x）0+g（x）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增當(dāng)，即t2時，g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，g（0）=t10，g（1）=6t2+4t+3=2t（3t2）+34（62）+30，所以對任意t2，+），g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點，即存在x（0，1），使得g（x）=0；當(dāng)，即0t2時，g（x）在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以時，函數(shù)g（x）取最小值，又g（0）=t1，若t（0，1，則，所以g（x）在內(nèi)存在零點；若t（1，2），則g（0）=t10，所以g（x）在內(nèi)存在零點，所以，對任意t（0，2），g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點，即存在x（0，1），使得g（x）=0結(jié)合，對任意的t（0，+），總存在x（0，1），使得y=0選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為sincos=，求直線被曲線C截得的弦長【考點】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程【分析】（1）求出曲線C的普通方程為（x3）2+（y1）2=5，即可將代入并化簡，求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）直角坐標(biāo)方程為yx=1，求圓心C到直線的距離，即可求出直線被曲線C截得的弦長【解答】解：（1）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線C的普通方程為（x3）2+（y1）2=5，曲線C表示以（3，1）為圓心，為半徑的圓，將代入并化簡：26cos2sin+5=0（2）直角坐標(biāo)方程為yx=1，圓心C到直線的距離為，弦長為選修4-5：不等式選講23已知關(guān)于x的不等式|x2|x3|m對xR恒成立（1）求實數(shù)m的最小值；（2）若a，b，c為正實數(shù)，k為實數(shù)m的最小值，且+=k，求證：a+2b+3c9【考點】不等式的證明；函數(shù)恒成立問題；絕對值不等式的解法【分析】（1）|x2|x3|（x2）（x3）|=1，由此能求出m最小值（2）由（1）知，由此利用均值不等式能證明a+2b+3c9【解答】解：（1）|x2|x3|（x2）（x3）|=1，不等式|x2|x3|m對xR恒成立，m1，m最小值為1（2）由（1）知k=1，即，=當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c時等號成立，a+2b+3c9xx12月16日