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1、2022年高考數(shù)學(xué) 第九篇 第3講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系限時(shí)訓(xùn)練 新人教A版 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(xx·福建)直線x＋y－2＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)度等于 (　　)． A．2 B．2 C. D．1 解析　由題意作出圖象如圖，由圖可知圓心O到直線AB的距離d＝＝1，故|AB|＝2|BC|＝2＝2. 答案　B 2．(xx·安徽)若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　)． A．[－3，－1]

2、 B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析　由題意可得，圓的圓心為(a,0)，半徑為， ∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1. 答案　C 3．(xx·濰坊模擬)若圓x2＋y2＝r2(r>0)上僅有4個(gè)點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是 (　　)． A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1) C．(0，－1) D．(0，＋1) 解析　計(jì)算得圓心到直線l的距離為＝>1，得到右邊草圖．直線l：x－y－2＝0與圓相交，l1，l2與l平行，且與直線l的距離為1，故

3、可以看出，圓的半徑應(yīng)該大于圓心到直線l2的距離＋1，故選A. 答案　A 4．(xx·銀川一模)若圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三條切線，則a＋b的最大值為 (　　)． A．－3 B．－3 C．3 D．3 解析　易知圓C1的圓心為C1(－a,0)，半徑為r1＝2； 圓C2的圓心為C2(0，b)，半徑為r2＝1. ∵兩圓恰有三條切線，∴兩圓外切， ∴|C1C2|＝r1＋r2，即a2＋b2＝9.∵2≤， ∴a＋b≤3(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取“＝”)， ∴a＋b的最大值為3.

4、答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(xx·北京)直線y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析　由題意得，圓x2＋(y－2)2＝4的圓心為(0,2)，半徑為2，圓心到直線x－y＝0的距離d＝＝. 設(shè)截得的弦長(zhǎng)為l，則由2＋()2＝22，得l＝2. 答案　2 6．(xx·江蘇)設(shè)集合A＝(x，y)(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析　∵A∩B≠?，∴A≠?， ∴m2≥.∴m≥或m≤0.顯然B≠?. 要使A∩B≠?，只需圓(

5、x－2)2＋y2＝m2(m≠0)與x＋y＝2m或x＋y＝2m＋1有交點(diǎn)，即≤|m|或≤|m|，∴≤m≤2＋. 又∵m≥或m≤0，∴≤m≤2＋. 當(dāng)m＝0時(shí)，(2,0)不在0≤x＋y≤1內(nèi)． 綜上所述，滿(mǎn)足條件的m的取值范圍為. 答案　 三、解答題(共25分) 7．(12分)已知：圓C：x2＋y2－8y＋12＝0，直線l：ax＋y＋2a＝0. (1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切； (2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2時(shí)，求直線l的方程． 解　將圓C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－4)2＝4，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2. (1

6、)若直線l與圓C相切，則有＝2，解得a＝－. (2)過(guò)圓心C作CD⊥AB，則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)， 得 解得a＝－7或a＝－1. 故所求直線方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 8．(13分)已知圓C經(jīng)過(guò)P(4，－2)，Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4，半徑小于5. (1)求直線PQ與圓C的方程； (2)若直線l∥PQ，且l與圓C交于點(diǎn)A，B且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程． 解　(1)直線PQ的方程為：x＋y－2＝0， 設(shè)圓心C(a，b)半徑為r， 由于線段PQ的垂直平分線的方程是y－＝x－， 即y＝x－1，所以b＝a－1.

7、 ① 又由在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4，知r2＝12＋a2， 可得(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2， ② 由①②得：a＝1，b＝0或a＝5，b＝4. 當(dāng)a＝1，b＝0時(shí)，r2＝13滿(mǎn)足題意， 當(dāng)a＝5，b＝4時(shí)，r2＝37不滿(mǎn)足題意， 故圓C的方程為(x－1)2＋y2＝13. (2)設(shè)直線l的方程為y＝－x＋m，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)， 由題意可知OA⊥OB，即·＝0， ∴x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0， 化簡(jiǎn)得2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝0. ③ 由得2x2－2(m＋1)x＋m2－1

8、2＝0， ∴x1＋x2＝m＋1，x1x2＝. 代入③式，得m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0， ∴m＝4或m＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)都滿(mǎn)足判別式Δ>0， ∴y＝－x＋4或y＝－x－3. B級(jí)　能力突破(時(shí)間：30分鐘　滿(mǎn)分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(xx·南昌模擬)若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：y(y－mx－m)＝0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (　　)． A. B.∪ C. D.∪ 解析　C1：(x－1)2＋y2＝1，C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)． 當(dāng)m＝0時(shí)

9、，C2：y＝0，此時(shí)C1與C2顯然只有兩個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)m≠0時(shí)，要滿(mǎn)足題意，需圓(x－1)2＋y2＝1與直線y＝m(x＋1)有兩交點(diǎn)，當(dāng)圓與直線相切時(shí)，m＝±，即直線處于兩切線之間時(shí)滿(mǎn)足題意， 則－

10、點(diǎn)A，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M所處位置為點(diǎn)M′，則大圓圓弧的長(zhǎng)與小圓圓弧的長(zhǎng)之差為0或2π.切點(diǎn)A在三、四象限的差為0，在一、二象限的差為2π.以切點(diǎn)A在第三象限為例，記直線OM與此時(shí)小圓O1的交點(diǎn)為M1，記∠AOM＝θ，則∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圓圓弧的長(zhǎng)為l1＝θ×2＝2θ，小圓圓弧的長(zhǎng)為l2＝2θ×1＝2θ，則l1＝l2，即小圓的兩段圓弧與的長(zhǎng)相等，故點(diǎn)M1與點(diǎn)M′重合．即動(dòng)點(diǎn)M在線段MO上運(yùn)動(dòng)，同理可知，此時(shí)點(diǎn)N在線段OB上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)A在其他象限類(lèi)似可得，故M，N的軌跡為相互垂直的線段．觀察各選項(xiàng)知，只有選項(xiàng)A符合．故選A. 答案　A 二

11、、填空題(每小題5分，共10分) 3．設(shè)m，n∈R，若直線l：mx＋ny－1＝0與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，且l與圓x2＋y2＝4相交所得弦的長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB面積的最小值為_(kāi)_______． 解析　∵l與圓相交所得弦的長(zhǎng)為2，＝， ∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤. l與x軸交點(diǎn)A，與y軸交點(diǎn)B， ∴S△AOB＝·＝·≥×6＝3. 答案　3 4．(xx·浙江)定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱(chēng)為曲線C到直線l的距離．已知曲線C1：y＝x2＋a到直線l：y＝x的距離等于曲線C2：x2＋(y＋4)2＝2到直線l：y＝x的距離，則實(shí)數(shù)a＝___

12、_____. 解析　x2＋(y＋4)2＝2到直線y＝x的距離為－＝，所以y＝x2＋a到y(tǒng)＝x的距離為，而與y＝x平行且距離為的直線有兩條，分別是y＝x＋2與y＝x－2，而拋物線y＝x2＋a開(kāi)口向上，所以y＝x2＋a與y＝x＋2相切，可求得a＝. 答案　 三、解答題(共25分) 5．(12分)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(其中k的值與b無(wú)關(guān))，圓M的方程為x2＋y2－2x－4＝0. (1)如果不論k取何值，直線l與圓M總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求b的取值范圍； (2)b＝1時(shí)，l與圓交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值和最小值． 解　圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝5， ∴圓心M的坐

13、標(biāo)為(1,0)，半徑為r＝. (1)∵不論k取何值，直線l總過(guò)點(diǎn)P(0，b)， ∴欲使l與圓M總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只需點(diǎn)P在圓M的內(nèi)部，即|MP|<，即1＋b2<5， ∴－2

14、面積的最小值； (3)若|AB|＝，求直線MQ的方程． 解　(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)Q的圓M的切線方程為x＝my＋1， 則圓心M到切線的距離為1， ∴＝1，∴m＝－或0， ∴QA，QB的方程分別為3x＋4y－3＝0和x＝1. (2)∵M(jìn)A⊥AQ，∴S四邊形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝＝≥＝. ∴四邊形QAMB面積的最小值為. (3)設(shè)AB與MQ交于P，則MP⊥AB，MB⊥BQ， ∴|MP|＝ ＝. 在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|， 即1＝|MQ|，∴|MQ|＝3，∴x2＋(y－2)2＝9. 設(shè)Q(x,0)，則x2＋22＝9，∴x＝±，∴Q(±，0)， ∴MQ的方程為2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0. 特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見(jiàn)《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤(pán)中內(nèi)容.