2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題6 解析幾何 第4講 圓錐曲線中的綜合問題 文 圓與圓錐曲線的綜合問題訓(xùn)練提示:充分挖掘題目條件,尋找圓心與圓錐曲線焦點(diǎn)的位置關(guān)系,圓的半徑與給定線段長度之間的關(guān)系,充分利用“圓的直徑所對(duì)圓周角為直角”等性質(zhì)解決問題.1.已知圓心為F1的圓的方程為(x+2)2+y2=32,F2(2,0),C是圓F1上的動(dòng)點(diǎn),F2C的垂直平分線交F1C于M.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;(2)設(shè)N(0,2),過點(diǎn)P(-1,-2)作直線l,交M的軌跡于不同于N的A,B兩點(diǎn),直線NA,NB的斜率分別為k1,k2,證明:k1+k2為定值.(1)解:由線段的垂直平分線的性質(zhì)得|MF2|=|MC|.又|F1C|=4,所以|MF1|+|MC|=4,所以|MF2|+|MF1|=4>4.所以M點(diǎn)的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn),以4為長軸長的橢圓.由c=2,a=2得b=2.故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為+=1.(2)證明:當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y+2=k(x+1),由得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=.從而k1+k2=+=2k-(k-4)×=4.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),得A(-1,),B(-1,-),得k1+k2=4.綜上,恒有k1+k2=4.2.設(shè)橢圓M:+=1(a>)的右焦點(diǎn)為F1,直線l:x=與x軸交于點(diǎn)A,若=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求橢圓M的方程;(2)設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn),EF為圓N:x2+(y-2)2=1的任意一條直徑(E,F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)),求·的最大值.解:(1)由題設(shè)知,A(,0),F1(,0),由=2.得=2(-),解得a2=6.所以橢圓M的方程為+=1.(2)設(shè)圓N:x2+(y-2)2=1的圓心為N,則·=(-)·(-)=(-)·(-)=-=-1.從而求·的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值.因?yàn)镻是橢圓M上的任意一點(diǎn),設(shè)P(x0,y0),所以+=1,即=6-3,因?yàn)辄c(diǎn)N(0,2),所以=+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12.因?yàn)閥0-,所以當(dāng)y0=-1時(shí),取得最大值12.所以·的最大值為11.圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題訓(xùn)練提示:由直線方程確定定點(diǎn),若得到直線方程的點(diǎn)斜式:y-y0=k(x-x0),則直線必過定點(diǎn)(x0,y0);若得到了直線方程的斜截式:y=kx+m,則直線必過定點(diǎn)(0,m).證明定值,有時(shí)可直接證明定值,有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式,可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān);也可令系數(shù)等于零,得出定值.3.如圖,等邊三角形OAB的邊長為8,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.(1)求拋物線E的方程;(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線y=-1相交于點(diǎn)Q.證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn).(1)解:依題意,|OB|=8,BOy=30°.設(shè)B(x,y),則x=|OB|sin 30°=4,y=|OB|cos 30°=12.因?yàn)辄c(diǎn)B(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p×12,解得p=2.故拋物線E的方程為x2=4y.(2)證明:由(1)知y=x2,y=x.設(shè)P(x0,y0),則x00,且l的方程為y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得所以Q(,-1).設(shè)M(0,y1),令·=0對(duì)滿足y0=(x00)的x0,y0恒成立.由于=(x0,y0-y1),=(,-1-y1),由·=0,得-y0-y0y1+y1+=0,即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式對(duì)滿足y0=(x00)的y0恒成立,所以解得y1=1.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M(0,1).4.已知直線l:y=x+,圓O:x2+y2=5,橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率e=,直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等.(1)求橢圓E的方程;(2)過圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線,若切線都存在斜率,求證兩切線斜率之積為定值.解:(1)設(shè)橢圓半焦距為c,圓心O到l的距離d=,則l被圓O截得的弦長為2,所以b=.由題意得又b=,所以a2=3,b2=2.所以橢圓E的方程為+=1.(2)證明:設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),過點(diǎn)P的橢圓E的切線l0的方程為y-y0=k(x-x0),整理得y=kx+y0-kx0,聯(lián)立直線l0與橢圓E的方程得消去y得2kx+(y0-kx0)2+3x2-6=0,整理得(3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0,因?yàn)閘0與橢圓E相切,所以=4k(y0-kx0)2-4(3+2k2)2(kx0-y0)2-6=0,整理得(2-)k2+2x0y0k-(-3)=0,設(shè)滿足題意的橢圓E的兩條切線的斜率分別為k1,k2,則k1k2=-.因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O上,所以+=5,所以k1k2=-=-1.所以兩條切線斜率之積為常數(shù)-1.圓錐曲線中的存在性問題訓(xùn)練提示:存在性問題,先假設(shè)存在,進(jìn)行一系列推理,若推理正確則存在,若得出矛盾則不存在.5.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,離心率為,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為N,是否存在直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使點(diǎn)F為PQN的垂心?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(1)設(shè)F(c,0),則=,知a=c.過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線方程為x=c,代入橢圓方程,有+=1,解得y=±b.于是b=,解得b=1.又a2-c2=b2,從而a=,c=1.所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)假設(shè)存在直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且F為PQN的垂心.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),因?yàn)镹(0,1),F(1,0),所以kNF=-1.由NFPQ,知kPQ=1.設(shè)直線l的方程為y=x+m,由得3x2+4mx+2m2-2=0.由>0,得m2<3,且x1+x2=-,x1x2=.由題意,有·=0.因?yàn)?(x1,y1-1),=(x2-1,y2),所以x1(x2-1)+y2(y1-1)=0,即x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0,所以2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0,于是2×-m(m-1)+m2-m=0,解得m=-或m=1.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)m=1時(shí),PQN不存在,故舍去m=1.當(dāng)m=-時(shí)符合,直線l的方程為y=x-.6.(xx河北滄州4月質(zhì)檢)已知點(diǎn)M在橢圓G:+=1(a>b>0)上,H(-2,0)是M在x軸上的射影.F1是橢圓G的左焦點(diǎn),且=(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),·=.(1)求橢圓G的方程;(2)在x軸上是否存在定點(diǎn)P0,過P0任意作直線l交橢圓G于A,B兩點(diǎn),使得直線HM始終平分AHB?若存在,則求出P0;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(1)依題可設(shè)M(-2,y0),由=得F1為HO的中點(diǎn),于是F1(-1,0),又由·=得(0,-y0)·(1,-y0)=,解得=,于是有+=1,整理得5a4-29a2+20=(5a2-4)(a2-5)=0,解得a2=5或a2=(舍去).所以橢圓G的方程是+=1.(2)設(shè)P0(m,0),A(x1,y1),B(x2,y2),若直線l的斜率不等于零時(shí),可設(shè)直線l為x=ty+m,聯(lián)立+=1,消去x得(4t2+5)y2+8mty+4m2-20=0,有y1+y2=,y1y2=,注意到HM平分AHBkAH=,kBH=滿足kAH+kBH=0,即+=0y1(x2+2)+y2(x1+2)=0y1(ty2+m+2)+y2(ty1+m+2)=2ty1y2+(m+2)(y1+y2)=02t·+(m+2)·=0t(2m+5)=0,故m=-,定點(diǎn)P0(-,0).若直線l的斜率為零,定點(diǎn)P0(-,0)也滿足條件,故定點(diǎn)P0(-,0)為所求. 類型一:圓錐曲線中的最值(范圍)問題1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,-1),B點(diǎn)在直線y=-3上,M點(diǎn)滿足,·=·,M點(diǎn)的軌跡為曲線C.(1)求C的方程;(2)P為C上的動(dòng)點(diǎn),l為C在P點(diǎn)處的切線,求O點(diǎn)到l距離的最小值.解:(1)設(shè)M(x,y),由已知得B(x,-3),又A(0,-1),所以=(-x,-1-y),=(0,-3-y),=(x,-2).再由題意可知(+)·=0,即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0.所以曲線C的方程為y=x2-2.(2)設(shè)P(x0,y0)為曲線C:y=x2-2上一點(diǎn).因?yàn)閥=x,所以l的斜率為x0.因此直線l的方程為y-y0=x0(x-x0),即x0x-2y+2y0-=0.所以O(shè)點(diǎn)到l的距離d=.又y0=-2,所以d=(+)2.當(dāng)x0=0時(shí)取等號(hào),所以O(shè)點(diǎn)到l距離的最小值為2.2.(xx云南模擬)如圖,已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,且過點(diǎn)(2,),四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓E上,且對(duì)角線AC,BD過原點(diǎn)O, kAC·kBD=-.求·的取值范圍.解:所以橢圓E的方程為+=1.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)lAB:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,所以x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2()+km()+m2=.由kOA·kOB=-得·=-.所以=-·m2=4k2+2,·=x1x2+y1y2=+=2-,所以-2·<2,當(dāng)k=0時(shí),·=-2,當(dāng)k不存在即ABx軸時(shí),·=2,所以·的取值范圍是-2,2.3.(xx鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和到直線x=2的距離之比為,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E,過點(diǎn)F作垂直于x軸的直線與曲線E相交于A,B兩點(diǎn),直線l:y=mx+n與曲線E交于C,D兩點(diǎn),與線段AB相交于一點(diǎn)(與A,B不重合).(1)求曲線E的方程;(2)當(dāng)直線l與圓x2+y2=1相切時(shí),四邊形ACBD的面積是否有最大值,若有,求出其最大值及對(duì)應(yīng)的直線l的方程;若沒有,請(qǐng)說明理由.解:(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),由題意可得=,整理可得+y2=1,曲線E的方程是+y2=1.(2)有最大值,設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得|AB|=.當(dāng)m=0時(shí),不合題意.當(dāng)m0時(shí),由直線l與圓x2+y2=1相切,可得=1,即m2+1=n2.聯(lián)立消去y得(m2+)x2+2mnx+n2-1=0.=4m2n2-4(m2+)(n2-1)=2m2>0,x1+x2=,x1x2=,S四邊形ACBD=|AB|x2-x1|=.當(dāng)且僅當(dāng)2|m|=,即m=±時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)四邊形ABCD面積的最大值為,n=±,經(jīng)檢驗(yàn)可知,直線y=x-和直線y=-x+符合題意.4.如圖,過x軸上動(dòng)點(diǎn)A(a,0)引拋物線y=x2+1的兩條切線AP,AQ.切線斜率分別為k1和k2,切點(diǎn)分別為P,Q.(1)求證:k1·k2為定值,并且直線PQ過定點(diǎn);(2)記APQ的面積為SAPQ,當(dāng)最小時(shí),求·的值.(1)證明:設(shè)過A點(diǎn)的直線為y=k(x-a),與拋物線聯(lián)立得整理得x2-kx+ka+1=0,=k2-4ak-4=0,所以k1+k2=4a,k1·k2=-4為定值.拋物線方程y=x2+1,求導(dǎo)得y=2x,設(shè)切點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為(xp,yp),(xq,yq),則k1=2xp,k2=2xq,所以xp+xq=+=2a,xpxq=·=-1.直線PQ的方程:y-yp=(x-xp),由yp=+1,yq=+1,得到y(tǒng)=(xp+xq)x-xpxq+1,整理可得y=2ax+2,所以直線PQ過定點(diǎn)(0,2).(2)解:設(shè)A到PQ的距離為d.SAPQ=|PQ|×,所以=,設(shè)t=1,所以=(t+),當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)取等號(hào),此時(shí)a=±.因?yàn)?#183;=(xp-a,yp)·(xq-a,yq)=xpxq-a(xp+xq)+a2+ypyq,ypyq=(2xpa+2)(2xqa+2)=4a2xpxq+4+4a(xp+xq)=4a2+4,所以·=3a2+3=.類型二:證明問題5.如圖,已知點(diǎn)A(1,)是離心率為的橢圓C:+=1(a>b>0)上的一點(diǎn),斜率為的直線BD交橢圓C于B,D兩點(diǎn),且A,B,D三點(diǎn)互不重合.(1)求橢圓C的方程;(2)求證:直線AB,AD的斜率之和為定值.(1)解:由題意,可得e=,將(1,)代入橢圓方程,得+=1,又a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=.所以橢圓C的方程為+=1.(2)證明:設(shè)直線BD的方程為y=x+m,又A,B,D三點(diǎn)不重合,所以m0,設(shè)D(x1,y1),B(x2,y2),由得4x2+2mx+m2-4=0.所以=-8m2+64>0-2<m<2.x1+x2=-m,x1x2=,設(shè)直線AB,AD的斜率分別為kAB,kAD,則kAD+kAB=+=+=2+m·(*)將、式代入(*),整理得2+m·=2-2=0,所以kAD+kAB=0,即直線AB,AD的斜率之和為定值0.6.已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mR).(1)若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,求m的取值范圍;(2)設(shè)m=4,曲線C與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于B的上方),直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G,求證:A,G,N三點(diǎn)共線.解:(1)曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,當(dāng)且僅當(dāng)解得<m<5,所以m的取值范圍是(,5).(2)當(dāng)m=4時(shí),曲線C的方程為x2+2y2=8,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(0,2),(0,-2).由得(1+2k2)x2+16kx+24=0.因?yàn)橹本€y=kx+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn),所以=(16k)2-4(1+2k2)×24>0,即k2>.設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=,x1x2=.直線BM的方程為y+2=x,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(,1).因?yàn)橹本€AN和直線AG的斜率分別為kAN=,kAG=-,所以kAN-kAG=+=+=k+=k+=0.即kAN=kAG.故A,G,N三點(diǎn)共線.