2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第22講 簡單的三角恒等變換練習(xí) 新人教A版考情展望1.利用和、差、倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)恒等變形，進(jìn)而研究三角函數(shù)的性質(zhì)問題.2.與三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)相結(jié)合綜合考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力一、二倍角公式的變形1用cos 表示sin2，cos2，tan2sin2，cos2，tan2.2用sin ，cos 表示tan tan .應(yīng)用二倍角公式的變形求值的注意問題(1)已知sin ，cos 的值求tan時(shí)，應(yīng)優(yōu)先采用tan或tan，這樣可以避免由“tan±”帶來增解(2)應(yīng)用“sin±”或“cos±”求值時(shí)，可由所在象限確定該三角函數(shù)值的符號二、輔助角公式asin bcos sin().1輔助角公式的特殊情況(1)sin ±cos sin；(2)sin ±cos 2sin；(3)cos ±sin 2sin.2輔助角公式的作用(1)利用該公式可將形如yasin xbcos x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如yAsin(x)的函數(shù)，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)(2)若函數(shù)yasin xbcos x的定義域?yàn)镽，則值域?yàn)椋?已知cos ，3，那么sin ()A.BC. D【解析】3，.sin.【答案】D2已知cos ，(，2)，則cos 等于()A. B C. D【解析】2，.cos.【答案】B3化簡的結(jié)果是()Acos 1 Bcos 1C.cos 1 Dcos 1【解析】cos 1.【答案】C4對于函數(shù)f(x)2sin x cos x，下列選項(xiàng)中正確的是()Af(x)在(，)上是遞增的Bf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱Cf(x)的最小正周期為2Df(x)的最大值為2【解析】f(x)2sin xcos xsin 2x，f(x)為奇函數(shù)，f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱【答案】B5(xx·課標(biāo)全國卷)已知sin 2，則cos2()A. B. C. D.【解析】sin 2，cos2.【答案】A6(xx·江西高考)函數(shù)ysin 2x2sin2x的最小正周期T為_【解析】由于ysin 2x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin，T.【答案】考向一 063輔助角公式及其應(yīng)用(1)函數(shù)f(x)sin xcos的最大值為()A2B.C1D.(2)(xx·浙江高考)函數(shù)f(x)sin xcos xcos 2x的最小正周期和振幅分別是()A，1 B，2 C2，1 D2，2(3)(xx·湖北高考)將函數(shù)ycos xsin x(xR)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是()A. B. C. D.【思路點(diǎn)撥】(1)先將cos展開，再與“sin x”合成一個(gè)角(2)先把f(x)化成Asin(x)的形式，再求周期和振幅(3)先將函數(shù)解析式化簡，再寫出平移后的解析式，然后，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)得到m的表達(dá)式，求得m的最小值【嘗試解答】(1)f(x)sin xcos·cos xsinsin xcos xsin xsin當(dāng)x2k(kZ)時(shí)，f(x)取得最大值1.(2)f(x)sin 2xcos 2xsin，所以最小正周期為T，振幅A1.(3)由于ycos xsin x2cos，向左平移m(m>0)個(gè)單位長度后得到函數(shù)y2cos的圖象由于該圖象關(guān)于y軸對稱，所以mk(kZ，m>0)，于是mk(kZ，m>0)，故當(dāng)k0時(shí)，m取得最小值.【答案】(1)C(2)A(3)B規(guī)律方法1利用asin xbcos xsin(x)把形如yasin xbcos xk的函數(shù)化為一個(gè)角的某種函數(shù)的一次式，可以求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、值域和最值、對稱軸等.對點(diǎn)訓(xùn)練(xx·溫州模擬)已知函數(shù)f(x)sin xcos x，xR，若f(x)1，則x的取值范圍為()A.B.C.D.【解析】f(x)sin xcos x2sin1，sin，2kx2k(kZ)，2kx2k，kZ.【答案】A考向二 064三角恒等變換的綜合應(yīng)用(xx·大連模擬)已知函數(shù)f(x)sin2sin2(xR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值時(shí)x的集合【思路點(diǎn)撥】借助“降冪公式”及“輔助角公式”化f(x)成“Asin(x)k”的形式，進(jìn)而解答本題【嘗試解答】(1)因?yàn)閒(x)sin1cos 2212sin12sin1，所以f(x)的最小正周期T.(2)當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)，sin1，此時(shí)2x2k(kZ)，即xk(kZ)，所以所求x的集合為.規(guī)律方法21.三角恒等變換要堅(jiān)持結(jié)構(gòu)同化原則，即盡可能地化為同角函數(shù)、同名函數(shù)、同次函數(shù)等，其中切化弦也是同化思想的體現(xiàn)；2.降次是一種三角變換的常用技巧，要靈活運(yùn)用降次公式.對點(diǎn)訓(xùn)練(xx·四川高考)已知函數(shù)f(x)cos2sin cos .(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域；(2)若f()，求sin 2的值【解】(1)由已知，f(x)cos2sin cos (1cos x)sin xcos，所以f(x)的最小正周期為2，值域?yàn)?(2)由(1)知，f()cos，所以cos.所以sin 2coscos 212cos21.思想方法之十轉(zhuǎn)化思想在求三角函數(shù)最值中的妙用解決三角函數(shù)最值的基本途徑，同求解其他函數(shù)最值一樣，一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性(如有界性等)，另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)(二次函數(shù)等)最值問題常見的三角函數(shù)最值的求解策略如下所示：1配方轉(zhuǎn)化策略對能夠化為形如yasin2xbsin xc或yacos2xbcos xc的三角函數(shù)最值問題，可看作是sin x或cos x的二次函數(shù)最值問題，常常利用配方轉(zhuǎn)化策略來解決2有界轉(zhuǎn)化策略對于所給的三角函數(shù)能夠通過變形化為形如yAsin(x)等形式的，常常可以利用三角函數(shù)的有界性來求解其最值這是解決三角函數(shù)最值問題常用的策略之一3單調(diào)性轉(zhuǎn)化策略借助函數(shù)單調(diào)性是求解函數(shù)最值問題常用的一種轉(zhuǎn)化策略對于三角函數(shù)來說，常常是先化為yAsin(x)k的形式，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解1個(gè)示范例 1個(gè)對點(diǎn)練(xx·山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)sin2xsin cos x(0)，且yf(x)圖象的一個(gè)對稱中心到最近的對稱軸的距離為.(1)求的值；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值【解】(1)f(x)sin2xsin xcos x·sin 2xcos 2xsin 2xsin.因?yàn)閳D象的一個(gè)對稱中心到最近的對稱軸的距離為，又0，所以4×.因此1.(2)由(1)知f(x)sin.當(dāng)x時(shí)，2x.所以sin1.因此1f(x).故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值為，1.已知向量a(1sin 2x，sin xcos x)，b(1，sin xcos x)，函數(shù)f(x)a·b.(1)求f(x)的最大值及相應(yīng)的x的值；(2)若f()，求cos 2的值【解】(1)因?yàn)閍(1sin 2x，sin xcos x)，b(1，sin xcos x)，所以f(x)1sin 2xsin2xcos2x1sin 2xcos 2xsin1.因此，當(dāng)2x2k(kZ)，即xk(kZ)時(shí)，f(x)取得最大值1.(2)由f()1sin 2cos 2及f()，得sin 2cos 2，兩邊平方，得1sin 4，即sin 4.因此cos 2cossin 4.