2022年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 微專題強化練 專題14 直線與圓（含解析）一、選擇題1(文)若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與l2間的距離為()A.B.C. D.答案B解析由l1l2知3a(a2)且2a6(a2)，2a218，求得a1，l1：xy60，l2：xy0，兩條平行直線l1與l2間的距離為d.故選B.(理)已知直線l過圓x2(y3)24的圓心，且與直線xy10垂直，則l的方程是()Axy20Bxy20Cxy30Dxy30答案D解析圓心(0,3)，又知所求直線斜率為1，直線方程為xy30.方法點撥1.兩直線的位置關系方程約束條件位置關系l1：yk1xb1l2：yk2xb2l1：A1xB1yC10l2：A2xB2yC20平行k1k2，且b1b2A1B2A2B10，且B1C2B2C10相交k1k2特別地，l1l2k1k21A1B2A2B1特別地，l1l2A1A2B1B20重合k1k2且b1b2A1B2A2B10且B1C2B2C102.與直線ykxb平行的直線設為ykxb1，垂直的直線設為yxm(k0)；與直線AxByC0平行的直線設為AxByC10，垂直的直線設為BxAyC10.求兩平行直線之間的距離可直接代入距離公式，也可在其中一條直線上取一點，求其到另一條直線的距離A2或12B2或12C2或12D2或12答案D解析考查1.直線與圓的位置關系；2.點到直線的距離公式直線3x4yb與圓心為(1,1)，半徑為1的圓相切，1b2或12，故選D.(理)(xx·遼寧葫蘆島市一模)已知圓C與直線xy0及xy40都相切，圓心在直線xy0上，則圓C的方程為()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22答案B解析由題意知，圓心C既在與兩直線xy0與xy40平行且距離相等的直線上，又在直線xy0上，設圓心C(a，a)，半徑為r，則由已知得，解得a1，r，故選B.方法點撥1.點與圓的位置關系幾何法：利用點到圓心的距離d與半徑r的關系判斷：d>r點在圓外，dr點在圓上；d<r點在圓內代數(shù)法：將點的坐標代入圓的標準(或一般)方程的左邊，將所得值與r2(或0)作比較，大于r2(或0)時，點在圓外；等于r2(或0)時，點在圓上；小于r2(或0)時，點在圓內2直線與圓的位置關系直線l：AxByC0(A2B20)與圓：(xa)2(yb)2r2(r>0)的位置關系如下表.方法位置關系幾何法：根據(jù)d與r的大小關系代數(shù)法：消元得一元二次方程，根據(jù)判別式的符號 相交d<r>0相切dr0相離d>r<03.求圓的方程有兩類方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的半徑和圓心，得出圓的方程；(2)代數(shù)法，求圓的方程必須具備三個獨立條件，利用“待定系數(shù)法”求出圓心和半徑3(文)(xx·安徽文，6)過點P(，1)的直線l與圓x2y21有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A. (0，B(0，C. 0，D0， 答案D解析由題意可畫出示意圖：易知過點P的圓的兩切線為PA與PM.PA處傾斜角為0，在RtPOM中易知PO2，OM1，OPM，OPA，MPA，直線l傾斜角的范圍是0，方法點撥本題還可以設出直線l的方程ykxb，將P點代入得出k與b的關系，消去未知數(shù)b，再將直線代入圓方程，利用>0求出k的范圍，再求傾斜角的范圍1求直線的方程常用待定系數(shù)法2兩條直線平行與垂直的判定可用一般式進行判定，也可以用斜率判定(理)(xx·山東理，9)一條光線從點(2，3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x3)2(y2)21相切，則反射光線所在直線的斜率為()A或B或C或D或答案D解析由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(2，3)，設反射光線所在直線的斜率為k，則其直線方程為y3k(x2)，即kxy2k30，光線與圓(x3)2(y2)21相切，1，12k225k120，解得k或k.故選D.4(文)(xx·湖南文，6)若圓C1：x2y21與圓C2：x2y26x8ym0外切，則m()A21B19C9D11答案C解析本題考查了兩圓的位置關系由條件知C1：x2y21，C2：(x3)2(y4)225m，圓心與半徑分別為(0,0)，(3,4)，r11，r2，由兩圓外切的性質知，51，m9.方法點撥圓與圓的位置關系表現(xiàn)形式位置關系幾何表現(xiàn)：圓心距d與r1、r2的關系代數(shù)表現(xiàn)：兩圓方程聯(lián)立組成的方程組的解的情況相離d>r1r2無解外切dr1r2一組實數(shù)解相交|r1r2|<d<r1r2兩組不同實數(shù)解內切d|r1r2|(r1r2)一組實數(shù)解內含0d<|r1r2|(r1r2)無解(理)一動圓過點A(0,1)，圓心在拋物線yx2上，且恒與定直線l相切，則直線l的方程為()Ax1BxCyDy1答案D解析A(0,1)是拋物線x24y的焦點，又拋物線的準線為y1，動圓過點A，圓心C在拋物線上，由拋物線的定義知|CA|等于C到準線的距離，等于C的半徑，C與定直線l：y1總相切5(文)(xx·哈三中一模)直線xy0截圓x2y24所得劣弧所對圓心角為()A. B.C. D.答案D解析弦心距d1，半徑r2，劣弧所對的圓心角為.(理)(xx·福建理，6)直線l：ykx1與圓O：x2y21相交于A，B兩點，則“k1”是“OAB的面積為”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件答案A解析圓心O(0,0)到直線l：kxy100的距離d，弦長為|AB|2，SOAB×|AB|·d，k±1，因此當“k1”時，“SOAB”，故充分性成立“SOAB”時，k也有可能為1，必要性不成立，故選A.方法點撥1.直線與圓相交時主要利用半弦、半徑、弦心距組成的直角三角形求解2直線與圓相切時，一般用幾何法體現(xiàn)，即使用dr，而不使用0.6(xx·太原市一模)已知在圓x2y24x2y0內，過點E(1,0)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A3B6C4D2答案D解析圓的方程為(x2)2(y1)25，圓的最長弦AC為直徑2；設圓心M(2，1)，圓的最短弦BDME，ME，BD22，故S四邊形ABCDAC·BD×2×22.7(xx·重慶理，8)已知直線l：xay10(aR)是圓C：x2y24x2y10的對稱軸過點A(4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|()A2B4C6D2答案C解析易知圓的標準方程C：(x2)2(y1)24，圓心O(2,1)，又因為直線l：xay10是圓的對稱軸，則該直線一定經(jīng)過圓心，得知a1，A(4，1)，又因為直線AB與圓相切，則OAB為直角三角形，|OA|2，|OB|2，|AB|6.8過點P(2,3)且與兩坐標軸圍成的三角形面積為24的直線共有()A1條B2條C3條D4條答案D解析過P(2,3)與x軸負半軸和y軸正半軸圍成的三角形面積的最小值是12，所以過一、二、三象限可作2條，過一、二、四象限可作一條，過二、三、四象限可作一條，共4條9(文)(xx·江西理，9)在平面直角坐標系中，A、B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2xy40相切，則圓C面積的最小值為()A. B.C(62) D.答案A解析本題考查直線與圓的位置關系、拋物線的定義及數(shù)形結合求最值的數(shù)學思想依題意，AOB90°，原點O在C上，又C與直線2xy40相切，設切點為D，則|OC|CD|，圓C的圓心C的軌跡是拋物線，其中焦點為原點O，準線為直線2xy40.要使圓C的面積有最小值，當且僅當O、C、D三點共線，即圓C的直徑等于O點到直線的距離，2R，R.SR2.選A.(理)兩條平行直線和圓的位置關系定義為：若兩條平行直線和圓有四個不同的公共點，則稱兩條平行線和圓“相交”；若兩平行直線和圓沒有公共點，則稱兩條平行線和圓“相離”；若兩平行直線和圓有一個、兩個或三個不同的公共點，則稱兩條平行線和圓“相切”已知直線l1：2xya0，l2：2xya210和圓：x2y22x40相切，則a的取值范圍是()Aa>7或a<3Ba>或a<C3a或a7Da7或a3答案C解析本題主要考查直線和圓的位置關系、補集思想及分析、理解、解決問題的能力兩條平行線與圓都相交時，由得<a<，兩條直線都和圓相離時，由得a<3，或a>7，所以兩條直線和圓“相切”時a的取值范圍3a或a7，故選C.方法點撥與圓有關的最值問題主要題型有：1圓的半徑最小時，圓面積最小2圓上點到定點距離最大(小)值問題，點在圓外時，最大值dr，最小值dr(d是圓心到定點距離)；點在圓內時，最大值dr，最小值rd.3圓上點到定直線距離最值，設圓心到直線距離為d，直線與圓相離，則最大值dr，最小值dr；直線與圓相交，則最大值dr，最小值0.4P(x，y)為O上一動點，求x、y的表達式(如x2y，x2y2等)的取值范圍，一段利用表達式的幾何意義轉化二、填空題10(文)設直線mxy30與圓(x1)2(y2)24相交于A、B兩點，且弦長為2，則m_.答案0解析圓的半徑為2，弦長為2，弦心距為1，即得d1，解得m0.(理)在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若sin2Asin2Bsin2C，則直線axbyc0被圓x2y29所截得弦長為_答案2解析由正弦定理得a2b2c2，圓心到直線距離d，弦長l222.11在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2y24上有且只有四個點到直線12x5yc0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是_答案(13,13)解析本題考查了直線與圓的位置關系，利用數(shù)形結合可解決此題，屬中檔題要使圓x2y24上有且只有四個點到直線12x5yc0的距離為1，只需滿足圓心到直線的距離小于1即可即<1，解|c|<13，13<c<13.12已知過點P(2,1)有且只有一條直線與圓C：x2y22axay2a2a10相切，則實數(shù)a_.答案1解析由條件知點P在C上，414aa2a2a10，a1或2.當a1時，x2y22xy0表示圓，當a2時，x2y24x2y50不表示圓，a1.三、解答題13(xx·福建文，19)已知點F為拋物線E：y22px(p>0)的焦點，點A(2，m)在拋物線E上，且|AF|3.(1)求拋物線E的方程；(2)已知點G(1,0)，延長AF交拋物線E于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切分析考查：1.拋物線標準方程；2.直線和圓的位置關系(1)利用拋物線定義，將拋物線上的點到焦點距離和到準線距離相互轉化；(2)欲證明以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切可證明點F到直線GA和直線GB的距離相等(此時需確定兩條直線方程)；也可以證明AGFBGF，可轉化為證明兩條直線的斜率互為相反數(shù)解析法一：(1)由拋物線的定義得|AF|2.因為|AF|3，即23，解得p2，所以拋物線E的方程為y24x.(2)因為點A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m±2，由拋物線的對稱性，不妨設A(2,2)由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，從而B(，)又G(1,0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，從而AGFBGF，這表明點F到直線GA，GB的距離相等，故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切法二：(1)同法一(2)設以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.因為點A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m±2，由拋物線的對稱性，不妨設A(2,2)由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20.解得x2或x，從而B.又G(1,0)，故直線GA的方程為2x3y20，從而r .又直線GB的方程為2x3y20，所以點F到直線GB的距離dr.這表明以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切14(文)已知圓C：x2y2r2(r>0)經(jīng)過點(1，)(1)求圓C的方程；(2)是否存在經(jīng)過點(1,1)的直線l，它與圓C相交于A、B兩個不同點，且滿足關系(O為坐標原點)的點M也在圓C上，如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由解析(1)由圓C：x2y2r2，再由點(1，)在圓C上，得r212()24，所以圓C的方程為x2y24.(2)假設直線l存在，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)若直線l的斜率存在，設直線l的方程為y1k(x1)，聯(lián)立消去y得，(1k2)x22k(k1)xk22k30，由韋達定理得x1x22，x1x21，y1y2k2x1x2k(k1)(x1x2)(k1)23，因為點A(x1，y1)，B(x2，y2)在圓C上，因此，得xy4，xy4，由得，x0，y0，由于點M也在圓C上，則()2()24，整理得3·x1x2y1y24，即x1x2y1y20，所以1(3)0，從而得，k22k10，即k1，因此，直線l的方程為y1x1，即xy20.若直線l的斜率不存在，則A(1，)，B(1，)，M(，)()2()244，故點M不在圓上與題設矛盾，綜上所知：k1，直線方程為xy20.(理)已知圓O：x2y22交x軸于A、B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為的橢圓，其左焦點為F.若P是圓O上一點，連接PF，過原點O作直線PF的垂線交直線x2于點Q.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若點P的坐標為(1,1)，求證：直線PQ與圓O相切；(3)試探究：當點P在圓O上運動時(不與A，B重合)，直線PQ與圓O是否保持相切的位置關系？若是，請證明；若不是，請說明理由解析(1)因為a，e，所以c1，則b1，即橢圓C的標準方程為y21.(2)因為P(1,1)，F(xiàn)(1,0)，所以kPF，kOQ2，所以直線OQ的方程為y2x.又Q在直線x2上，所以點Q(2,4)kPQ1，kOP1，kOP·kPQ1，即OPPQ，故直線PQ與圓O相切(3)當點P在圓O上運動時，直線PQ與圓P保持相切的位置關系，設P(x0，y0)，(x0±)，則y2x，kPF，kOQ，直線OQ的方程為yx，點Q(2，)，kPQ，又kOP.kOP·kPQ1，即OPPQ(P不與A、B重合)，直線PQ始終與圓O相切15(文)(xx·石家莊市質檢)已知動圓C過定點M(0,2)，且在x軸上截得弦長為4.設該動圓圓心的軌跡為曲線C.(1)求曲線C方程；(2)設點A為直線l：xy20上任意一點，過A作曲線C的切線，切點分別為P、Q，求APQ面積的最小值及此時點A的坐標解析(1)設動圓圓心坐標為C(x，y)，根據(jù)題意得，化簡得x24y.(2)解法一：設直線PQ的方程為ykxb，由消去y得x24kx4b0.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則，且16k216b以點P為切點的切線的斜率為y1x1，其切線方程為yy1x1(xx1)，即yx1xx.同理過點Q的切線的方程為yx2xx.兩條切線的交點A(xA，yB)在直線xy20上，解得，即A(2k，b)則：2kb20，即b22k，代入16k216b16k23232k16(k1)216>0，|PQ|x1x2|4，A(2k，b)到直線PQ的距離為d，SAPQ|PD|·d4|k2b|·4(k2b)4(k22k2)4(k1)21.當k1時，SAPQ最小，其最小值為4，此時點A的坐標為(2,0)解法二：設A(x0，y0)在直線xy20上，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)在拋物線x24y上，則以點P為切點的切線的斜率為y1x1，其切線方程為yy1x1(xx1)，即yx1xy1，同理以點Q為切點的方程為yx2xy2.設兩條切線均過點A(x0，y0)，則點P，Q的坐標均滿足方程y0xx0y，即直線PQ的方程為：yx0xy0，代入拋物線方程x24y消去y可得：x22x0x4y00|PQ|x1x2|A(x0，y0)到直線PQ的距離為d，SAPQ|PQ|d|x4y0|·(x4y0) (x4x08) (x02)24 當x02時，SAPQ最小，其最小值為4，此時點A的坐標為(2,0)(理)已知點A(2,0)，B(2,0)，直線PA與直線PB斜率之積為，記點P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)設M、N是曲線C上任意兩點，且|，是否存在以原點為圓心且與MN總相切的圓？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由解析(1)設P(x，y)，則由直線PA與直線PB斜率之積為得，·(x±2)，整理得曲線C的方程為1(x±2)(2)若|，則.設M(x1，y1)，N(x2，y2)若直線MN斜率不存在，則y2y1，N(x1，y1)由得·1，又1.解得直線MN方程為x±.原點O到直線MN的距離d.若直線MN斜率存在，設方程為ykxm.由得(4k23)x28kmx4m2120.x1x2，x1·x2.(*)由得·1，整理得(k21)x1x2km(x1x2)m20.代入(*)式解得7m212(k21)此時(4k23)x28kmx4m2120中>0.此時原點O到直線MN的距離d.故原點O到直線MN的距離恒為d.存在以原點為圓心且與MN總相切的圓，方程為x2y2.