2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第14講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）練習(xí) 新人教A版考情展望1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與閉區(qū)間上的最值.3.借助導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍一、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則(1)若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充分不必要條件；f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的必要不充分條件(f(x)0不恒成立)二、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)1函數(shù)的極小值與極小值點(diǎn)：若函數(shù)f(x)在點(diǎn)xa處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，且f(a)0，而且在xa附近的左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)>0，則a點(diǎn)叫函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫函數(shù)的極小值2函數(shù)的極大值與極大值點(diǎn)：若函數(shù)f(x)在點(diǎn)xb處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，且f(b)0，而且在xb附近的左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f(x)<0，則b點(diǎn)叫函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(b)叫函數(shù)的極大值，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值f(x0)0同x0是f(x)極值點(diǎn)的關(guān)系f(x0)0是x0為f(x)的極值點(diǎn)的非充分非必要條件例如，f(x)x3，f(0)0，但x0不是極值點(diǎn)；又如f(x)|x|，x0是它的極小值點(diǎn)，但f(0)不存在三、函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)1函數(shù)f(x)在a，b上有最值的條件：如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值2求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步驟：求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值極值同最值的關(guān)系極值只能在定義域內(nèi)取得(不包括端點(diǎn))，最值卻可以在端點(diǎn)處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處取必定是極值1函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖2111所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()圖2111A1個B2個C3個 D4個【解析】導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)中，左側(cè)圖象在x軸下方，右側(cè)圖象在x軸上方的只有一個，故選A.【答案】A2當(dāng)x0時，f(x)x的單調(diào)減區(qū)間是()A(2，) B(0,2)C(，) D(0，)【解析】f(x)1，令f(x)0，0x2，f(x)的減區(qū)間為(0,2)【答案】B3函數(shù)f(x)x2ln x的最小值()A. B1C不存在 D0【解析】f(x)x，且x0，令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x1.f(x)在x1時取最小值f(1)ln 1.【答案】A4設(shè)函數(shù)f(x)xex，則()Ax1為f(x)的極大值點(diǎn)Bx1為f(x)的極小值點(diǎn)Cx1為f(x)的極大值點(diǎn)Dx1為f(x)的極小值點(diǎn)【解析】f(x)xex，f(x)exxexex(1x)當(dāng)f(x)0時，即ex(1x)0，即x1，x1時函數(shù)yf(x)為增函數(shù)同理可求，x<1時函數(shù)f(x)為減函數(shù)x1時，函數(shù)f(x)取得極小值【答案】D5(xx·浙江高考)已知函數(shù)yf(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖2112所示，則該函數(shù)的圖象是()圖2112【解析】從導(dǎo)函數(shù)的圖象可以看出，導(dǎo)函數(shù)值先增大后減小，x0時最大，所以函數(shù)f(x)的圖象的變化率也先增大后減小，在x0時變化率最大A項，在x0時變化率最小，故錯誤；C項，變化率是越來越大的，故錯誤；D項，變化率是越來越小的，故錯誤B項正確【答案】B6(xx·福建高考)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，x0(x00)是f(x)的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的極小值點(diǎn)Cx0是f(x)的極小值點(diǎn)Dx0是f(x)的極小值點(diǎn)【解析】不妨取函數(shù)為f(x)x33x，則f(x)3(x1)(x1)，易判斷x01為f(x)的極大值點(diǎn)，但顯然f(x0)不是最大值，故排除A.因為f(x)x33x，f(x)3(x1)(x1)，易知，x01為f(x)的極大值點(diǎn)，故排除B；又f(x)x33x，f(x)3(x1)(x1)，易知，x01為f(x)的極大值點(diǎn)，故排除C；f(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，由函數(shù)圖象的對稱性可得x0應(yīng)為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)故D正確【答案】D考向一 038利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性(xx·福州模擬)已知函數(shù)f(x)ax(aR)(1)當(dāng)a時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在1,1上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍【思路點(diǎn)撥】(1)直接解f(x)0和f(x)0便可(2)由f(x)0或f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解題的關(guān)鍵是通過分離參數(shù)將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理【嘗試解答】(1)當(dāng)a時，f(x)x，f(x)(ex)23ex2(ex1)(ex2)，令f(x)0，得ex1或ex2，即x0或xln 2.令f(x)0，得x0或xln 2；令f(x)0，則0xln 2.f(x)在(，0，ln 2，)上單調(diào)遞增，在(0，ln 2)上單調(diào)遞減(2)f(x)a，令ext，由于x1,1，t.令h(t)，h(t)，當(dāng)t時，h(t)0，函數(shù)h(t)為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)t(，e時，h(t)0，函數(shù)h(t)為單調(diào)增函數(shù)故h(t)在上的極小值點(diǎn)為t.又h(e)he，h(t)e.函數(shù)f(x)在1,1上為單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)在1,1上單調(diào)遞增，則a對t恒成立，所以a；若函數(shù)f(x)在1,1上單調(diào)遞減，則a對t恒成立，所以ae，綜上可得a或ae.規(guī)律方法11.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟,(1)確定函數(shù)f(x)的定義域(定義域優(yōu)先)；(2)求導(dǎo)函數(shù)f(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)求不等式f(x)0或f(x)0的解集；(4)由f(x)0(f(x)0)的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間.若遇不等式中帶有參數(shù)時，可分類討論求得單調(diào)區(qū)間.2.由函數(shù)f(x)在(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f(x)0(或f(x)0)恒成立問題，要注意“”是否可以取到.對點(diǎn)訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)xln x(aR)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍【解】(1)函數(shù)f(x)xln x的定義域為(0，)，f(x)1.當(dāng)14a0，即a時，得x2xa0，則f(x)0.函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，當(dāng)14a0，即a時，令f(x)0，得x2xa0，解得x10，x2.()若a0，則x20.x(0，)，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增()若a0，則x時，f(x)0；x時，f(x)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由題意知，f(x)0在(1，)上恒成立，即x2xa0在(1，)上恒成立，令g(x)x2xa2a，則g(x)2a，從而2a0，a2.當(dāng)a2時，f(x)0在(1，)上恒成立，因此實數(shù)a的取值范圍是(，2考向二 039利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(xx·福建高考)已知函數(shù)f(x)xaln x(aR)(1)當(dāng)a2時，求曲線yf(x)在點(diǎn)A(1，f(1)處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值【思路點(diǎn)撥】(1)首先確定定義域，再利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率及其方程；(2)先求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再討論字母a的取值以確定單調(diào)性【嘗試解答】函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)1.(1)當(dāng)a2時，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲線yf(x)在點(diǎn)A(1，f(1)處的切線方程為y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：當(dāng)a0時，f(x)0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a0時，由f(x)0，解得xa.又當(dāng)x(0，a)時，f(x)0；當(dāng)x(a，)時，f(x)0，從而函數(shù)f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a，無極大值綜上，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無極大值規(guī)律方法21.本例在求解時，常因忽略函數(shù)的定義域(0，)，而忘記討論參數(shù)a0的情形.2.可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f(x0)0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f(x)的符號不同.特別注意，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).3.若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值.對點(diǎn)訓(xùn)練(1)(xx·重慶高考)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其圖2113導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如圖2113所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)(2)(xx·濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)ax33x21(aR且a0)，求函數(shù)f(x)的極大值與極小值【解析】(1)當(dāng)x2時，y(1x)f(x)0，得f(x)0；當(dāng)2x1時，y(1x)f(x)0，得f(x)0；當(dāng)1x2時，y(1x)f(x)0，得f(x)0；當(dāng)x2時，y(1x)f(x)0，得f(x)0，f(x)在(，2)上是增函數(shù)，在(2,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是減函數(shù)，在(2，)上是增函數(shù)，函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)【答案】(1)D(2)由題設(shè)知a0，f(x)3ax26x3ax.令f(x)0得x0或.當(dāng)a0時，隨著x的變化，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，0)0f(x)00f(x)極大值極小值f(x)極大值f(0)1，f(x)極小值f1.當(dāng)a0時，隨著x的變化，f(x)與f(x)的變化情況如下：x0(0，)f(x)00f(x)極小值極大值f(x)極大值f(0)1，f(x)極小值f1.綜上，當(dāng)a0時，f(x)極大值f(0)1，f(x)極小值f1；當(dāng)a0時，f(x)極大值f(0)1；f(x)極小值f1.考向三 040利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值(xx·廣州模擬)已知函數(shù)f(x)xln x，(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)a(x1)，其中aR，求函數(shù)g(x)在1，e上的最小值(e2.718 28)【思路點(diǎn)撥】討論極值點(diǎn)同區(qū)間1，e的關(guān)系，進(jìn)而確定最小值【嘗試解答】(1)f(x)ln x1，x0，而f(x)0ln x10x，f(x)0ln x100x，所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以x是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在(2)g(x)xln xa(x1)，則g(x)ln x1a.g(x)0ln x1a00xea1，g(x)0xea1，所以g(x)在(0，ea1)上單調(diào)遞減，在(ea1，)上單調(diào)遞增當(dāng)ea11，即a1時，g(x)在1，e上單調(diào)遞增，所以g(x)在1，e上的最小值為g(1)0.當(dāng)1ea1e，即1a2時，g(x)在1，ea1)上單調(diào)遞減，在(ea1，e上單調(diào)遞增所以g(x)在1，e上的最小值為g(ea1)aea1.當(dāng)eea1，即a2時，g(x)在1，e上單調(diào)遞減，所以g(x)在1，e上的最小值為g(e)eaae.綜上，當(dāng)a1時，g(x)的最小值為0；當(dāng)1a2時，g(x)的最小值為aea1；當(dāng)a2時，g(x)的最小值為aeae.規(guī)律方法31.本例(2)中區(qū)間確定，但函數(shù)解析式不確定，因此應(yīng)討論每個極值點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系，求解時可畫出每一類情況的大致圖象，數(shù)形結(jié)合求解.2.求函數(shù)f(x)在a，b上的最值的步驟如下：,(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.對點(diǎn)訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)ln x.(1)若a0，試判斷f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a2時，求f(x)的最小值；(3)若f(x)在1，e上的最小值為，求a的值【解】(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x).a0，f(x)0.故f(x)在(0，)上是單調(diào)遞增函數(shù)(2)當(dāng)a2時，f(x)ln x，f(x).當(dāng)x(0,2)時，f(x)0，當(dāng)x(2，)時，f(x)0，f(x)在(0,2)上為減函數(shù)，在(2，)上為增函數(shù)f(x)minf(2)ln 21.(3)f(x)，當(dāng)a1時，對任意x1，e，f(x)0，此時f(x)在1，e上為增函數(shù)，f(x)minf(1)a，a(舍)當(dāng)ae時，對任意x1，e，f(x)0，此時f(x)在1，e上為減函數(shù)f(x)minf(e)1.a(舍)當(dāng)ea1時，令f(x)0，得xa，當(dāng)1xa時，f(x)0，f(x)在(1，a)上遞減同理，f(x)在(a，e)上遞增f(x)minf(a)ln(a)1，a.綜上，a.規(guī)范解答之三利用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)的最值利用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)最值的一般步驟：第一步：利用f(x)0或f(x)0求單調(diào)區(qū)間；第二步：解f(x)0得兩個根x1x2；第三步：比較兩根同區(qū)間端點(diǎn)的大?。坏谒牟剑呵髽O值；第五步：比較極值同端點(diǎn)值的大小1個示范例1個規(guī)范練(12分)(xx·廣東高考)設(shè)函數(shù)f(x)(x1)exkx2(kR)(1)當(dāng)k1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)k時，求函數(shù)f(x)在0，k上的最大值M.【規(guī)范解答】(1)當(dāng)k1時，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xx(ex2)由f(x)0，解得x10，x2ln 2>0.由f(x)>0，得x<0或x>ln 2.由f(x)<0，得0<x<ln 2.2分所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，0)和(ln 2，)，單調(diào)減區(qū)間為(0，ln 2).3分(2)因為f(x)(x1)exkx2，所以f(x)xex2kxx(ex2k)令f(x)0，解得x10，x2ln(2k)，因為k，所以2k(1,2，所以0<ln(2k)ln 2.5分設(shè)g(k)kln(2k)，k，g(k)10，所以g(k)在上是減函數(shù)，所以g(k)g(1)1ln 2>0，即0<ln(2k)<k.6分所以f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(0，ln(2k)ln(2k)(ln(2k)，k)f(x)0f(x)極小值所以函數(shù)f(x)在0，k上的最大值為f(0)或f(k).7分f(0)1，f(k)(k1)ekk3，f(k)f(0)(k1)ekk31(k1)ek(k31)(k1)ek(k1)(k2k1)(k1)ek(k2k1).8分因為k，所以k10.令h(k)ek(k2k1)，則h(k)ek(2k1)對任意的k，yek的圖象恒在y2k1的圖象的下方，所以ek(2k1)<0，即h(k)<0，所以函數(shù)h(k)在上為減函數(shù)，故h(1)h(k)<he<0，所以f(k)f(0)0，即f(k)f(0).11分所以函數(shù)f(x)在0，k上的最大值Mf(k)(k1)ekk3.12分【名師寄語】1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，轉(zhuǎn)化為解不等式f(x)0和f(x)0，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想.2.判斷函數(shù)在給定區(qū)間0，k上的單調(diào)性，需要考慮f(x)0的根和區(qū)間端點(diǎn)的大小，求函數(shù)的最大值，需要比較f(0)和f(k)的大小，都考查了分類討論思想的應(yīng)用.3.比較區(qū)間端點(diǎn)k和函數(shù)f(x)的零點(diǎn)ln(2k)的大小及ek與k2k1的大小時，均構(gòu)造了函數(shù)，并借助導(dǎo)數(shù)解決，需要較強(qiáng)的分析問題和解決問題的能力.已知函數(shù)f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范圍【解】(1)由f(x)(xk)2e，得f(x)(x2k2)e，令f(x)0，得x±k，若k0，當(dāng)x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，k)和(k，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(k，k)若k0，當(dāng)x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)04k2e1所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k)和(k，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(k，k)(2)當(dāng)k0時，因為f(k1)e，所以不會有x(0，)，f(x).當(dāng)k0時，由(1)知f(x)在(0，)上的最大值是f(k).所以x(0，)，f(x)等價于f(k)，解得k0.故當(dāng)x(0，)，f(x)時，k的取值范圍是.