2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題突破 專題三 數(shù)列與不等式 第4講 不等式與線性規(guī)劃 理1(xx·浙江)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，且0<f(1)f(2)f(3)3，則()Ac3 B3<c6C6<c9 Dc>92(xx·廣東)若變量x，y滿足約束條件則z3x2y的最小值為()A4 B. C6 D.3(xx·浙江)有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且xyz，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用(單位：元)是()Aaxbycz BazbycxCaybzcx Daybxcz4(xx·重慶)設(shè)a，b0，ab5，則的最大值為_1.利用不等式性質(zhì)比較大小，利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點(diǎn)；2.一元二次不等式常與函數(shù)、數(shù)列結(jié)合考查一元二次不等式的解法和參數(shù)取值范圍；3.利用不等式解決實(shí)際問題.熱點(diǎn)一不等式的解法1一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc>0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集2簡(jiǎn)單分式不等式的解法(1)>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)；(2)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.3指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解例1(1)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為，則f(10x)>0的解集為()Ax|x<1或x>lg 2Bx|1<x<lg 2Cx|x>lg 2Dx|x<lg 2(2)已知函數(shù)f(x)(x2)(axb)為偶函數(shù)，且在(0，)單調(diào)遞增，則f(2x)>0的解集為()Ax|x>2或x<2 Bx|2<x<2Cx|x<0或x>4 Dx|0<x<4思維升華(1)對(duì)于和函數(shù)有關(guān)的不等式，可先利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化；(2)求解一元二次不等式的步驟：第一步，二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；第二步，解對(duì)應(yīng)的一元二次方程；第三步，若有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則利用“大于在兩邊，小于夾中間”得不等式的解集；(3)含參數(shù)的不等式的求解，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論跟蹤演練1(1)關(guān)于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a_.(2)已知f(x)是R上的減函數(shù)，A(3，1)，B(0,1)是其圖象上兩點(diǎn)，則不等式|f(1ln x)|<1的解集是_熱點(diǎn)二基本不等式的應(yīng)用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是：(1)如果x>0，y>0，xyp(定值)，當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值2(簡(jiǎn)記為：積定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，xys(定值)，當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值s2(簡(jiǎn)記為：和定，積有最大值)例2(1)已知向量a(3，2)，b(x，y1)，且ab，若x，y均為正數(shù)，則的最小值是()A. B.C8 D24(2)已知關(guān)于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為()A1 B.C2 D.思維升華在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤跟蹤演練2(1)(xx·天津)已知a0，b0，ab8，則當(dāng)a的值為_時(shí)，log2a·log2(2b)取得最大值(2)若直線2axby20(a>0，b>0)被圓x2y22x4y10截得的弦長(zhǎng)為4，則的最小值是_熱點(diǎn)三簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決例3(1)(xx·北京)若x，y滿足則zx2y的最大值為()A0 B1C. D2(2)(xx·安徽)x，y滿足約束條件若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為()A.或1 B2或C2或1 D2或1思維升華(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍(2)一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得跟蹤訓(xùn)練3已知x，y滿足且目標(biāo)函數(shù)z2xy的最小值為9，則實(shí)數(shù)a的值是()A1 B2C3 D71若點(diǎn)A(a，b)在第一象限，且在直線x2y1上，則ab的最大值為()A1 B. C. D.2已知A(1，1)，B(x，y)，且實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則z·的最小值為()A2 B2C4 D63已知函數(shù)f(x)則不等式f(x)4的解集為_4已知不等式|a2a|對(duì)于x2,6恒成立，則a的取值范圍是_提醒：完成作業(yè)專題三第4講二輪專題強(qiáng)化練專題三第4講 不等式與線性規(guī)劃A組專題通關(guān)1下列選項(xiàng)中正確的是()A若a>b，則ac2>bc2B若ab>0，a>b，則<C若a>b，c<d，則<D若a>b，c>d，則ac>bd2不等式x2x<對(duì)任意a，b(0，)恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A(2,0) B(，2)(1，)C(2,1) D(，4)(2，)3(xx·山東)已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a等于() A3 B2 C2 D34(xx·重慶)若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是()A62 B72C64 D745(xx·浙江杭州二中第一次月考)若關(guān)于x的不等式x2ax2>0在區(qū)間1,5上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，) B，1C(1，) D(，1)6已知函數(shù)f(x)那么不等式f(x)1的解集為_7(xx·綿陽市一診)某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該產(chǎn)品生產(chǎn)總成本C與產(chǎn)量q(qN*)的函數(shù)關(guān)系式為C1004q，銷售單價(jià)p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p25q.要使每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)最大，則產(chǎn)量q_.8已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a2b1，則a24b2的最小值為_9設(shè)集合A為函數(shù)yln(x22x8)的定義域，集合B為函數(shù)yx的值域，集合C為不等式(ax)(x4)0的解集(1)求AB；(2)若CRA，求a的取值范圍10運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米(按交通法規(guī)限制50x100)(單位：千米/小時(shí))假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車每小時(shí)耗油(2)升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值B組能力提高11(xx·陜西)設(shè)f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是()Aqrp BqrpCprq Dprq12(xx·課標(biāo)全國)若x，y滿足約束條件則的最大值為_13(xx·浙江)若實(shí)數(shù)x，y滿足x2y21，則|2xy2|6x3y|的最小值是_14圖(1)是某斜拉式大橋圖片，為了了解橋的一些結(jié)構(gòu)情況，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組將大橋的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了簡(jiǎn)化，取其部分可抽象成如圖(2)所示的模型，其中橋塔AB，CD與橋面AC垂直，通過測(cè)量得知AB50 cm，AC50 cm，當(dāng)P為AC中點(diǎn)時(shí)，BPD45°.(1)求CD的長(zhǎng)；(2)試問點(diǎn)P在線段AC的何處時(shí)，BPD達(dá)到最大？學(xué)生用書答案精析第4講不等式與線性規(guī)劃高考真題體驗(yàn)1C由題意得化簡(jiǎn)得解得所以f(1)c6，所以0<c63，解得6<c9，故選C.2B不等式組所表示的可行域如下圖所示，由z3x2y得yx，依題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線l：yx經(jīng)過A時(shí)，z取得最小值即zmin3×12×，故選B.3B令x1，y2，z3，a1，b2，c3.A項(xiàng)：axbycz14914；B項(xiàng)：azbycx34310；C項(xiàng)：aybzcx26311；D項(xiàng)：aybxcz22913.故選B.43解析a，b0，ab5，()2ab42ab4()2()2ab4ab418，當(dāng)且僅當(dāng)a，b時(shí)，等號(hào)成立，則3，即最大值為3.熱點(diǎn)分類突破例1(1)D(2)C解析(1)由已知條件0<10x<，解得x<lglg 2.(2)由題意可知f(x)f(x)即(x2)(axb)(x2)(axb)，(2ab)x0恒成立，故2ab0，即b2a，則f(x)a(x2)·(x2)又函數(shù)在(0，)單調(diào)遞增，所以a>0.f(2x)>0即ax(x4)>0，解得x<0或x>4.故選C.跟蹤演練1(1)(2)(，e2)解析(1)由x22ax8a2<0，得(x2a)·(x4a)<0，因?yàn)閍>0，所以不等式的解集為(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.(2)|f(1ln x)|<1，1<f(1ln x)<1，f(3)<f(1ln x)<f(0)，又f(x)在R上為減函數(shù)，0<1ln x<3，1<ln x<2，<x<e2.例2(1)C(2)B解析(1)ab，3(y1)2x0，即2x3y3.x>0，y>0，()·(2x3y)(66)(122×6)8.當(dāng)且僅當(dāng)3y2x時(shí)取等號(hào)(2)2x2(xa)2a2·2a42a，由題意可知42a7，得a，即實(shí)數(shù)a的最小值為，故選B.跟蹤演練2(1)4(2)4解析(1)log2a·log2(2b)log2a·(1log2b)2224，當(dāng)且僅當(dāng)log2a1log2b，即a2b時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)a4，b2.(2)易知圓x2y22x4y10的半徑為2，圓心為(1,2)，因?yàn)橹本€2axby20(a>0，b>0)被圓x2y22x4y10截得的弦長(zhǎng)為4，所以直線2axby20(a>0，b>0)過圓心，把圓心坐標(biāo)代入得：ab1，所以()(ab)24，當(dāng)且僅當(dāng)，ab1，即ab時(shí)等號(hào)成立例3(1)D(2)D解析(1)可行域如圖所示目標(biāo)函數(shù)化為yxz，當(dāng)直線yxz過點(diǎn)A(0,1)時(shí)，z取得最大值2.(2)如圖，由yaxz知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當(dāng)a>0時(shí)，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a2；當(dāng)a<0時(shí)，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a1.跟蹤訓(xùn)練3C依題意，不等式組所表示的可行域如圖所示(陰影部分)，觀察圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z2xy過點(diǎn)B(a，a)時(shí)，zmin2aa3a；因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z2xy的最小值為9，所以3a9，解得a3，故選C.高考押題精練1D因?yàn)辄c(diǎn)A(a，b)在第一象限，且在直線x2y1上，所以a>0，b>0，且a2b1，所以ab·a·2b·()2，當(dāng)且僅當(dāng)a2b，即a，b時(shí)，“”成立故選D.2C畫出不等式組所表示的可行域?yàn)槿鐖D所示的ECD的內(nèi)部(包括邊界)，其中E(2,6)，C(2,0)，D(0,2)目標(biāo)函數(shù)z·xy.令直線l：yxz，要使直線l過可行域上的點(diǎn)且在y軸上的截距z取得最大值，只需直線l過點(diǎn)E(2,6)此時(shí)z取得最小值，且最小值z(mì)min264.故選C.3x|14x<2或x解析由題意得或解得x或14x<2，故不等式f(x)4的解集為x|14x<2或x41,2解析設(shè)y，因?yàn)閥在x2,6上單調(diào)遞減，即ymin，故不等式|a2a|對(duì)于x2,6恒成立等價(jià)于|a2a|恒成立，化簡(jiǎn)得解得1a2，故a的取值范圍是1,2二輪專題強(qiáng)化練答案精析第4講不等式與線性規(guī)劃1B若a>b，取c0，則ac2>bc2不成立，排除A；取a2，b1，c1，d2，則選項(xiàng)C不成立，排除C；取a2，b1，c1，d1，則選項(xiàng)D不成立，排除D.選B.2C根據(jù)題意，由于不等式x2x<對(duì)任意a，b(0，)恒成立，則x2x<()min，22，x2x<2，求解此一元二次不等式可知其解集為(2,1)3B不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示易知A(2,0)，由得B(1,1)由zaxy，得yaxz.當(dāng)a2或a3時(shí)，zaxy在O(0,0)處取得最大值，最大值為zmax0，不滿足題意，排除C，D選項(xiàng)；當(dāng)a2或3時(shí)，zaxy在A(2,0)處取得最大值，2a4，a2，排除A，故選B.4D由題意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)()77274，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故選D.5A方法一令f(x)x2ax2，則f(0)2.若0，即a0時(shí)，要使關(guān)于x的不等式x2ax2>0在區(qū)間1,5上有解，則應(yīng)滿足f(5)>0，解得a>.所以a0；若>0即a<0時(shí)，要使關(guān)于x的不等式x2ax2>0在區(qū)間1,5上有解，也應(yīng)滿足f(5)>0，解得a>.所以<a<0.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，)方法二不等式x2ax2>0在1,5上有解可轉(zhuǎn)化為a>x在1,5上有解，設(shè)f(x)x，x1,5，易知f(x)為減函數(shù)，f(x)minf(5)，a>f(x)min，故a的取值范圍是(，)6(，03，)解析當(dāng)x>0時(shí)，由log3x1可得x3，當(dāng)x0時(shí)，由()x1可得x0，不等式f(x)1的解集為(，03，)740解析每件產(chǎn)品的利潤(rùn)y25q29()29224，當(dāng)且僅當(dāng)且q>0，即q40時(shí)取等號(hào)8.解析方法一a24b28.當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)等號(hào)成立方法二因?yàn)?a2b2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)取等號(hào)又因?yàn)閍24b22a·(2b)4ab.令tab，所以f(t)4t在(0，上單調(diào)遞減，所以f(t)minf().此時(shí)a2b.9解(1)由x22x8>0得4<x<2，即A(4,2)yx(x1)1，當(dāng)x1>0，即x>1時(shí)y211，此時(shí)x0，符合要求；當(dāng)x1<0，即x<1時(shí)，y213，此時(shí)x2，符合要求所以B(，31，)，所以AB(4，31,2)(2)RAx|x4或x2(ax)(x4)0有兩根x4或x.當(dāng)a>0時(shí)，Cx|4x，不可能CRA；當(dāng)a<0時(shí)，Cx|x4或x，若CRA，則2，a2，a<0.故a的取值范圍為，0)10解(1)行車所用時(shí)間為t(h)，y×2×(2)14×，x50,100所以，這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是yx，x50,100(2)yx26，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x18時(shí)，上述不等式中等號(hào)成立故當(dāng)x18時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為26元11C0ab，又f(x)ln x在(0，)上為增函數(shù)，故ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln aln bln(ab)f()p.故prq.選C.123解析畫出可行域如圖陰影所示，表示過點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的直線的斜率，點(diǎn)(x，y)在點(diǎn)A處時(shí)最大由得A(1,3)的最大值為3.133解析滿足x2y21的實(shí)數(shù)x，y表示的點(diǎn)(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部f(x，y)|2xy2|6x3y|2xy2|6x3y直線y2x2與圓x2y21交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示，易得B.設(shè)z14x2y，z283x4y，分別作直線yx和yx并平移，則z14x2y在點(diǎn)B取得最小值為3，z283x4y在點(diǎn)B取得最小值為3，所以|2xy2|6x3y|的最小值是3.14解(1)設(shè)BPA，DPC，CDh cm，則tan 2，tan ，由題意得，tan()1，解得h75.故CD的長(zhǎng)為75 cm.(2)設(shè)APx cm(0<x<50)，則tan ，tan ，tanBPDtan().x250x50×75>0，tanBPD>0，即BPD為銳角令tx100100,150，則xt100，tanBPD，tanBPD，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t25100,150時(shí)等號(hào)成立，AP(25100)cm時(shí)，BPD最大