2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第25講 平面向量基本定理及坐標表示練習(xí) 新人教A版考情展望1.考查用平面向量的坐標運算進行向量的線性運算.2.考查應(yīng)用平面向量基本定理進行向量的線性運算.3.以向量的坐標運算及共線向量定理為載體，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一組基底二、平面向量的坐標運算及向量平行的坐標表示1平面向量的坐標運算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，則a±b(x1±x2，y1±y2)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.(3)若a(x，y)，R，則a(x，y)2向量平行的坐標表示(1)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件為x1y2x2y10.(2)三點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共線的充要條件為(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)0.共線向量的坐標表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因為x2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.1下列各組向量：e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e2(，)，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量基底的是()ABCD【解析】 中，e22e1，e1與e2共線；中e14e2，e1與e2共線，故選A.【答案】A2若a(3,2)，b(0，1)，則2ba的坐標是()A(3，4) B(3,4)C(3,4) D(3，4)【解析】 2ba2(0，1)(3,2)(3，4)【答案】D3已知a(4,5)，b(8，y)且ab，則y等于()A5 B10 C. D15【解析】 ab，4y400，y10.【答案】B4在平行四邊形ABCD中，若(1,3)，(2,5)，則_，_.【解析】 (2,5)(1,3)(1,2)，(1,2)(1,3)(0，1)【答案】(1,2)(0，1)5(xx·廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個命題：給定向量b，總存在向量c，使abc；給定向量b和c，總存在實數(shù)和，使ab c；給定單位向量b和正數(shù)，總存在單位向量c和實數(shù)，使ab c；給定正數(shù)和，總存在單位向量b和單位向量c，使ab c.上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是()A1B2C3D4【解析】 顯然命題是正確的對于，以a的終點作長度為的圓，這個圓必須和向量b有交點，這個不一定能滿足，是錯的，對于命題，若1，|a|2時，與|a|bc|b|c|2矛盾，則不正確【答案】B6(xx·北京高考)向量a，b，c在正方形圖421網(wǎng)格中的位置如圖421所示，若cab(，R)，則_.【解析】 以向量a的終點為原點，過該點的水平和豎直的網(wǎng)格線所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設(shè)一個小正方形網(wǎng)格的邊長為1，則a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)由ca b，即(1，3)(1,1)(6,2)，得61，23，故2，則4.【答案】4考向一 074平面向量基本定理及其應(yīng)用(1)(xx·長春模擬)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點若，其中，R，則_.圖422(2)如圖422，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，設(shè)a，b，若2，則_(用向量a和b表示)【思路點撥】(1)以，為基底分別表示，根據(jù)平面向量基本定理列方程組求解(2)2借助三角形法則表示.【嘗試解答】(1)選擇，作為平面向量的一組基底，則，又()()，于是得解得所以.(2)由2知，ABDC且|2|，從而|2|.()(ab)，b(ab)ab.【答案】(1)(2)a規(guī)律方法11.解答本例(1)的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量基本定理列出關(guān)于，的方程組2(1)利用平面向量基本定理表示向量時，要選擇一組恰當?shù)幕讈肀硎酒渌蛄?，即用特殊向量表示一般向量常與待定系數(shù)法、方程思想緊密聯(lián)系在一起解決問題(2)利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用三角形法則進行向量的加減運算，在解題時，注意方程思想的運用對點訓(xùn)練(xx·江蘇高考)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC.若12(1，2為實數(shù))，則12的值為_【解析】 由題意()，于是1，2，故12.【答案】考向二 075平面向量的坐標運算已知O(0,0)，A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b，(1)求：3ab3c；(2)求滿足ambnc的實數(shù)m，n；(3)求M、N的坐標及向量的坐標【思路點撥】利用向量的坐標運算及向量的坐標與其起點、終點坐標的關(guān)系求解【嘗試解答】a(3(2)，14)(5，5)，b(33，4(1)(6，3)，c(2(3)，4(4)(1,8)(1)3ab3c(15，15)(6，3)(3,24)(1563，15324)(6，42)(2)由ambnc，得(5，5)(6m，3m)(n,8n)(6mn，3m8n)解得(3)3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)規(guī)律方法21.向量的坐標運算主要是利用向量加減、數(shù)乘運算的法則進行.若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標，注意方程思想的應(yīng)用.2.平面向量的坐標運算的引入為向量提供了新的語言“坐標語言”，實質(zhì)是“形”化為“數(shù)”.向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來.對點訓(xùn)練如圖423，已知平行四邊形的三個頂點坐標分別為A(4,3)，B(3，1)，C(1，2)，求第四個頂點D的坐標圖423【解】設(shè)頂點D(x，y)若平行四邊形四個頂點的順序為ABCD，則(34，13)(1，4)，(1x，2y)由，得解得故第四個頂點D的坐標為(2,2)；若平行四邊形四個頂點的順序為ACBD，則(14，23)(3，5)，(3x，1y)由，得解得故第四個頂點D的坐標為(6,4)；若平行四邊形四個頂點的順序為ABDC，則(34，13)(1，4)，(x1，y2)由，得解得故第四個頂點D的坐標為(0，6)綜上，第四個頂點D的坐標是(2,2)或(6,4)或(0，6)考向三 076平面向量共線的坐標表示(1)設(shè)向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為_(2)(xx·青島期中)向量a，b(cos ，1)，且ab，則cos 2()AB.CD.【思路點撥】(1)根據(jù)a與b的關(guān)系，設(shè)出a的坐標，再根據(jù)|a|2求解；(2)由向量平行關(guān)系的坐標表示列出等式，求出sin 后，再利用二倍角公式進行求解【嘗試解答】(1)a與b的方向相反且b(2,1)，設(shè)ab(2，)，0，又|a|2，42220，即24，又0，2，因此a(4，2)(2)a，b(cos ，1)，又由ab可知tan cos ，即sin ，cos 212sin21.【答案】(1)(4，2)(2)D規(guī)律方法31.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10；(2)若ab(a0)，則ba.2向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應(yīng)成比例來求解對點訓(xùn)練(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實數(shù)，(ab)c，則()A.B.C1D2(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若點A、B、C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是_【解析】 (1)a(1,2)，b(1,0)，ab(1,2)(1,0)(1，2)，由于(ab)c，且c(3,4)，4(1)60，解得.(2)因為(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m)由于點A、B、C能構(gòu)成三角形，所以與不共線，而當與共線時，有，解得m，故當點A、B、C能構(gòu)成三角形時實數(shù)m滿足的條件是m.【答案】(1)B(2)m思想方法之十二待定系數(shù)法在向量運算中的應(yīng)用根據(jù)向量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法列出一個含有待定系數(shù)的恒等式，然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)求出各待定系數(shù)的值或消去這些待定系數(shù)，找出原來那些系數(shù)之間的關(guān)系，從而使問題得到解決1個示范例1個對點練如圖424所示，在OAB中，AD與BC交于點M，設(shè)a，圖424b，利用a和b表示向量.【解】設(shè)manb，則manba(m1)anb.ba.因為A、M、D三點共線，所以存在實數(shù)，使，即(m1)anbab.所以消去，得m2n1，同理manbaanb，ba，因為C、M、B三點共線，所以存在實數(shù)t，使t，即anbt.所以消去t，得4mn1，聯(lián)立，得m，n，所以ab.圖425如圖425所示，M是ABC內(nèi)一點，且滿足條件230，延長CM交AB于N，令a，試用a表示.【解】因為，所以由230，得()2()30，所以3230.又因為A，N，B三點共線，C，M，N三點共線，由平面向量基本定理，設(shè)，所以3230.所以(2)(33)0.由于和不共線，由平面向量基本定理，得所以所以，22a.