2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第13講 導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算練習(xí) 新人教A版考情展望1.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點(diǎn)處的切線方程.2.考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)計(jì)算一、導(dǎo)數(shù)的概念1函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)：(1)定義：稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率 為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)幾何意義：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))相應(yīng)地，切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)2函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)：稱函數(shù)f(x) 為f(x)的導(dǎo)函數(shù)二、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)xn(nQ*)f(x)n·xn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1f(x)±g(x)f(x)±g(x)；2f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；3.(g(x)0)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則特例及推廣(1)af(x)bg(x)af(x)bg(x)，其中a，b為常數(shù)(2)(f(x)0)(3)導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則，可由兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形，即u(x)±v(x)±±(x)u(x)±v(x)±±(x)四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)uv(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，yf(u)在點(diǎn)u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)fv(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且f(x)f(u)·v(x)，即yxyu·ux.“分解求導(dǎo)回代”法求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)分解適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系，即說(shuō)明函數(shù)關(guān)系yf(u)，ug(x)；(2)求導(dǎo)分步求導(dǎo)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo))，要特別注意中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)，即先求yu，再求ux；(3)回代計(jì)算yu·ux，并把中間變量代回原自變量(一般是x)的函數(shù)1某汽車(chē)的路程函數(shù)是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，則當(dāng)t2 s時(shí)，汽車(chē)的加速度是()A14 m/s2B4 m/s2C10 m/s2 D4 m/s2【解析】由題意知，汽車(chē)的速度函數(shù)為v(t)s(t)6t2gt，則v(t)12tg，故當(dāng)t2 s時(shí)，汽車(chē)的加速度是v(2)12×21014 m/s2.【答案】A2函數(shù)yxcos xsin x的導(dǎo)數(shù)為()Axsin x Bxsin xCxcos x Dxcos x【解析】f(x)cos xxsin xcos xxsin x.【答案】B3已知f(x)xln x，若f(x0)2，則x0等于()Ae2 BeC. Dln 2【解析】f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.【答案】B4曲線yx311在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()A9 B3C9 D15【解析】yx311，y3x2，y|x13，曲線yx311在點(diǎn)P(1,12)處的切線方程為y123(x1)令x0，得y9.【答案】C5(xx·江西高考)若曲線yx1(R)在點(diǎn)(1,2)處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則_.【解析】因?yàn)閥·x1，所以在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率k，則切線方程為y2(x1)又切線過(guò)原點(diǎn)，故02(01)，解得2.【答案】26(xx·廣東高考)若曲線ykxln x在點(diǎn)(1，k)處的切線平行于x軸，則k_.【解析】函數(shù)ykxln x的導(dǎo)函數(shù)為yk，由導(dǎo)數(shù)y|x10，得k10，則k1.【答案】1考向一 036導(dǎo)數(shù)的計(jì)算求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yexsin x；(2)yx；(3)yxsin cos ；(4)y.【思路點(diǎn)撥】(1)利用積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求解，(2)(3)先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)，(4)利用商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求解【嘗試解答】(1)y(ex)sin xex(sin x)exsin xexcos x.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)y.規(guī)律方法11.本例在解答過(guò)程易出現(xiàn)商的求導(dǎo)中，符號(hào)判定錯(cuò)誤.2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法(1)連乘積的形式：先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo).(2)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo).(3)復(fù)雜公式：通過(guò)分子上湊分母，化為簡(jiǎn)單分式的和、差，再求導(dǎo).(4)復(fù)合函數(shù)：確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).(5)不能直接求導(dǎo)的：適當(dāng)恒等變形，轉(zhuǎn)化為能求導(dǎo)的形式再求導(dǎo).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(1)；(2)y3xexln xe；(3)ye2x.【解】(1)y(1)2xx，yxx.(2)y(3x)ex3x(ex)3xexln 33xex3xexln(3e).(3)y(3x)(3x)e2x(2x)(3x)2e2x.考向二 037導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用設(shè)函數(shù)f(x)ax，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線yf(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x0和直線yx所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值【思路點(diǎn)撥】(1)(2)【嘗試解答】(1)方程7x4y120可化為yx3.當(dāng)x2時(shí)，y.又f(x)a，于是，解得，故f(x)x.(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線yf(x)上任一點(diǎn)，由y1知曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得y，從而得切線與直線x0的交點(diǎn)坐標(biāo)為.令yx得yx2x0，從而得切線與直線yx的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形的面積為·|2x0|6.故曲線yf(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.規(guī)律方法21.切點(diǎn)(2，f(2)既在切線上，又在曲線f(x)上，從而得到關(guān)于a，b的方程組.2.在求切線方程時(shí)，應(yīng)先判斷已知點(diǎn)Q(a，b)是否為切點(diǎn)，若已知點(diǎn)Q(a，b)不是切點(diǎn)，則應(yīng)求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，其求法如下：(1)設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)P(x0，y0)；(2)解方程組(3)利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知f(x)ln x，g(x)x3x2mxn，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切于點(diǎn)(1,0)(1)求直線l的方程；(2)求函數(shù)g(x)的解析式【解】(1)l是f(x)ln x在點(diǎn)(1,0)處的切線，其斜率kf(1)1，因此直線l的方程為yx1.(2)又l與g(x)相切于點(diǎn)(1,0)，g(1)1，且g(1)0.因此所以函數(shù)g(x)x3x2x.易錯(cuò)易誤之四求切線方程“在”、“過(guò)”兩重天1個(gè)示范例1個(gè)防錯(cuò)練已知曲線yx3上一點(diǎn)P，求過(guò)點(diǎn)P的切線方程【解】(1)當(dāng)P為切點(diǎn)時(shí)，由yx2，得y|x24，即過(guò)點(diǎn)P的切線方程的斜率為4.則所求的切線方程是y4(x2)，即12x3y160.(2)當(dāng)P點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為Q(x0，y0)，此處誤認(rèn)為點(diǎn)P即為切點(diǎn)，而直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，出現(xiàn)此種錯(cuò)誤的原因是審題不清，不明確導(dǎo)致的幾何意義.則切線方程為yxx(xx0)，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)P，把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入以上切線方程，求得x01或x02(即點(diǎn)P，舍去)，所以切點(diǎn)為Q，即所求切線方程為3x3y20；綜上所述，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為12x3y160或3x3y20.【防范措施】(1)“在”曲線上一點(diǎn)處的切線問(wèn)題，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入點(diǎn)的橫坐標(biāo)得到斜率.(2)“過(guò)”曲線上一點(diǎn)的切線問(wèn)題，此時(shí)該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，求切點(diǎn)坐標(biāo).(xx·蘭州模擬)若存在過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與曲線yx3和yax2x9都相切，則a等于()A1或B1或C或 D或7【解析】設(shè)過(guò)(1,0)的直線與yx3相切于點(diǎn)(x0，x)，所以切線方程為yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切線上，則x00或x0，當(dāng)x00時(shí)，由y0與yax2x9相切可得a，當(dāng)x0時(shí)，由yx與yax2x9相切可得a1，所以選A.【答案】A