2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第26講 平面向量的數(shù)量積練習(xí) 新人教A版考情展望1.以客觀題的形式考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，向量垂直條件與數(shù)量積的性質(zhì).2.以平面向量數(shù)量積為工具，與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題，主要考查運(yùn)算能力及數(shù)形結(jié)合思想一、平面向量的數(shù)量積1數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，則向量a與b的數(shù)量積是數(shù)量|a|b|cos ，記作a·b，即a·b|a|b|cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2向量的投影：設(shè)為a與b的夾角，則向量a在b方向上的投影是|a|cos ；向量b在a方向上的投影是|b|cos .3數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1交換律：a·bb·a；2數(shù)乘結(jié)合律：(a)·b(a·b)a·(b)；3分配律：a·(bc)a·ba·c.三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|數(shù)量積a·b|a|b|cos a·bx1x2y1y2夾角cos cos ab的充要條件a·b0x1x2y1y20|a·b|與|a|b|的關(guān)系|a·b|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)|x1x2y1y2|·1已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，則(b·c)a等于()A(26，78)B(28，42)C52 D78【解析】 b·c4×26×326，(b·c)a(26，78)【答案】A2已知向量a、b滿足|a|1，|b|4，且a·b2，則a與b的夾角為()A.B.C.D.【解析】 向量a、b滿足|a|1，|b|4，且a·b2，設(shè)a與b的夾角為，則cos ，.【答案】C3已知向量a，b和實(shí)數(shù)，下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是()A|a| B|a·b|a|·|b|C(a·b)a·b D|a·b|a|·|b|【解析】 |a·b|a|b|cos |，故B錯(cuò)誤【答案】B4已知向量a，b滿足a·b0，|a|1，|b|2，則|2ab|()A0 B2 C4 D8【解析】 |a|1，|b|2，a·b0|2ab|2.【答案】B5(xx·湖北高考)已知點(diǎn)A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A. B.C D【解析】 由已知得(2,1)，(5,5)，因此在方向上的投影為.【答案】A6(xx·課標(biāo)全國(guó)卷)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，cta(1t)b，若b·c0，則t_.【解析】 |a|b|1，a，b60°.cta(1t)b，b·cta·b(1t)b2t×1×1×(1t)×11t1.b·c0，10，t2.【答案】2考向一 077平面向量數(shù)量積的運(yùn)算(1)(xx·浙江高考)在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM3，BC10，則·_.(2)(xx·北京高考)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為_；·的最大值為_【思路點(diǎn)撥】(1)把，用，或表示；(2)建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示或用數(shù)量積的幾何意義求解【嘗試解答】(1)如圖所示，·()·()22|2|292516.(2)法一如圖所示，以AB，AD所在的直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由于正方形邊長(zhǎng)為1，故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)又E在AB邊上，故設(shè)E(t,0)(0t1)則(t，1)，(0，1)故·1.又(1,0)，·(t，1)·(1,0)t.又0t1，·的最大值為1.法二ABCD是正方形，.··|cosEDA|cosEDA|·|21.又E點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，故為點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，在上的投影最大，此時(shí)·|cos 45°×1.所以·的最大值為1.【答案】(1)16(2)11規(guī)律方法11.平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式，一是依據(jù)長(zhǎng)度與夾角，二是利用坐標(biāo)來計(jì)算.2.要有“基底”意識(shí)，關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量，如本例(1)中用、表示、等.注意向量夾角的大小，以及夾角0°，90°，180°三種特殊情形.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(xx·江西高考)設(shè)e1，e2為單位向量， 且e1，e2的夾角為，若ae13e2，b2e1，則向量a在b方向上的投影為_(2)(xx·濟(jì)南模擬)在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，設(shè)2，3，則·_.【解析】 (1)由于ae13e2，b2e1，所以|b|2，a·b(e13e2)·2e12e6e1·e226×5，所以a在b方向上的投影為|a|·cosa，b.(2)2，3，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CA的三等分點(diǎn)，以向量，作為基向量，()，·()·()22·，又|1，且，.·|cos .【答案】(1)(2)考向二 078平面向量的夾角與垂直(1)(xx·安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為_(2)(xx·山東高考)已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若，且，則實(shí)數(shù)的值為_【思路點(diǎn)撥】(1)由|a|a2b|平方得出a·b，然后代入夾角公式cosa，b求解(2)把轉(zhuǎn)化為，再通過·0求解【嘗試解答】(1)由|a|a2b|，兩邊平方，得|a|2(a2b)2|a|24|b|24a·b，所以a·b|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.(2)，·0.又，()()0，即(1)·220，(1)|cos 120°940.(1)×3×2×940.解得.【答案】(1)(2)規(guī)律方法21.當(dāng)a，b以非坐標(biāo)形式給出時(shí)，求a，b的關(guān)鍵是借助已知條件求出|a|、|b|與a·b的關(guān)系.2.(1)非零向量垂直的充要條件：aba·b0|ab|ab|x1x2y1y20.(2)本例(2)中常見的錯(cuò)誤是不會(huì)借助向量減法法則把表示成，導(dǎo)致求解受阻.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知a，b都是非零向量，且|a|b|ab|，則a與ab的夾角為_(2)已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量ab與向量kab垂直，則k_.【解析】 (1)由|a|b|ab|得，|a|2|b|2，|b|2a22a·bb2，所以a·ba2.而|ab|2|a|22a·b|b|22|a|22×|a|23|a|2，所以|ab|a|.設(shè)a與ab的夾角為，則cos ，由于0°180°，所以30°.(2)a與b是不共線的單位向量，|a|b|1.又kab與ab垂直，(ab)·(kab)0，即ka2ka·ba·bb20.k1ka·ba·b0.即k1kcos cos 0.(為a與b的夾角)(k1)(1cos )0.又a與b不共線，cos 1，k1.【答案】(1)30°(2)1考向三 079平面向量的模及其應(yīng)用(1)(xx·威海模擬)設(shè)x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab|()A.B.C2D10(2)(xx·鄭州模擬)已知(cos ，sin )，(1sin ，1cos )，其中0，求|的取值范圍及|取得最大值時(shí)的值【思路點(diǎn)撥】(1)由ac求x的值，由bc求y的值，求ab，求|ab|.(2)【嘗試解答】(1)a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，由ac得a·c0，即2x40，x2.由bc得1×(4)2y0，y2.a(2,1)，b(1，2)ab(3，1)，|ab|.【答案】B(2)(1sin cos ，1cos sin )，|P|2(1sin cos )2(1cos sin )244sin cos 42sin 2.0，1sin 21，|22,6，|，當(dāng)sin 21，即時(shí)，|取得最大值規(guī)律方法31.x1y2x2y10與x1x2y1y20不同，前者是a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)共線的充要條件，而后者是它們垂直的充要條件.2.求解向量的長(zhǎng)度問題一般可以從兩個(gè)方面考慮：(1)利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解；(2)利用公式|a|及(a±b)2|a|2±2a·b|b|2把長(zhǎng)度問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算問題解決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(xx·安徽高考)設(shè)向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，則|a|_.(2)已知向量a(sin ，1)，b(1，cos )，.若ab，則_.若|ab|的最大值為1，則_.【解析】 (1)ac(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(ac)·b(3,3m)·(m1,1)6m30，m.a(1，1)，|a|.(2)由ab得sin cos 0，tan 1.，.|ab|a22a·bb2sin212sincos2132sin.，.當(dāng)，即時(shí)|ab|2最大為32，而1.|ab|取最大值1時(shí)，.【答案】(1)(2)易錯(cuò)易誤之九忽略向量共線條件致誤1個(gè)示范例1個(gè)防錯(cuò)練(xx·廣州模擬)已知a(1,2)，b(1,1)，且a與ab的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_【解析】 a與ab均為非零向量，且夾角為銳角，a·(ab)0，即(1,2)·(1，2)0，(1)2(2)0，當(dāng)a與 ab共線時(shí)，存在實(shí)數(shù)m，使abma，此處在求解時(shí)，常因忽略“a與ab共線”的情形致誤，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是誤認(rèn)為a·b0與a，b為銳角等價(jià).即(1，2)m(1,2)，0，即當(dāng)0時(shí)，a與ab共線綜上可知，的取值范圍為.【防范措施】 1.a，b的夾角為銳角并不等價(jià)于a·b0，a·b0等價(jià)于a與b夾角為銳角或0°.2.依據(jù)兩向量的夾角求向量坐標(biāo)中的參數(shù)時(shí)，要注意0°或180°的情形.其中cos 0°10，cos 180°10.)已知a(2，1)，b(，3)，若a與b的夾角為鈍角，則的取值范圍是_【解析】 由a·b0，即230，解得.又當(dāng)ab時(shí)，6，故所求的范圍為且6.【答案】