2022年高中數(shù)學(xué) 階段性檢測(cè) 北師大版選修1-1 一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．命題“若x＝2，則x2＋x－6＝0”的原命題、逆命題、否命題、逆否命題四種命題中，真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0　　 B．2　　 C．3　　 D．4 [答案]　B [解析]　顯然x＝2是方程x2＋x－6＝0的根，原命題為真命題；逆命題為“若x2＋x－6＝0，則x＝2”，因?yàn)榉匠踢€有另一根－3，故為假命題；根據(jù)互為逆否的兩個(gè)命題同真假，可知逆否命題為真命題，否命題為假命題，因此真命題的個(gè)數(shù)為2. 2．已知命題p：?x2>x1,2x2>2x1，則¬p是(　　) A．?x2>x1,2 x2≤2 x1 B．?x2>x1,2 x2≤2 x1 C．?x2>x1,2 x2<2 x1 D．?x2>x1,2 x2<2 x1 [答案]　B [解析]　命題p為全稱命題，否定應(yīng)為特稱命題，故為¬p：?x2>x1,2 x2≤2 x1，故選B. 3．(xx·浙江文，2)設(shè)四邊形ABCD的兩條對(duì)角線為AC、BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　A [解析]　菱形的對(duì)角線互相垂直，對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形．故選A. 4．若方程－＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則下列關(guān)系成立的是(　　) A.> B．< C.> D．< [答案]　A [解析]　方程－＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓， ∴b<0，∴>. 5．以橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是(　　) A.－y2＝1 B．y2－＝1 C.－＝1 D．－＝1 [答案]　B [解析]　由題意知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且a＝1，c＝2， ∴b2＝3，雙曲線方程為y2－＝1. 6．已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A、B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為(　　) A．18 B．24 C．36 D．48 [答案]　C [解析]　設(shè)拋物線為y2＝2px，則焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線x＝－，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到準(zhǔn)線距離為6，所以三角形面積為S＝×12×6＝36. 7．(xx·銀川一中檢測(cè))下列說(shuō)法正確的是(　　) A．命題“?x0∈R，x＋2x0＋3<0”的否定是：“?x∈R，x2＋2x＋3>0” B．若a∈R，則“<1”是“a>1”的必要不充分條件 C．若p∧q為假命題，p∨q為真命題，則¬p是真命題 D．若命題p：“?x∈R，sinx＋cosx≤”，則¬p是真命題 [答案]　B [解析]　A中，命題的否定應(yīng)為“?x∈R，x2＋2x＋3≥0”；易知B正確；C中，若p∧q為假命題，p∨q為真命題，則p，q中有一個(gè)是假命題，不能確定p是假命題；D中，?x∈R，sinx＋cosx＝sin(x＋)≤，因此p是真命題，¬p是假命題． 8．已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)A(－3,0)，并且與定圓B：(x－3)2＋y2＝64內(nèi)切，則動(dòng)圓的圓心P的軌跡是(　　) A．線段 B．直線 C．圓 D．橢圓 [答案]　D [解析]　如右圖，設(shè)動(dòng)圓P和定圓B內(nèi)切于M，則動(dòng)圓的圓心P到兩點(diǎn)，即定點(diǎn)A(－3,0)和定圓的圓心B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8.∴點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，故選D. 9．(xx·陜西工大附中四模)F1、F2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)．若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B． C. D． [答案]　D [解析]　如圖，由雙曲線的定義知，|AF2|－|AF1|＝2a， |BF1|－|BF2|＝2a，∴|AB|＝|BF1|－|AF1|＝|BF1|－|AF1|＋|AF2|－|BF2|＝(|BF1|－|BF2|)＋(|AF2|－|AF1|)＝4a， ∴|BF2|＝4a，|BF1|＝6a， 在△BF1F2中，∠ABF2＝60°， 由余弦定理，|BF1|2＋|BF2|2－|F1F2|2＝2|BF1|·|BF2|·cos60°， ∴36a2＋16a2－4c2＝24a2，∴7a2＝c2， ∵e>1，∴e＝＝，故選D. 10．命題p：關(guān)于x的方程x2＋ax＋2＝0無(wú)實(shí)根，命題q：函數(shù)f(x)＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，若“p且q”為假命題，“p或q”真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－2，1]∪[2，＋∞) B．(－2，2) C．(－2，＋∞) D．(－∞，2) [答案]　A [解析]　∵方程x2＋ax＋2＝0無(wú)實(shí)根， ∴△＝a2－8<0， ∴－2<a<2， ∴p：－2<a<2. ∵函數(shù)f(x)＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴a>1. ∴q：a>1. ∵p且q為假，p或q為真， ∴p與q一真一假． 當(dāng)p真q假時(shí)，－2<a≤1， 當(dāng)p假q真時(shí)，a≥2. 綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－2，1]∪[2，＋∞)． 二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，將正確答案填在題中橫線上) 11．給出命題：“若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像不過(guò)第四象限”．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是________． [答案]　1 [解析]　因?yàn)槊}：“若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像不過(guò)第四象限”是真命題，其逆命題“若函數(shù)y＝f(x)的圖像不過(guò)第四象限，則函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)”是假命題，如函數(shù)y＝x＋1.再由互為逆否命題真假性相同知，在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是1. 12．已知F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，M是這條拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P(3,1)是一個(gè)定點(diǎn)，則|MP|＋|MF|的最小值是____________． [答案]　4 [解析]　過(guò)P作垂直于準(zhǔn)線的直線，垂足為N，交拋物線于M，則|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|＝|PN|＝4為所求最小值． 13．(xx·天津和平區(qū)期末質(zhì)檢)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線y2＝2bx的焦點(diǎn)分成53兩段，則此雙曲線的離心率為________． [答案]　 [解析]　y2＝2bx的焦點(diǎn)為(，0)， －＝1的右焦點(diǎn)為(c,0)， 由題意可知：c－＝×2c，即c＝2b， 而e2＝()2＝＝＝＝，則 e＝. 14．已知拋物線y2＝4x，過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則y＋y的最小值為________． [答案]　32 [解析]　當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為x＝4，由，得y1＝－4，y2＝4，∴y＋y＝32. 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，其方程為y＝k(x－4)， 由，得ky2－4y－16k＝0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝－16， ∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32>32， 綜上可知y＋y≥32. ∴y＋y的最小值為32. 15．橢圓mx2＋ny2＝1與直線l：x＋y＝1交于M、N兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)的直線斜率為，則＝________. [答案]　 [解析]　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∴mx＋ny＝1 ① mx＋ny＝1 ② 又＝－1，∴①－②得：m－n·＝0， ∵＝＝， ∴m＝n，∴＝. 三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分) 16．設(shè)命題p：(4x－3)2≤1；命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解析]　設(shè)A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}， 易知A＝{x|≤x≤1}，B＝{x|a≤x≤a＋1}． 由p是q的充分不必要條件，即AB， 所以解得0≤a≤.經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)a＝0和a＝時(shí)均符合題意． 故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，]． 17．證明：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0. [證明]　原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．” 證明如下： 若a＋b<0，則a<－b，b<－a， 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)， ∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)． ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)， 即逆否命題為真命題． ∴原命題為真命題． 18．已知三點(diǎn)P(5,2)，F(xiàn)1(－6,0)，F(xiàn)2(6,0)． (1)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)點(diǎn)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)分別為P′，F(xiàn)′1，F(xiàn)′2，求以F′1，F(xiàn)′2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P′的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (3)求過(guò)(2)中的點(diǎn)P′的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． [答案]　(1)　＋＝1　(2)－＝1　(3)y2＝x或x2＝y(tǒng) [解析]　(1)由題意，可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，其半焦距c＝6. ∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝6， ∴a＝3，b2＝a2－c2＝45－36＝9. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)點(diǎn)P(5,2)，F(xiàn)1(－6,0)，F(xiàn)2(6,0)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)分別為P′(2,5)，F(xiàn)′1(0，－6)，F(xiàn)′2(0,6)， 設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a1>0，b1>0)，由題意知半焦距c1＝6. ∵2a1＝||P′F′1|－|P′F′2||＝|－|＝4， ∴a1＝2，b＝c－a＝36－20＝16. 故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. (3)設(shè)拋物線方程為y2＝2px或x2＝2p1y， ∵拋物線過(guò)P′(2,5)， ∴25＝4p或4＝10p1， ∴p＝或p1＝. ∴拋物線方程為y2＝x或x2＝y(tǒng). 19．(xx·韶關(guān)市曲江一中月考)設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,4)，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)． [答案]　(1)＋＝1　(2)(，－) [解析]　(1)將點(diǎn)(0,4)代入橢圓C的方程，得＝1，∴b＝4， 又e＝＝，則＝，∴1－＝，∴a＝5， ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)， 設(shè)直線與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y＝(x－3)代入橢圓方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0，由韋達(dá)定理得x1＋x2＝3，所以線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為＝，縱坐標(biāo)為(－3)＝－，即所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)． 20．(xx·康杰中學(xué)、臨汾一中、忻州一中、長(zhǎng)治二中四校聯(lián)考)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,1)，且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若＝2，求直線l的方程． [答案]　(1)＋＝1　(2)x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0 [解析]　(1)設(shè)橢圓方程為＋＝1，(a>b>0)， ∵c＝1，＝，∴a＝2，b＝， ∴所求橢圓方程為＋＝1. (2)由題意得直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y＝kx＋1，則由消去y得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴ 由＝2得x1＝－2x2， ∴消去x2得()2＝， 解得k2＝，∴k＝±， 所以直線l的方程為y＝±x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 21．(xx·鄭州市質(zhì)檢)已知平面上的動(dòng)點(diǎn)R(x，y)及兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(2,0)，直線RA、RB的斜率分別為k1、k2，且k1·k2＝－， 設(shè)動(dòng)點(diǎn)R的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的方程； (2)過(guò)點(diǎn)S(4,0)的直線與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥x軸，交曲線C于點(diǎn)Q. 求證：直線NQ過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)． [答案]　(1)＋＝1(y≠0)　(2)D(1,0) [解析]　(1)由題知x≠±2，且k1＝，k2＝，則·＝－， 整理得，曲線C的方程為＋＝1(y≠0)． (2)設(shè)NQ與x軸交于D(t,0)，則直線NQ的方程為x＝my＋t(m≠0)， 記N(x1，y1)，Q(x2，y2)，由對(duì)稱性知M(x2，－y2)， 由消去x得：(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0， 所以Δ＝48(3m2＋4－t2)>0，且y1,2＝， 故 由M、N、S三點(diǎn)共線知kNS＝kMS，即＝， 所以y1(my2＋t－4)＋y2(my1＋t－4)＝0， 整理得2my1y2＋(t－4)(y1＋y2)＝0， 所以＝0，即24m(t－1)＝0，t＝1， 所以直線NQ過(guò)定點(diǎn)D(1,0)．