第三講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考點(diǎn)一軌跡方程問(wèn)題求軌跡方程的常用方法(1)直接法：直接利用條件建立x、y之間的關(guān)系F(x，y)0；(2)定義法：滿足的條件恰適合某已知曲線的定義，用待定系數(shù)法求方程；(3)相關(guān)點(diǎn)法(代入法)：動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得出要求的軌跡方程；(4)參數(shù)法：將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)表示為第三個(gè)變量的函數(shù)，再消參得所求方程對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知點(diǎn)M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)B，過(guò)M，N與圓C相切的兩直線(非x軸)相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為()Ax21(x>1) Bx21(x<1)Cx21(x>0) Dx21(x>1)解析由題意知，|PM|PN|BM|BN|2，由雙曲線的定義可知點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，由c3，a1，知b28.所以點(diǎn)P的軌跡方程為x21(x>1)故選A.答案A2(2018·豫北四校聯(lián)考)已知ABC的頂點(diǎn)B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長(zhǎng)|CD|3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_解析設(shè)A(x，y)，由題意可知D.又|CD|3，229，即(x10)2y236，由于A、B、C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)A不能落在x軸上，即y0，點(diǎn)A的軌跡方程為(x10)2y236(y0)答案(x10)2y236(y0)3已知P是圓x2y24上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程是_解析設(shè)M(x，y)，則D(x,0)，由知P(x,2y)，點(diǎn)P在圓x2y24上，x24y24，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為y21.答案y214已知雙曲線y21的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x1，y1)是雙曲線上不同于A1、A2的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，則直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡方程為_解析由題設(shè)知|x1|>，A1(，0)，A2(，0)，則有直線A1P的方程為y(x)，直線A2Q的方程為y(x)，聯(lián)立，解得x0，且|x|<，因?yàn)辄c(diǎn)P(x1，y1)在雙曲線y21上，所以y1.將代入上式，整理得所求軌跡的方程為y21(x0，且x±)答案y21(x0且x±)快速審題看到求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題，想到定義法、直接法、代入法、參數(shù)法等方法的模型特征求軌跡方程的4步驟考點(diǎn)二弦長(zhǎng)問(wèn)題1直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)當(dāng)直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)時(shí)，|AB|x1x2| |y1y2|.2拋物線的過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)拋物線y22px(p>0)過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2p. 解(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，因?yàn)锳(，0)，B(，0)，所以直線PA的斜率為(x)，直線PB的斜率為(x)，又直線PA的斜率為k1，直線PB的斜率為，所以·k1·(x±)，整理得y21(x±)，所以點(diǎn)P的軌跡C的方程為y21(x±)(2)設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，在y軸上的截距為1的直線l的方程為ykx1，聯(lián)立方程得消去y，得(12k2)x24kx0，解得x10，x2，所以|MN|x1x2|，整理得k4k2200，即(k24)(k25)0，解得k±2.所以直線l的方程為2xy10或2xy10.(1)在涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題，可考慮用圓錐曲線的定義求解(2)弦長(zhǎng)計(jì)算公式：直線AB與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)|AB|·，其中k為弦AB所在直線的斜率對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知雙曲線y21的右焦點(diǎn)是拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，直線ykxm與拋物線相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)M(2,2)是線段AB的中點(diǎn)，求AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積解由已知可得雙曲線的右焦點(diǎn)為(2,0)因?yàn)樵擖c(diǎn)也為拋物線的焦點(diǎn)，所以p4.所以拋物線方程為y28x.又因?yàn)橹本€ykxm與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)所以將直線方程代入拋物線方程可得(kxm)28x，即k2x2(2km8)xm20，x1x2，x1x2.又因?yàn)镸(2,2)是線段AB的中點(diǎn)，所以x1x24，且22km，聯(lián)立解得k2，m2.所以|AB|x1x2|·2，O到AB的距離d.SAOB×2×2.考點(diǎn)三直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1解決直線與橢圓的位置關(guān)系的常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程(組)，解決相關(guān)問(wèn)題2涉及弦的中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可以采用“點(diǎn)差法”求解，設(shè)出弦端點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，分別代入圓錐曲線方程并作差，變形后可出現(xiàn)弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和直線AB的斜率證明(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.兩式相減，并由k得·k0.由題設(shè)知1，m，于是k.由題設(shè)得0<m<，故k<.(2)由題意得F(1,0)設(shè)P(x3，y3)，則(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及題設(shè)得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m<0.又點(diǎn)P在C上，所以m，從而P，|.于是|2.同理，|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差數(shù)列設(shè)該數(shù)列的公差為d，則2|d|x1x2|.將m代入得k1.所以l的方程為yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d|.所以該數(shù)列的公差為或.求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的方法在涉及直線與二次曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，一般不是求出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，而是設(shè)出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線方程和曲線方程聯(lián)立后所得方程的根的情況，使用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代入，這種設(shè)而不求的思想是解析幾何中處理直線和二次曲線相交問(wèn)題的最基本方法對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2018·長(zhǎng)春第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)E.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方)，若，且2<3，求直線l的斜率k的取值范圍解(1)根據(jù)題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，則解得所以橢圓C的方程為1.(2)根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k>0)，聯(lián)立方程，得消去x，得y2y90，144>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，又，所以y1y2.把代入得y1，y2，并結(jié)合可得y1y2，則，即2.因?yàn)?<3，所以2<，即<，且k>0，解得0<k.故直線l的斜率k的取值范圍是.1(2018·全國(guó)卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則·()A5 B6 C7 D8解析設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)由已知可得直線的方程為y(x2)，即xy2，由得y26y80.由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1y26，y1y28，x1x2(y1y2)45，x1x24，F(xiàn)(1,0)，·(x11)·(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y245188，故選D.答案D2(2017·全國(guó)卷)已知F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|DE|的最小值為()A16 B14 C12 D10解析由題意可知，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，直線AB的斜率存在且不為0，故設(shè)直線AB的方程為xmy1.由得y24my40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24m，y1y24，x1x2m(y1y2)24m22，|AB|AF|BF|x1x224m24.ABDE，直線DE的方程為xy1，|DE|4，|AB|DE|4m244484×2816，當(dāng)且僅當(dāng)m2，即m±1時(shí)，等號(hào)成立|AB|DE|的最小值為16.故選A.答案A3(2018·全國(guó)卷)已知點(diǎn)M(1,1)和拋物線C：y24x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若AMB90°，是k_.解析由題意可知C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以過(guò)焦點(diǎn)(1,0)，斜率為k的直線方程為x1，設(shè)A，B，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立得整理得y2y40，從而得y1y2，y1·y24.M(1,1)，AMB90°，·0，即·(y11)(y21)0，即k24k40，解得k2.答案24(2018·全國(guó)卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程解(1)由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k>0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k216>0，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設(shè)知8，解得k1(舍去)，或k1，因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.圓錐曲線的綜合問(wèn)題多以解答題的形式考查，常作為壓軸題出現(xiàn)在第20題的位置，一般難度較大直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡方程、定點(diǎn)、定值、最值、范圍以及存在性問(wèn)題都是考查的重點(diǎn)，常與向量、函數(shù)、不等式等知識(shí)結(jié)合解題時(shí)，常以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為突破口，利用設(shè)而不求、整體代換的技巧求解，要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的指導(dǎo)作用熱點(diǎn)課題16圓錐曲線中的切線問(wèn)題感悟體驗(yàn)1(2018·廣東茂名第一次綜合測(cè)試)從拋物線x24y的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)P引拋物線的兩條切線PA，PB，且A，B為切點(diǎn)，若直線AB的傾斜角為，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_解析解法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，1)，則kAB.因?yàn)閥1，y2，所以kAB，所以x1x2.由x24y，得y，所以y，所以切線PA的方程為yy1(xx1)，切線PB的方程為yy2(xx2)，即切線PA的方程為y(xx1)，即x2x1x4y0，切線PB的方程為y(xx2)，即x2x2x4y0.因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，1)同時(shí)在切線PA，PB上，所以x2x1x040，x2x2x040，所以x1，x2是方程x22x0x40的兩根，所以x1x22x0，所以x0.解法二：設(shè)P(x0，1)，則直線AB的方程為x0x4·，即yx1.又直線AB的傾斜角為，所以，所以x0.答案2已知一個(gè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(5,0)和F2(5,0)，且與直線xy60相切，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_解析解法一：設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，橢圓方程為1(a>b>0)，則切線為1，即y·x，對(duì)比xy60，可得解得代入切線方程xy60，可得a2b2360，由c5，得2a.即該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.解法二：設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，橢圓與直線xy60相切于P點(diǎn)，則|PF1|PF2|2a.在直線xy60上任取異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q，均有|QF1|QF2|>2a，可知點(diǎn)P是直線xy60上到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和最小的點(diǎn)若F1(5,0)關(guān)于直線xy60對(duì)稱的點(diǎn)為F1，則F1，P，F(xiàn)2三點(diǎn)在同一直線上，易得F1(6,11)，所以2a|PF1|PF2|PF1|PF2|F1F2|.即該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.答案專題跟蹤訓(xùn)練(二十六)一、選擇題1在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(1,0)，(1,0)，則滿足tanPAB·tanPBAm(m為非零常數(shù))的點(diǎn)P的軌跡方程是()Ax21(y0) Bx21Cx21(y0) Dx21解析設(shè)P(x，y)，由題意，得·m(m0)，化簡(jiǎn)可得x21(y0)答案C2(2018·重慶模擬)設(shè)A，P是橢圓y21上兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B(異于點(diǎn)P)，若直線AP，BP分別交x軸于點(diǎn)M，N，則·()A0 B1 C. D2解析依題意，將點(diǎn)P特殊化為點(diǎn)(，0)，于是點(diǎn)M，N均與點(diǎn)(，0)重合，于是有·2，故選D.答案D3已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1，兩式作差并化簡(jiǎn)變形得，而，x1x22，y1y22，所以a22b2，又a2b2c29，于是a218，b29.故選D.答案D4(2018·唐山市高三五校聯(lián)考)直線l與雙曲線C：1(a>0，b>0)交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，若l與OM(O是原點(diǎn))的斜率的乘積等于1，則此雙曲線的離心率為()A2 B. C3 D.解析設(shè)直線l與雙曲線C：1(a>0，b>0)的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1x2，則1(a>0，b>0)，1(a>0，b>0)，得，即，因?yàn)閘與OM的斜率的乘積等于1，所以1，雙曲線的離心率e ，故選B.答案B5(2018·鄭州市第三次質(zhì)量預(yù)測(cè))橢圓1的左焦點(diǎn)為F，直線xa與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)FMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，F(xiàn)MN的面積是()A. B. C. D.解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E，由橢圓的定義知FMN的周長(zhǎng)為L(zhǎng)|MN|MF|NF|MN|(2|ME|)(2|NE|)因?yàn)閨ME|NE|MN|，所以|MN|ME|NE|0，當(dāng)直線MN過(guò)點(diǎn)E時(shí)取等號(hào)，所以L4|MN|ME|NE|4，即直線xa過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)E時(shí)，F(xiàn)MN的周長(zhǎng)最大，此時(shí)SFMN×|MN|×|EF|××2，故選C.答案C6(2018·福建省高三質(zhì)檢)過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，且A，C位于x軸同側(cè)，若|AC|2|AF|，則|BF|等于()A2 B3 C4 D5解析設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)D，則由題意，知F(1,0)，D(1,0)，分別作AA1，BB1垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足分別為A1，B1，則有，所以|AA1|，故|AF|.又，即，亦即，解得|BF|4，故選C.答案C二、填空題7橢圓C：1的左、右頂點(diǎn)分別為M，N，點(diǎn)P在C上，且直線PN的斜率是，則直線PM的斜率為_解析設(shè)P(x0，y0)，則1，直線PM的斜率kPM，直線PN的斜率kPN，可得kPM·kPN，故kPM·3.答案38(2018·鄭州一模)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與C的左、右兩個(gè)分支分別交于點(diǎn)B，A.若ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為_解析ABF2為等邊三角形，|AB|AF2|BF2|，F(xiàn)1AF260°.由雙曲線的定義可得|AF1|AF2|2a，|BF1|2a.又|BF2|BF1|2a，|BF2|4a.|AF2|4a，|AF1|6a.在AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF2|·|AF1|cos60°，(2c)2(4a)2(6a)22×4a×6a×，整理得c27a2，e.答案9(2018·湖南六校聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P(1,0)作直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)若SABF，且|AF|<|BF|，則_.解析設(shè)直線l的方程為xmy1，將直線方程代入拋物線C：y24x的方程得y24my40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則0<<1，y1y24m，y1·y24，又SABF，所以SBPFSAPF|y2y1|，因此yy10，所以，從而，又由拋物線的定義與相似三角形可知，.答案三、解答題10(2018·廣東七校第一次聯(lián)考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F1(2,0)和F2(2,0)的距離之和為4.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)設(shè)N(0,2)，過(guò)點(diǎn)P(1，2)作直線l，交曲線C于不同于N的兩點(diǎn)A，B，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，求k1k2的值解(1)由橢圓的定義，可知點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓由c2，a2，得b2.故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為1.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y2k(x1)，由得(12k2)x24k(k2)x2k28k0.4k(k2)24(12k2)(2k28k)>0，則k>0或k<.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.從而k1k22k(k4)4.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，得A，B，所以k1k24.綜上，恒有k1k24.11(2018·合肥一模)已知點(diǎn)F為橢圓E：1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，直線1與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M.(1)求橢圓E的方程(2)設(shè)直線1與y軸交于P點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓E交于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B，若|PM|2|PA|·|PB|，求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)由題意，得a2c，bc，則橢圓E的方程為1，聯(lián)立得x22x43c20.直線1與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M，44(43c2)0，得c21，橢圓E的方程為1.(2)由(1)得M點(diǎn)坐標(biāo)為.直線1與y軸交于點(diǎn)P(0,2)，|PM|2.當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，|PA|·|PB|(2)(2)1，由|PM|2|PA|·|PB|，得.當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得(34k2)x216kx40，依題意得，x1x2，且48(4k21)>0，|PA|PB|·(1k2)x1x2(1k2)·1，.k2>，<<1.綜上所述，的取值范圍是.12(2018·太原模擬)已知拋物線C：x22py(p>0)，圓O：x2y21.(1)若拋物線C的焦點(diǎn)F在圓O上，且A為拋物線C和圓O的一個(gè)交點(diǎn)，求|AF|；(2)若直線l與拋物線C和圓O分別相切于點(diǎn)M，N，求|MN|的最小值及相應(yīng)p的值解(1)由題意得F(0,1)，從而拋物線C：x24y.解方程組得yA2，|AF|1.(2)設(shè)M(x0，y0)，由y，得切線l：y(xx0)y0，結(jié)合x2py0，整理得x0xpypy00.由|ON|1得1，即|py0|，p且y1>0.|MN|2|OM|21xy12py0y1y14(y1)8，當(dāng)且僅當(dāng)y0時(shí)等號(hào)成立|MN|的最小值為2，此時(shí)p.17