2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題22 隨機變量及其分布列 理（含解析）一、解答題1(xx·安徽理，17)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完 5 局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立(1)求甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏得比賽的概率；(2)記 X 為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)分析甲在四局內(nèi)贏得比賽，即甲前兩局勝，或第一局?jǐn)?，二、三局勝，或第一局勝，第二局?jǐn)。谌?、四局勝比賽總局?jǐn)?shù)最少2局，最多5局，求概率時，既要考慮甲勝結(jié)束，又要考慮乙勝結(jié)束由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故按獨立事件公式計算積事件的概率解析用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)，P(Bk)，k1,2,3,4,5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)()2×()2××()2.(2)X的可能取值為2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列為X2345P方法點撥1.求復(fù)雜事件的概率的一般步驟：1°列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎荆?°理清各事件之間的關(guān)系，列出關(guān)系式；3°根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計算2直接計算符合條件的事件的概率較繁時，可先間接地計算對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率3要準(zhǔn)確理解隨機變量取值的意義，準(zhǔn)確把握每一個事件所包含的基本事件，然后依據(jù)類型代入概率公式進(jìn)行計算4概率與統(tǒng)計知識結(jié)合的問題，先依據(jù)統(tǒng)計知識明確條件，求出有關(guān)統(tǒng)計的結(jié)論，再將所求問題簡化為純概率及其分布的問題，依據(jù)概率及其分布列、期望、方差的知識求解5離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)：設(shè)離散型隨機變量X的分布列為：Xx1x2xixnPp1p2pipn則pi0，i1,2，n；p1p2pipn1.2(xx·重慶理，17)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同從中任意選取3個(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望分析考查了古典概型的概率以及分布列、數(shù)學(xué)期望，屬于簡單題型(1)由古典概型概率公式計算；(2)從含有2個豆沙粽的10個粽子中取3個，據(jù)此可得出X的可能取值及其概率，列出分布列求得期望解析(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個”，由古典概型的概率計算公式有P(A).(2)X的可能取值為0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2)綜上知，X的分布列為：X012P故E(X)0×1×2×(個)方法點撥如果題目條件是從含A類物品M件，總數(shù)為N的A、B兩類物品中，抽取n件，其中含有A類物品件數(shù)X為隨機變量，則按超幾何分布公式直接計算請練習(xí)下題：一盒中有12個零件，其中有3個次品，從盒中每一次取出一個零件，取后不放回，求在取到正品前已取次數(shù)X的分布列和期望分析由于題設(shè)中要求取出次品不再放回，故應(yīng)仔細(xì)分析每一個X所對應(yīng)的事件的準(zhǔn)確含義據(jù)此正確地計算概率p.解析X可能的取值為0、1、2、3這四個數(shù)，而Xk表示，共取了k1次零件，前k次取得的是次品，第k1次取得正品，其中k0、1、2、3.(1)當(dāng)X0時，第1次取到正品，試驗中止，此時P(X0).(2)當(dāng)X1時，第1次取到次品，第2次取到正品，P(X1)×.(3)當(dāng)X2時，前2次取到次品，第3次取到正品，P(X2)××.當(dāng)X3時，前3次將次品全部取出，P(X3)××.所以X的分布列為：X0123PE(X)0×1×2×3×.3(xx·石家莊質(zhì)檢)某商場為了了解顧客的購物信息，隨機的在商場收集了100位顧客購物的相關(guān)數(shù)據(jù)，整理如下：一次購物款(單位：元)0,50)50,100)100,150)150,200)200，)顧客人數(shù)m2030n10統(tǒng)計結(jié)果顯示：100位顧客中購物款不低于100元的顧客占60%.據(jù)統(tǒng)計該商場每日大約有5000名顧客，為了增加商場銷售額度，對一次性購物不低于100元的顧客發(fā)放紀(jì)念品(每人一件)(注：視頻率為概率) (1)試確定m、n的值，并估計該商場每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量；(2)現(xiàn)有4人去該商場購物，求獲得紀(jì)念品的人數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望解析(1)由已知，100位顧客中購物款不低于100元的顧客有n40100×60%，n20；m100(20302010)20.該商場每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量大約為5000×3000件(2)由(1)可知1人購物獲得紀(jì)念品的頻率即為概率p.故4人購物獲得紀(jì)念品的人數(shù)服從二項分布B(4，)P(0)C()0()4，P(1)C()1()3，P(2)C()2()2，P(3)C()3()1，P(4)C()4()0，的分布列為01234P數(shù)學(xué)期望為E()0×1×2×3×4×.或由E()4×.方法點撥1.獨立重復(fù)試驗與二項分布一般地，如果在一次試驗中事件A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)稱事件A發(fā)生的次數(shù)X服從參數(shù)為n、p的二項分布若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)2離散型隨機變量的期望：設(shè)離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn則E(X)x1p1x2p2xipixnpn，D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn.3準(zhǔn)確辨別獨立重復(fù)試驗的基本特征(在每次試驗中，試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同)，牢記公式Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n，并深刻理解其含義，是解二項分布問題的關(guān)鍵4對于復(fù)雜事件，要先辨析其構(gòu)成，依據(jù)互斥事件，或者相互獨立事件按事件的和或積的概率公式求解，還要注意含“至多”，“至少”類詞語的事件可轉(zhuǎn)化為對立事件的概率求解請練習(xí)下題：為了了解今年某校高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報考飛行員學(xué)生的身體素質(zhì)，學(xué)校對他們的體重進(jìn)行了測量，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為123，其中第2小組的頻數(shù)為12.(1)求該校報考飛行員的總?cè)藬?shù)；(2)以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報考飛行員的學(xué)生中(人數(shù)很多)任選3人，設(shè)X表示體重超過60kg的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望分析先由頻率直方圖中前三組頻率的比及第2小組頻數(shù)及頻率分布直方圖的性質(zhì)求出n的值和任取一個報考學(xué)生體重超過60kg的概率再由從報考飛行員的學(xué)生中任選3人知，這是三次獨立重復(fù)試驗，故X服從二項分布解析(1)設(shè)報考飛行員的人數(shù)為n，前3個小組的頻率分別為p1，p2，p3，則由條件可得：解得p10.125，p20.25，p30.375.又因為p20.25，故n48.(2)由(1)可得，一個報考學(xué)生體重超過60kg的概率為Pp3(0.0370.013)×5，由題意知X服從二項分布B(3，)，P(xk)C()k()3k(k0,1,2,3)，所以隨機變量X的分布列為X0123PE(X)0×1×2×3×.4(xx·江西省質(zhì)量監(jiān)測)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示：老板根據(jù)銷售量給予店員獎勵，具體獎勵規(guī)定如下表銷售量X個X<100100X<150150X<200X200獎勵金額(元)050100150(1)求在未來連續(xù)3天里，店員共獲得獎勵150元的概率；(2)記未來連續(xù)2天，店員獲得獎勵X元，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)解析(1)由頻率分布直方圖得店員一天獲得50元、100元、150元的概率分別是0.3,0.2,0.1，不得獎勵的概率是0.4，所以未來連續(xù)3天里，店員共獲得獎勵150元的概率P0.33A×0.3×0.2×0.4C×0.42×0.10.219；(2)X可能取值有0,50,100,150,200,250,300.P(X0)0.420.16，P(X50)2×0.4×0.30.24.P(X100)0.322×0.4×0.20.25，P(X150)2×0.4×0.12×0.3×0.20.20.P(X200)0.222×0.3×0.10.10，P(X250)2×0.2×0.10.04，P(X300)0.120.01，所以隨機變量X的分布列是：X050100150200250300P(X)0.160.240.250.200.100.040.01E(X)0×0.1650×0.24100×0.25150×0.20200×0.10250×0.04300×0.01100(或E(X)2(0×0.450×0.3100×0.2150×0.1)100)方法點撥概率與統(tǒng)計知識相結(jié)合是高考主要命題方式之一一般先解答統(tǒng)計問題，最后依據(jù)條件確定隨機變量的取值及其概率，再列出分布列求期望請練習(xí)下題：(xx·江西上饒市三模)對某校高二年級學(xué)生暑期參加社會實踐次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，隨機抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社會實踐的次數(shù)根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率10,15)200.2515,20)48n20,25)mp25,30)40.05合計M1(1)求出表中M，p及圖中a的值；(2)在所取樣本中，從參加社會實踐的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選3人，記參加社會實踐次數(shù)在區(qū)間25,30)內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列和期望解析(1)由頻率分布表和頻率分布直方圖的知識與性質(zhì)知，0.25，n,0.25np0.051，a，解之可得M80，p0.1，a0.12.(2)參加社會實踐次數(shù)分別在20,25和25,30)的人數(shù)依次為0.1×808人，0.05×804人，從這12人中隨機抽取3人，隨機變量X的取值為0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).分布列如下：X0123P可得E(X)1.5(xx·河南八市質(zhì)量監(jiān)測)某市在xx年2月份的高三期末考試中對數(shù)學(xué)成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，全市10000名學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N(115,25)，現(xiàn)某校隨機抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分析，結(jié)果這50名同學(xué)的成績?nèi)拷橛?0分到140分之間現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組，第一組80,90)，第二組90,100)，第六組130,140，得到如下圖所示的頻率分布直方圖(1)試估計該校數(shù)學(xué)的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)；(2)這50名學(xué)生中成績在120分(含120分)以上的同學(xué)中任意抽取3人，該3人在全市前13名的人數(shù)記為X，求X的分布列和期望附：若XN(，2)，則P(<X<)0.6826，P(2<X<2)0.9544，P(3<X<3)0.9974.解析(1)由頻率分布直方圖可知120,130)的頻率為：1(0.01×100.024×100.03×100.016×100.008×10)10.880.12，所以估計該校全體學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績約為85×0.195×0.24105×0.3115×0.16125×0.12135×0.088.522.831.518.41510.8107，所以該校的平均成績?yōu)?07.(2)由于0.0013，根據(jù)正態(tài)分布：P(1153×5<X<1153×5)0.9974，P(X130)0.0013，即0.0013×1000013，所以前13名的成績?nèi)吭?30分以上，根據(jù)頻率分布直方圖這50人中成績在130分以上(包括130分)的有0.08×504人，而在120,140的學(xué)生共有0.12×500.08×5010，所以X的取值為0,1,2,3，所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列為X0123PE(X)0×1×2×3×1.2.方法點撥1.正態(tài)分布數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)隨機變量概率密度函數(shù)為f(x)e，xR.2正態(tài)曲線的特點曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對稱；曲線在x處達(dá)到峰值；曲線與x軸之間的面積為1；當(dāng)一定時，曲線隨著的變化而沿x軸平移，如圖所示；當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖所示3正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值正態(tài)變量在區(qū)間(，)內(nèi)取值的概率為68.3%；正態(tài)變量在區(qū)間(2，2)內(nèi)取值的概率為95.4%；正態(tài)變量在區(qū)間(3，3)內(nèi)取值的概率為99.7%.4期望、方差的性質(zhì)E(aXb)aE(X)b；D(aXb)a2D(X)6(xx·石家莊市一模)集成電路E由3個不同的電子元件組成，現(xiàn)由于元件老化，三個電子元件能正常工作的概率分別降為，且每個電子元件能否正常工作相互獨立若三個電子元件中至少有2個正常工作，則E能正常工作，否則就需要維修，且維修集成電路E所需費用為100元(1)求集成電路E需要維修的概率；(2)若某電子設(shè)備共由2個集成電路E組成，設(shè)X為該電子設(shè)備需要維修集成電路所需的費用，求X的分布列和期望解析(1)三個電子元件能正常工作分別記為事件A，B，C，則P(A)，P(B)，P(C).依題意，集成電路E需要維修有兩種情形：3個元件都不能正常工作，概率為P1P( )P()P()P()××；3個元件中的2個不能正常工作，概率為P2P(A B C)P(A)P(B)P( C)××××××所以，集成電路E需要維修的概率為P1P2.(2)設(shè)為維修集成電路的個數(shù)，則B，而X100，P(X100k)P(k)Ck2k，k0,1,2.X的分布列為：X0100200PE(X)0×100×200×或E(X)100E()100×2×.7(xx·鄭州市質(zhì)檢)為了迎接2014年3月30日在鄭州舉行的“中國鄭州國際馬拉松賽”，舉辦單位在活動推介晚會上進(jìn)行嘉賓現(xiàn)場抽獎活動. 抽獎盒中裝有6個大小相同的小球，分別印有“鄭開馬拉松”和“美麗綠城行”兩種標(biāo)志. 搖勻后，參加者每次從盒中同時抽取兩個小球(取出后不再放回)，若抽到兩個球都印有“鄭開馬拉松”標(biāo)志即可獲獎，并停止取球；否則繼續(xù)抽取第一次取球就抽中獲一等獎，第二次取球抽中獲二等獎，第三次取球抽中獲三等獎，沒有抽中不獲獎活動開始后，一位參賽者問：“盒中有幾個印有鄭開馬拉松的小球？”主持人說“我只知道第一次從盒中同時抽兩球，不都是美麗綠城行標(biāo)志的概率是.”(1)求盒中印有“鄭開馬拉松”小球的個數(shù)； (2)若用表示這位參加者抽取的次數(shù)，求的分布列及期望解析(1)設(shè)印有“美麗綠城行”的球有n個，同時抽兩球不都是“美麗綠城行”標(biāo)志為事件A, 則同時抽取兩球都是“美麗綠城行”標(biāo)志的概率是P()，由對立事件的概率知P(A)1P().即P()，解得n3.(2)由已知，兩種球各三個，可能取值分別為1、2、3，則2的含義是第一次取到兩球都印有“美麗綠城行”，第二次取球中獎；或第一次取到兩類球各一個，第二次取球中獎，P(1)，P(2)··，P(3)1P(1)P(2)，則的分布列為：123所以E()1×2×3×.方法點撥解決概率的實際應(yīng)用問題，先通過審題，將條件翻譯為解題需要的數(shù)學(xué)語言，再依據(jù)條件判明概率類型、弄清隨機變量取值時所表示事件的含義，并把復(fù)雜事件進(jìn)行合理的分拆，轉(zhuǎn)化為簡單事件，最后代入對應(yīng)公式進(jìn)行計算請再練習(xí)下題：(xx·福建理，18)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由解析(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X，()依題意，得P(X60)，顧客所獲的獎勵額為60元的概率為；()依題意，得X的所有可能取值為20,60，P(X60)，P(X20).即X的分布列為X2060P0.50.5顧客所獲的獎勵額的期望E(X)20×0.560×0.540(元)(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵為60元，所以先尋找期望為60的可能方案，對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能是60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因為60元是面積之和最小值，所以期望也不可能是60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)記為方案1，對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2，以下是對兩個方案的評價：對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲獎勵額為X1，則X1的分布列為X12060100PX1的期望為E(X1)20×60×100×60，X1的方差為D(X1)(2060)2×(6060)2×(10060)2× .對于方案2，即方案(20,20,40,40)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為X2406080PX2的期望為E(X2)40×60×80×60，X2的方差為D(X2)(4060)2×(6060)2×(8060)2×.由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應(yīng)選擇方案2.