2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 限時訓(xùn)練20 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題 文1.已知圓E：x22經(jīng)過橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A，且F1，E，A三點(diǎn)共線直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且 (0)(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)AMN的面積取到最大值時，求直線l的方程解：(1)F1，E，A三點(diǎn)共線，F(xiàn)1A為圓E的直徑，AF2F1F2.由x22，得x±，c，|AF2|2|AF1|2|F1F2|2981，2a|AF1|AF2|4，a2.a2b2c2，b，橢圓C的方程為1.(2)由題知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)， (0)，直線的斜率為，故設(shè)直線l的方程為yxm，聯(lián)立得，x2mxm220，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1x2m，x1x2m22，2m24m28>0，2<m<2.又|MN| |x2x1| ，點(diǎn)A到直線l的距離d，SAMN|MN|·d ×|m| ×，當(dāng)且僅當(dāng)4m2m2，即m±時等號成立，此時直線l的方程為yx±.2(xx·石家莊市模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線x相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)設(shè)P是曲線E上的動點(diǎn)，點(diǎn)B、C在y軸上，PBC的內(nèi)切圓的方程為(x1)2y21，求PBC面積的最小值解：(1)由題意可知圓心到的距離等于到直線x的距離，由拋物線的定義可知，曲線E的方程為y22x.(2)法一：設(shè)P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)，直線PB的方程為：(y0b)xx0yx0b0，又圓心(1,0)到PB的距離為1，所以1，整理得：(x02)b22y0bx00，同理可得：(x02)c22y0cx00，所以b，c是方程(x02)x22y0xx00的兩根，所以bc，bc，依題意bc<0，即x0>2，則(bc)2，因為y2x0，所以|bc|，所以S|bc|x0(x02)48，當(dāng)x04時上式取得等號，所以PBC面積的最小值為8.法二：設(shè)P(x0，y0)，直線PB：yy0k(xx0)，由題知PB與圓(x1)2y21相切，則1，整理得：(x2x0)k22(1x0)y0ky10，k1k2，k1k2，依題意x0>2，則|yByC|(y0k1x0)(y)k2x0|k1k2|x0，又|k1k2|，則|yByC|，所以S|yByC|x0|(x02)48，當(dāng)且僅當(dāng)x04時上式取得等號，所以 PBC面積的最小值為8.3(xx·長春市高三模擬)在ABC中，頂點(diǎn)B(1,0)，C(1,0)，G，I分別是ABC的重心和內(nèi)心，且.(1)求頂點(diǎn)A的軌跡M的方程；(2)過點(diǎn)C的直線交曲線M于P，Q兩點(diǎn)，H是直線x4上一點(diǎn)，設(shè)直線CH，PH，QH的斜率分別為k1，k2，k3，試比較2k1與k2k3的大小，并加以證明解：(1)由題意知SABC(|AB|AC|BC|)·r|BC|·|yA|，且|BC|2，|yA|3r，其中r為內(nèi)切圓半徑， 化簡得：|AB|AC|4，頂點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)，4為長軸長的橢圓(去掉長軸端點(diǎn))，其中a2，c1，b，所以軌跡M的方程為1(y0)(2)2k1k2k3，以下進(jìn)行證明：當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ：yk(x1)且P(x1，y1)，Q(x2，y2)，H(4，m)，聯(lián)立可得x1x2，x1x2.由題意：k1，k2，k3.k2k32k1.當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，不妨取P，Q，則k2k32k1.綜上可得2k1k2k3.4(洛陽市xx屆高三模擬)設(shè)M是焦距為2的橢圓E：1(a>b>0)上一點(diǎn)，A，B是其左、右頂點(diǎn)，直線MA與MB的斜率分別為k1，k2，且k1k2.(1)求橢圓E的方程；(2)已知橢圓E：1(a>b>0)上點(diǎn)N(x0，y0)處切線方程為1，若與橢圓E相切于C(x1，y1)，D(x2，y2)兩點(diǎn)的切線相交于P點(diǎn)，且·0.求證：點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為定值(1)解：由題意，2c2，c1，A(a,0)，B(a,0)，設(shè)M(x，y)，k1k2，·，即.M(x，y)在橢圓上，1.，a22b2.又a2b2c21，a22，b21.橢圓E的方程為y21.(2)證明：依題意，切線PC，PD的方程分別為y1y1，y2y1，即x1x2y1y2，x2x2y2y2.由，得P，·0，PCPD，1，即x1x24y1y2.C，D在橢圓E上，x2y2，x2y2.x22y，x22y.|PO|2.x1x24y1y2，xx16yy.即(22y)(22y)16yy，(1y)(1y)4yy，得yy.|OP|23.|PO|，P到原點(diǎn)的距離為定值.