突破疑難系列2 五大技法減輕解析幾何中的運算量(對應(yīng)學(xué)生用書第170頁)命題解讀中學(xué)解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，用方程的觀點來研究曲線，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，但有時運算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題的速度，甚至?xí)兄菇忸}的過程，達(dá)到“望題興嘆”的地步，特別是高考過程中，在規(guī)定的時間內(nèi)，保質(zhì)保量完成解題的任務(wù)，計算能力是一個重要的方面，為此，從以下幾個方面探索減輕運算量的方法和技巧，合理簡化解題過程，優(yōu)化思維過程技法突破1巧用平面幾何性質(zhì)示例1已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：1(a>b>0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點P為C上一點，且PFx軸過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為()A.B.C.D.A設(shè)OE的中點為N，如圖，因為MFOE，所以有，.又因為OE2ON，所以有·，解得a3c，e，故選A.技法點津此題也可以用解析法解決，但有一定的計算量，巧用三角形的相似比可簡化計算技法訓(xùn)練1如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：y21與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()A.B.C.D.D由已知，得F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，設(shè)雙曲線C2的實半軸長為a，由橢圓及雙曲線的定義和已知，可得解得a22，故a.所以雙曲線C2的離心率e.技法突破2設(shè)而不求，整體代換設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法，其實質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用設(shè)而不求的靈魂是通過科學(xué)的手段使運算量最大限度地減少，通過設(shè)出相應(yīng)的參數(shù)，利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化，以參數(shù)為過渡，設(shè)而不求示例2已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點若AB的中點坐標(biāo)為(1，1)，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B.1C.1D.1D設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，y1y22，得0，所以kAB.又kAB，所以.又9c2a2b2，解得b29，a218，所以橢圓E的方程為1.技法點津本題設(shè)出A，B兩點的坐標(biāo)，卻不求出A，B兩點的坐標(biāo)，巧妙地表達(dá)出直線AB的斜率，通過將直線AB的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關(guān)系，從而快速解決問題技法訓(xùn)練2已知橢圓C：1(a>b>0)上存在A，B兩點恰好關(guān)于直線l：xy10對稱，且直線AB與直線l的交點的橫坐標(biāo)為2，則橢圓C的離心率為()A.B.C.D.C由題意可得直線AB與直線l的交點為P(2,1)，kAB1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x24，y1y22.A，B是橢圓1上的點，1， 1， 得0，kAB1，a22b2，橢圓C的離心率為.技法突破3巧用“根與系數(shù)的關(guān)系”，化繁為簡某些涉及線段長度關(guān)系的問題可以通過解方程、求坐標(biāo)，用距離公式計算長度的方法來解；但也可以利用一元二次方程，使相關(guān)的點的同名坐標(biāo)為方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根間的關(guān)系或有關(guān)線段長度間的關(guān)系后者往往計算量小，解題過程簡捷示例3已知橢圓y21的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點(1)當(dāng)直線AM的斜率為1時，求點M的坐標(biāo)；(2)當(dāng)直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由解(1)直線AM的斜率為1時，直線AM的方程為yx2，代入橢圓方程并化簡得5x216x120.解得x12，x2，所以M.(2)設(shè)直線AM的斜率為k，直線AM的方程為yk(x2)，聯(lián)立方程化簡得(14k2)x216k2x16k240.則xAxM，又xA2，則xMxA2.同理，可得xN.由(1)知若存在定點，則此點必為P.證明如下：因為kMP，同理可計算得kPN.所以直線MN過x軸上的一定點P.技法點津本例在第(2)問中可應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系求出xM，這體現(xiàn)了整體思想這是解決解析幾何問題時常用的方法，簡單易懂，通過設(shè)而不求，大大降低了運算量技法訓(xùn)練3已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，且經(jīng)過點P，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.(1)求橢圓C的方程；(2)過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若AF2B的內(nèi)切圓半徑為，求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程解(1)由，得a2c，所以a24c2，b23c2，將點P的坐標(biāo)代入橢圓方程得c21，故所求橢圓方程為1.(2)由(1)可知F1(1,0)，設(shè)直線l的方程為xty1，代入橢圓方程，整理得(43t2)y26ty90，顯然判別式大于0恒成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AF2B的內(nèi)切圓半徑為r0，則有y1y2，y1y2，r0，所以SAF2BSAF1F2SBF1F2|F1F2|·|y1y2|F1F2|·.而SAF2B|AB|r0|BF2|r0|AF2|r0r0(|AB|BF2|AF2|)r0(|AF1|BF1|BF2|AF2|)r0·4a×8×，所以，解得t21，因為所求圓與直線l相切，所以半徑r，所以所求圓的方程為(x1)2y22.技法突破4妙借向量，無中生有平面向量是銜接代數(shù)與幾何的紐帶，溝通“數(shù)”與“形”，融數(shù)、形于一體，是數(shù)形結(jié)合的典范，具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，是數(shù)學(xué)知識的一個交匯點和聯(lián)系多項知識的媒介妙借向量，可以有效提升圓錐曲線的解題方向與運算效率，達(dá)到良好效果示例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓1(a>b>0)的右焦點，直線y與橢圓交于B，C兩點，且BFC90°，則該橢圓的離心率是_把y代入橢圓1，可得x±a，那么B，C，而F(c,0)，那么，又BFC90°，故有··c2a2b2c2a2(a2c2)c2a20，則有3c22a2，所以該橢圓的離心率為e.技法點津本題通過相關(guān)向量坐標(biāo)的確定，結(jié)合BFC90°，巧妙借助平面向量的坐標(biāo)運算來轉(zhuǎn)化圓錐曲線中的相關(guān)問題，從形入手轉(zhuǎn)化為相應(yīng)數(shù)的形式，簡化運算技法訓(xùn)練4已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，圓O的方程為x2y22，設(shè)P，Q分別是橢圓C和圓O上位于y軸兩側(cè)的動點，若直線PQ與x軸平行，直線AP，BP與y軸的交點記為M，N，試判斷MQN是否為定值，若是，請證明你的結(jié)論；若不是，請舉出反例說明解MQN是定值90°，證明如下：設(shè)P(x0，y0)，直線AP：yk(x2)(k0)，令x0可得M(0,2k)，將1與yk(x2)聯(lián)立，整理可得(2k21)x28k2x8k240，則2x0，可得x0，y0，故P.直線BP斜率kBP，則直線BP：y(x2)，令x0可得N，設(shè)Q(xQ，y0)，則(xQ,2ky0)，由xy2，y0，可得·xy2y00，所以QMQN，故MQN是定值90°.技法突破5巧妙“換元”減少運算量變量換元的關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而將非標(biāo)準(zhǔn)型問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型問題，將復(fù)雜問題簡單化變量換元法常用于求解復(fù)合函數(shù)的值域、三角函數(shù)的化簡或求值等問題示例5如圖，已知橢圓C的離心率為，點A，B，F(xiàn)分別為橢圓的右頂點、上頂點和右焦點，且SABF1.(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線l：ykxm與圓O：x2y21相切，若直線l與橢圓C交于M，N兩點，求OMN面積的最大值解(1)由已知橢圓的焦點在x軸上，設(shè)其方程為1(a>b>0)，則A(a,0)，B(0，b)，F(xiàn)(c,0)(c)由已知可得e2，所以a24b2，即a2b，cbSABF×|AF|×|OB|(ac)b1.將代入，得(2bb)b1，解得b1，故a2，c.所以橢圓C的方程為y21.(2)圓O的圓心為坐標(biāo)原點(0,0)，半徑r1，由直線l：ykxm與圓O：x2y21相切，得1，故有m21k2.由消去y，得(14k2)x28kmx4(m21)0，由題可知k0，所以16(4k2m21)48k2>0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2，x1x2.所以|x1x2|2(x1x2)24x1x24×.將代入中，得|x1x2|2，故|x1x2|.所以|MN|x1x2|×.故OMN的面積S|MN|×1××1.令t4k21，則t1，k2，代入上式，得S2，所以當(dāng)t3，即4k213，解得k±時，S取得最大值，且最大值為×1.技法點津破解此類題的關(guān)鍵：一是利用已知條件，建立關(guān)于參數(shù)的方程，解方程，求出參數(shù)的值；二是通過變量換元法將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化為值域容易確定的另一函數(shù)，求得其值域，從而求得原函數(shù)的值域，形如yaxb±(a，b，c，d均為常數(shù)，且ac0)的函數(shù)常用此法求解，但在換元時一定要注意新元的取值范圍，以保證等價轉(zhuǎn)化，這樣目標(biāo)函數(shù)的值域才不會發(fā)生變化技法訓(xùn)練5已知中心在原點，焦點在y軸上的橢圓C，其上一點P到兩個焦點F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線ykx1與曲線C交于A，B兩點，求OAB面積的取值范圍解(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由離心率e，2a4，得a2，b1，c.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30.x1x2，x1x2，設(shè)OAB的面積為S，由x1x2<0知，S(|x1|x2|)|x1x2|2，令k23t，則t3.S2.對于函數(shù)yt(t3)，由y1>0得yt在3，)上是增函數(shù)，t.0<.S.- 9 -