第3講解析幾何的綜合問題考情考向分析江蘇高考解析幾何的綜合問題包括：探索性問題、定點(diǎn)與定值問題、范圍與最值問題等，一般試題難度較大這類問題以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，需要綜合運(yùn)用函數(shù)與方程、不等式等諸多知識以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解，對考生的代數(shù)恒等變形能力、計(jì)算能力等有較高的要求熱點(diǎn)一最值、范圍問題例1(2018·南通模擬)已知橢圓C：1(a>b>0)的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，右準(zhǔn)線為m，(1)若直線m上不存在點(diǎn)Q，使AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍；(2)在(1)的條件下，當(dāng)e取最大值時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，設(shè)B，M，N是橢圓上的三點(diǎn)，且，求以線段MN的中點(diǎn)為圓心，過A，F(xiàn)兩點(diǎn)的圓的方程解(1)設(shè)直線m與x軸的交點(diǎn)是R，依題意FRFA，即cac，a2c，12，12e，2e2e10,0<e.(2)當(dāng)e且A(2,0)時(shí)，F(xiàn)(1,0)，故a2，c1, 所以b，橢圓方程是1，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2) ，則 1，1.由，得 B.因?yàn)锽是橢圓C上一點(diǎn)，所以1，即222··1，0，因?yàn)閳A過A，F(xiàn)兩點(diǎn)， 所以線段MN的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，又2(yy2y1y2)，由和得2·，所以圓心坐標(biāo)為，故所求圓的方程為22.思維升華處理求最值的式子常用兩種方式(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的最值(2)轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式求最值的形式若得到的函數(shù)式是分式形式，函數(shù)式的分子次數(shù)不低于分母時(shí)，可利用分離法求最值；若分子次數(shù)低于分母，則可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出現(xiàn)復(fù)雜的式子時(shí)可用換元法)跟蹤演練1已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且點(diǎn)在橢圓C上(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為H，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OH1，求POQ面積的最大值解(1)由已知得，1，解得a24，b21，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是y21.(2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(n,0)，直線l：xmyn，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立得(4m2)y22mnyn240，16(m2n24)0，y1,2，所以，y1y2，所以，即H，由OH1，得n2，則SPOQ·OD·|y1y2|n|y1y2|，n2(y1y2)2n2(y1y2)24y1y212×16×.設(shè)t4m2(t4)，則，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t12時(shí)取等號，此時(shí)SPOQ1，所以POQ面積的最大值為1.熱點(diǎn)二定點(diǎn)問題例2(2018·全國大聯(lián)考江蘇卷)如圖，已知A，B是橢圓1的長軸頂點(diǎn)，P，Q是橢圓上的兩點(diǎn)，且滿足kAP2kQB，其中kAP，kQB分別為直線AP，QB的斜率(1)求證：直線AP和BQ的交點(diǎn)R在定直線上；(2)求證：直線PQ過定點(diǎn)證明(1)根據(jù)題意，可設(shè)直線AP的方程為ykAP(x2)，直線BQ的方程為ykQB(x2)，則直線AP和BQ的交點(diǎn)R的橫坐標(biāo)x0滿足2，即x06.因此直線AP和BQ的交點(diǎn)R在定直線x6上. (2)由(1)，可設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(6，m)，則直線AP的方程為y(x2)，直線BQ的方程為y(x2)，聯(lián)立方程得(m212)x24m2x4(m212)0，設(shè)P(xP，yP)，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得2×xP，即xP，代入直線AP的方程得，yP，故P.聯(lián)立方程得(m248)x24m2x4(m248)0，設(shè)Q(xQ，yQ), 則2×xQ，即xQ，代入直線BQ的方程得，yQ，故Q，當(dāng)，即m224時(shí)， 直線PQ與x軸的交點(diǎn)為T，當(dāng)，即m224時(shí)， 下面證直線PQ過點(diǎn)T.kPTkQT0，故直線PQ過定點(diǎn)T.思維升華如果要解決的問題是一個(gè)定點(diǎn)問題，我們可以根據(jù)特殊情況先找到這個(gè)定點(diǎn)，明確解決問題的目標(biāo)，然后再進(jìn)行一般性證明跟蹤演練2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中， 已知圓O：x2y24，橢圓C：y21，A為橢圓右頂點(diǎn)過原點(diǎn)O且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓C交于B，C兩點(diǎn)，直線AB與圓O的另一交點(diǎn)為P，直線PD與圓O的另一交點(diǎn)為Q，其中D.設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k1，k2.(1)求k1k2的值；(2)記直線PQ，BC的斜率分別為kPQ，kBC，是否存在常數(shù)，使得kPQkBC？若存在，求值；若不存在，說明理由；(3)求證：直線AC必過點(diǎn)Q.(1)解設(shè)B(x0，y0)，則C(x0，y0)，y1， 所以k1k2·.(2)解由題意得直線AP的方程為yk1(x2)，聯(lián)立得(1k)x24kx4(k1)0，設(shè)P(xp，yp)，解得xp，ypk1(xp2)，聯(lián)立得(14k)x216kx4(4k1)0，設(shè)B(xB，yB)，同理得xB，yBk1(xB2)，所以kBC，kPQ，所以kPQkBC，故存在常數(shù)，使得kPQkBC，(3)證明當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)，Q，則kAQk2，所以直線AC必過點(diǎn)Q.當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí)，直線PQ方程為y，聯(lián)立，解得xQ，yQ，所以kAQk2，故直線AC必過點(diǎn)Q.綜上可知，直線AC必過點(diǎn)Q.熱點(diǎn)三定值問題例3記焦點(diǎn)在同一條軸上且離心率相同的橢圓為“相似橢圓”已知橢圓E：1，以橢圓E的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)作相似橢圓M.(1)求橢圓M的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且與橢圓M僅有一個(gè)公共點(diǎn)，試判斷ABO的面積是否為定值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))？若是，求出該定值；若不是，請說明理由解(1)由條件知，橢圓M的離心率e，且長軸的頂點(diǎn)為(2,0)，(2,0)，橢圓M的方程為1.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l: ykxb.由得，x28kbx4b2120.令64k2b240得，b234k2.聯(lián)立化簡得x28kbx4b2480.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1,2AB，而原點(diǎn)O到直線l的距離d，SABOAB·d6.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x2或x2，則AB6，原點(diǎn)O到直線l的距離d2，SABO6.綜上所述，ABO的面積為定值6.思維升華(1)從特殊開始，求出定值，再證明該值與變量無關(guān)：(2)直接推理、計(jì)算，在整個(gè)過程中消去變量，得定值跟蹤演練3(2018·蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)如圖，橢圓1(a>b>0)的離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，點(diǎn)A，B，C分別為橢圓的左頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線l交橢圓于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)M(x1,0)，直線AC與直線BD交于點(diǎn)N(x2，y2)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若2，求直線l的方程；(3)求證：x1x2為定值(1)解由橢圓的離心率為，焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1.得解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)解由(1)知C(0,1)，設(shè)D(x0，y0)，由2，得2y01，所以y0，代入橢圓方程得x0或，所以D或D，所以kl或kl.所以直線l的方程為x2y20或x2y20.(3)證明設(shè)D(x3，y3)，由C(0,1)，M(x1,0)可得直線CM的方程為yx1, 聯(lián)立橢圓方程得解得x3，y3.由B(，0) ，得直線BD的方程為y(x)，因?yàn)辄c(diǎn)N(x2，y2)在直線BD上，所以y2(x2)，直線AC的方程為yx1，因?yàn)辄c(diǎn)N(x2，y2)在直線AC上，所以y2x21，聯(lián)立得x2，從而x1x22為定值1(2017·江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1，過點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l1，l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解(1)設(shè)橢圓的半焦距為c.因?yàn)闄E圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以，8，解得a2，c1，于是b，因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)由(1)知，F(xiàn)1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)設(shè)P(x0，y0)，因?yàn)镻為第一象限的點(diǎn)，故x00，y00.當(dāng)x01時(shí)，l2與l1相交于F1，與題設(shè)不符當(dāng)x01時(shí)，直線PF1的斜率為，直線PF2的斜率為.因?yàn)閘1PF1，l2PF2，所以直線l1的斜率為，直線l2的斜率為，從而直線l1的方程為y(x1)，直線l2的方程為y(x1)由，解得xx0，y，所以Q.因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，由對稱性，得±y0，即xy1或xy1.又點(diǎn)P在橢圓上，故1.由解得x0，y0，由無解因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為.2(2018·蘇州調(diào)研)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為 2，一條準(zhǔn)線方程為x2，P為橢圓C上一點(diǎn)，直線PF1交橢圓C于另一點(diǎn)Q.(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求過P，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)的圓的方程；(3)若，且，求·的最大值解(1)由題意得解得c1，a22，所以b2a2c21.所以橢圓C的方程為y21.(2)因?yàn)镻(0,1)，F(xiàn)1(1,0)，所以PF1的方程為xy10.由解得或 所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.設(shè)過P，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)的圓為x2y2DxEyF0，則解得D，E，F(xiàn).所以圓的方程為x2y2xy0.(3)設(shè)P，Q，則(x11，y1)，(1x2，y2)因?yàn)?，所以?所以2y1，y1，解得x2.所以·x1x2y1y2x2y x(1)x2 2，因?yàn)?，所?，當(dāng)且僅當(dāng)，即1時(shí)取等號所以·，即·的最大值為.A組專題通關(guān)1已知拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn)F是橢圓1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若P，Q是橢圓與拋物線的公共點(diǎn)，且直線PQ經(jīng)過焦點(diǎn)F，則該橢圓的離心率為_答案1解析方法一由拋物線方程，得焦點(diǎn)為F.由橢圓方程，可得上焦點(diǎn)為(0，c)，故c，將yc代入橢圓方程可得x±.又拋物線通徑為2p，所以2p4c，所以b2a2c22ac，即e22e10，解得e1.方法二如圖所示，由拋物線方程以及直線y，可得Q.又c，即Q(2c，c)，代入橢圓方程可得1，化簡可得e46e210，解得e232，e232>1(舍去)，即e1(負(fù)值舍去)2若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為_答案6解析由題意得F(1,0)，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則y3(2x02)·x0(x01)yxx0yxx03(x02)22.又因?yàn)?x02，所以當(dāng)x02時(shí)，·取得最大值6.3已知兩定點(diǎn)A(1,0)和B(1,0)，動點(diǎn)P(x，y)在直線l：yx2上移動，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為_答案解析A(1,0)關(guān)于直線l：yx2的對稱點(diǎn)為A(2,1)，連結(jié)AB交直線l于點(diǎn)P，則橢圓C的長軸長的最小值為AB，所以橢圓C的離心率的最大值為.4如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF2與圓x2y2b2相切于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn)，則橢圓C的長軸長是短軸長的_倍答案解析連結(jié)PF1，OQ，則PF12OQ2b，PF1PF2，由PFPFF1F，得(2b)2(2a2b)2(2c)2，解得，故.5(2018·江蘇省揚(yáng)州樹人學(xué)校模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(a>b>0)的短軸長為2，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)已知A為橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)M為x軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AM的垂線AN與橢圓C交于另一點(diǎn)N，若AMN60°，求點(diǎn)M的坐標(biāo)解(1)因?yàn)闄E圓C的短軸長為2，離心率為，所以解得所以橢圓C的方程為1.(2)因?yàn)锳為橢圓C的上頂點(diǎn)，所以A(0，)設(shè)M(m,0)(m>0)，則kAM.又AMAN，所以kAN，所以直線AN的方程為y x.由消去y，整理得(23m2)x212mx0，所以xN，yN×，所以AN×，在RtAMN中，由AMN60°，得ANAM，所以××，解得m.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為.6已知橢圓C：y21(常數(shù)m1)，點(diǎn)P是C上的動點(diǎn)，M是右頂點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)(1)若M與A重合，求C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若m3，求PA的最大值與最小值；(3)若PA的最小值為MA，求m的取值范圍解(1)m2，橢圓方程為y21，c，左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)(2)m3，橢圓方程為y21，設(shè)P(x，y)，則PA2(x2)2y2(x2)212(3x3)，當(dāng)x時(shí)，(PA)min，當(dāng)x3時(shí)，(PA)max5.(3)設(shè)動點(diǎn)P(x，y)，則PA2(x2)2y2(x2)2125(mxm)，當(dāng)xm時(shí)，PA取最小值，且0，m且m1，解得1m1.7(2018·江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C過點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，圓O的直徑為F1F2.(1)求橢圓C及圓O的方程；(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)若OAB的面積為，求直線l的方程解(1)因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)又點(diǎn)在橢圓C上，所以解得因此，橢圓C的方程為y21.因?yàn)閳AO的直徑為F1F2，所以其方程為x2y23.(2)設(shè)直線l與圓O相切于點(diǎn)P(x0，y0)(x00，y00)，則xy3，所以直線l的方程為y(xx0)y0，即yx.由消去y，得(4xy)x224x0x364y0.(*)因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以(24x0)24(4xy)·(364y)48y(x2)0.因?yàn)閤00，y00，所以x0，y01.因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，1)因?yàn)镺AB的面積為，所以AB·OP，從而AB.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(*)得x1,2，所以AB2(x1x2)2(y1y2)2·.因?yàn)閤y3，所以AB2，即2x45x1000，解得x(x20舍去)，則y，代入48y(x2)0，滿足題意，因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為.所以直線l的方程為yx3，即xy30.B組能力提高8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：1經(jīng)過點(diǎn)(b,2e)，其中e為橢圓C的離心率過點(diǎn)T(1,0)作斜率為k(k0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)(A在x軸下方)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)O且平行于l的直線交橢圓C于點(diǎn)M，N，求 的值；(3)記直線l與y軸的交點(diǎn)為P.若，求直線l的斜率k.解(1)因?yàn)闄E圓1經(jīng)過點(diǎn)(b,2e)，所以1.因?yàn)閑2，所以1.因?yàn)閍2b2c2，所以1.整理得 b412b2320，解得b24或b28(舍) .所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)因?yàn)門(1,0)，所以直線l的方程為yk(x1)聯(lián)立直線l與橢圓方程得消去y，得(2k21)x24k2x2k280，所以x1,2，所以因?yàn)镸Nl，所以直線MN的方程為ykx，聯(lián)立直線MN與橢圓方程得消去y，得 (2k21)x28，解得x2.因?yàn)镸Nl，所以 .因?yàn)?1x1)·(x21)x1x2(x1x2)1 ，(xMxN)24x2，所以·.(3)在yk(x1)中，令x0，則yk，所以P(0，k)，從而(x1，ky1)，(x21，y2)因?yàn)?，所以x1(x21)，即x1x2.由(2)知由解得 x1，x2.因?yàn)閤1x2，所以×， 整理得50k483k2340，解得k22或k2 (舍) .又因?yàn)閗0，所以k.9.如圖，橢圓C：1(ab0)的頂點(diǎn)分別為A1，A2，B1，B2，4，直線yx與圓O：x2y2b2相切(1)求橢圓C的離心率；(2)若P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線A1P交y軸于點(diǎn)F，直線A1B1交直線B2P于點(diǎn)E，問直線EF是否過定點(diǎn)若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由解(1)因?yàn)橹本€yx與圓O相切，由點(diǎn)到直線的距離公式得，b，即b1.又4，所以×2a×2b4，所以a2，所以橢圓C的方程為y21，離心率e.(2)由題意知直線B2P的斜率存在，設(shè)直線B2P的斜率為k，由(1)可知，A1(2,0)，B1(0，1)，B2(0,1)，則直線B2P的方程為ykx1.由得(14k2)x28kx0，其中xB20，所以xP.所以P，易知k0，且k±.則直線A1P的斜率，直線A1P的方程為y(x2)，令x0，則y，即F.易知直線A1B1的方程為x2y20，由解得所以E，所以直線EF的斜率k0，所以直線EF的方程為yx，即2k(xy1)(y1)0，由得所以直線EF過定點(diǎn)(2,1)19