高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式綜合檢測 新人教B版選修4-5一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1設(shè)S(n)，則()AS(n)共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，S(2)BS(n)共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，S(2)CS(n)共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，S(2)DS(n)共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，S(2)【解析】S(n)共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，S(2).【答案】D2數(shù)列an中，已知a11，當(dāng)n2時(shí)，anan12n1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()A3n2Bn2C3n1D4n3【解析】計(jì)算知a11，a24, a39，a416，可猜想ann2.【答案】B3平面內(nèi)原有k條直線，他們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為()Af(k)1Bf(k)kCf(k)k1Dk·f(k)【解析】第k1條直線與前k條直線都有不同的交點(diǎn)，此時(shí)應(yīng)比原先增加k個(gè)交點(diǎn)【答案】B4下列代數(shù)式，nN，能被13整除的是()An35nB34n152n1C62n11D42n13n2【解析】當(dāng)n1時(shí)，n35n6,34n152n1368,62n117,42n13n291.只有91能被13整除【答案】D5用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()Ak2B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2【解析】當(dāng)nk時(shí)，左端123k2，當(dāng)nk1時(shí)，左端123k2(k21)(k22)(k1)2.故當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k1)2.【答案】D6若不等式>對大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為()A12B13C14D不存在【解析】令f(n)易知f(n)是單調(diào)遞增的f(n)的最小值為f(2).依題意>，m<14.因此取m13.【答案】B7用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1<2(n2，nN)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A1<2B1<2C1<2D1<2【解析】n2，第一步應(yīng)是n2時(shí)，1 <2.【答案】A8設(shè)nN，則4 n與3n的大小關(guān)系是()A4n>3nB4n3nC4n<3nD不確定【解析】4n(13)n.根據(jù)貝努利不等式，有(13)n1n×313n>3n，即4n>3n.【答案】A9若k棱柱有f(k)個(gè)對角面，則k1棱柱有對角面的個(gè)數(shù)為()A2f(k)Bk1f(k)Cf(k)kDf(k)2【解析】由nk到nk1時(shí)增加的對角面的個(gè)數(shù)與底面上由nk到nk1時(shí)增加的對角線的條數(shù)一樣，設(shè)底面為A1A2Ak，nk1時(shí)底面為A1A2A3AkAk1，增加的對角線為A2Ak1，A3Ak1，A4Ak1，Ak1Ak1，A1Ak，共有k1條，因此，對角面也增加了k1個(gè)【答案】B10用數(shù)學(xué)歸納法證明cos cos 3cos(2n1)(k，kZ，nN)，在驗(yàn)證n1時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是()A.B.cos C.cos cos 3D.cos cos 2cos 3【解析】首項(xiàng)為，末項(xiàng)為cos(2×11)cos .【答案】B11如果命題P(n)對于nk成立，則它對nk2亦成立，又若P(n)對n2成立，則下列結(jié)論正確的是()AP(n)對所有自然數(shù)n成立BP(n)對所有偶自然數(shù)n成立CP(n)對所有正自然數(shù)n成立DP(n)對所有比1大的自然數(shù)n成立【解析】因?yàn)閚2時(shí)，由nk2的“遞推”關(guān)系，可得到n4成立，再得到n6成立，依次類推，因此，命題P(n)對所有的偶自然數(shù)n成立【答案】B12在數(shù)列an中，a1且Snn(2n1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為()A.B.C. D.【解析】a1，由Snn(2n1)an得，a1a22(2×21)a2，解得a2，a1a2a33×(2×31)a3，解得a3，a1a2a3a44(2×41)a4，解得a4.【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分請把答案填在題中橫線上)13探索表達(dá)式A(n1)(n1)！(n2)(n2)！2×1！1×1！(n>1且nN)的結(jié)果時(shí)，第一步n_時(shí)，A_.【解析】 第一步n2時(shí)，A(21)(21)！1.【答案】2114已知數(shù)列，則S1，S2，S3，S4的值分別是_ ，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想Sn_.【解析】S1，S2，S3，S4，猜想Sn.【答案】，15證明1>(nN)，假設(shè)nk時(shí)成立，當(dāng)nk1時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是_【解析】左邊增加的項(xiàng)數(shù)為2k112k12k.【答案】2k16在ABC中，不等式成立；在四邊形ABCD中，不等式成立；在五邊形ABCDE中，不等式成立猜想在n邊形A1A2An中，其不等式為_【解析】，所以在n邊形A1A2An中，.【答案】三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)設(shè)nN，求證：3n>2n.【證明】3n(12)n，根據(jù)貝努利不等式，有(12)n1n×212n.上式右邊舍去1，得(12)n>2n.3n>2n成立18(本小題滿分12分)求證：62n3n23n是11的倍數(shù)(nN)【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，62×13123166，是11的倍數(shù)(2)假設(shè)nk(kN，且k1)時(shí)，命題成立，即62k3k23k是11的倍數(shù)則當(dāng)nk1時(shí)，62(k1)3k33k162k23k33k136·62k3·3k23·3k33·62k3·62k3·3k23·3k33·62k3(62k3k23k)由假設(shè)可知3(62k3k23k)是11的倍數(shù)，而33·62k也是11的倍數(shù)，即nk1時(shí)，原命題正確由(1)(2)可知，對任意nN原命題成立19(本小題滿分12分)求證：平面上通過同一點(diǎn)的n條直線分平面為2n部分【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，一條直線把平面分成兩部分，故命題成立(2)假設(shè)nk(k1)時(shí)，平面上通過同一點(diǎn)的k條直線把平面分成2k個(gè)部分，設(shè)第(k1)條直線落在相鄰的兩條直線之間，它把這兩條直線所圍成的平面上的兩個(gè)區(qū)域變成4個(gè)區(qū)域，也即增加一條直線后，平面上的區(qū)域共有2k22(k1)個(gè)，故命題對于nk1也成立由(1)、(2)知原命題對于任何正整數(shù)n都成立20(本小題滿分12分)求證：>(n2，且nN)【證明】(1)當(dāng)n2時(shí)，>0，不等式成立(2)假設(shè)nk(k2，kN)時(shí)，原不等式成立即>.則當(dāng)nk1時(shí)，左邊>>(共2k1個(gè)).當(dāng)nk1時(shí)，原不等式成立由(1)、(2)知，原不等式對n2的所有的自然數(shù)都成立故>(n2，nN)21(本小題滿分12分)如果數(shù)列an滿足條件：a14，an1(n1,2，)，證明：對任何自然數(shù)n，都有an1>an且an<0.【證明】(1)由于a14，a2>a1.且a1<0，因此，當(dāng)n1時(shí)不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，ak1>ak且ak<0.那么ak1<0.當(dāng)nk1時(shí)，有ak2，ak2ak1>0.因此ak2>ak1且ak1<0這就是說，當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立，根據(jù)(1)(2)，不等式對任何自然數(shù)n都成立因此，對任何自然數(shù)n，都有an1>an且an<0.22(本小題滿分12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，an的等差中項(xiàng)為1.(1)寫出a1，a2，a3；(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明【解】(1)由題意Snan2，可得a11，a2，a3.(2)猜想an()n1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，a11，()n1()01，等式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即ak()k1，則當(dāng)nk1時(shí)，由Sk1ak12，Skak2，得(Sk1Sk)ak1ak0，即2ak1ak，ak1ak()·()k1()(k1)1.即當(dāng)nk1時(shí)，等式成立由可知，對nN，an()n1.