2022人教A版數(shù)學(xué)必修五 課時(shí)作業(yè)23 《基本不等式》 一、選擇題(每小題6分，共計(jì)36分) 1．下列選項(xiàng)中正確的是(　　) A．當(dāng)a，b∈R時(shí)，＋≥2＝2 B．當(dāng)a>1，b>1時(shí)，lga＋lgb≥2 C．當(dāng)a∈R時(shí)，a＋≥2＝6 D．當(dāng)ab<0時(shí)，－ab－≤－2 解析：選項(xiàng)A中，可能<0，所以A不正確； 選項(xiàng)C中，當(dāng)a<0時(shí)，a＋<0，所以C不正確； 選項(xiàng)D中，當(dāng)ab<0時(shí)，－ab>0，－>0， 則－ab－≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)－ab＝－，即ab＝－1時(shí)取等號，所以D不正確； 很明顯，選項(xiàng)B中當(dāng)a>1，b>1時(shí)，lga>0，lgb>0， 則lga＋lgb≥2成立，所以B正確． 答案：B 2．設(shè)a>b>0，下列不等式中不正確的是(　　) A．a(chǎn)b< B．a(chǎn)b<()2 C.> D.> 解析：<＝. 答案：C 3．設(shè)x是實(shí)數(shù)，且滿足等式＋＝cosθ，則實(shí)數(shù)θ等于(　　) A．2kπ(k∈Z) B．(2k＋1)π(k∈Z) C．kπ(k∈Z) D.kπ(k∈Z) 解析：若x>0，由＋≥2＝1 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號， ∴cosθ＝1. 同理，當(dāng)x＝－1時(shí)，cosθ＝－1. ∴cosθ＝±1，∴θ＝kπ(k∈Z)． 故選C. 答案：C 4．已知a>0，b>0，a＋b＝4，則下列各式中正確的不等式是(　　) A.＋≤ B.＋≥1 C.≥2 D.≥1 解析：由a>0，b>0，知≥. 又a＋b＝4，∴ab≤4，∴≥. ∴＋＝＝≥1， 即＋≥1. 答案：B 5．如果0<a<b且a＋b＝1，那么下列四個(gè)數(shù)中最大的是(　　) A. B．b C．2ab D．a(chǎn)2＋b2 解析：由0<a<b且a＋b＝1知，b>，ab<，于是ab<＝()2＝，2ab<.由b>，2ab>a，于是b>a＋b－2ab＝1－2ab＝(a＋b)2－2ab＝a2＋b2. 答案：B 6．已知f(x)＝()x，a，b∈R＋，A＝f()，G＝f()，H＝f()，則A，G，H的大小關(guān)系是(　　) A．A≤G≤H B．A≤H≤G C．G≤H≤A D．H≤G≤A 解析：∵a>0，b>0，∴≥≥＝.又∵函數(shù)f(x)＝()x是減函數(shù)，∴A≤G≤H.故選A. 答案：A 二、填空題(每小題8分，共計(jì)24分) 7．若x>0，則5－2x－有________值是________． 解析：∵x>0，∴2x＋≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)等號成立． ∴5－2x－≤5－2. 答案：最大　5－2 8．若a>1,0<b<1，則logab＋logba的取值范圍是________． 解析：∵a>1,0<b<1，∴l(xiāng)ogab<0，logba<0，∴－(logab＋logba)＝(－logab)＋(－logba)≥2，∴l(xiāng)ogab＋logba≤－2. 答案：(－∞，－2] 9．函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny－1＝0(mn>0)上，則＋的最小值為________． 解析：由題意知A(1,1)，∴m＋n＝1， ∴＋＝(＋)(m＋n)＝2＋＋≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)“＝”成立． 答案：4 三、解答題(共計(jì)40分) 10．(10分)判斷下列各式的正誤，并說明理由． (1)f(x)＝＋3x的最小值為12； (2)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝＋2x≥2＝2，∴當(dāng)且僅當(dāng)x2＝2x即x＝2時(shí)，取最小值； (3)x>0時(shí)，x＋＋的最小值為2. 解：(1)錯(cuò)誤．∵x的正負(fù)不知，所以分x>0與x<0兩種情況進(jìn)行討論． 當(dāng)x>0時(shí)， f(x)＝＋3x≥2＝12， 當(dāng)且僅當(dāng)＝3x，即x＝2時(shí)，等號成立， ∴x>0時(shí)， f(x)有最小值12. x<0時(shí)， f(x)＝＋3x＝－[－＋(－3x)]． ∵－＋(－3x)≥2＝12， ∴f(x)≤－12，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－2時(shí)等號成立． ∴當(dāng)x<0時(shí)， f(x)有最大值－12. (2)錯(cuò)誤．∵·2x不為定值(常數(shù))， ∴x＝2時(shí)， f(x)取不到最小值． (3)錯(cuò)誤．等號當(dāng)且僅當(dāng)x＋＝ 即(x＋)2＝1時(shí)成立， 又x>0，∴x＋＝1，即x2－x＋1＝0，此方程無解， ∴等號取不到，應(yīng)該有x＋＋>2. 11．(15分)已知a，b，c均為正數(shù)，a，b，c不全相等．求證：＋＋>a＋b＋c. 證明：∵a>0，b>0，c>0， ∴＋≥2＝2c，＋≥2＝2a， ＋≥2＝2b. 又a，b，c不全相等，故上述等號至少有一個(gè)不成立． ∴＋＋>a＋b＋c. 12．(15分)已知函數(shù)f(x)＝lgx(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，比較[f(x1)＋f(x2)]與f的大小，并加以證明． 解：[f(x1)＋f(x2)]≤f. ∵f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lg(x1x2)， f＝lg， 又∵x1，x2∈R＋，x1x2≤2， ∴l(xiāng)g(x1x2)≤lg2. ∴l(xiāng)g(x1x2)≤lg. 即(lgx1＋lgx2)≤lg. ∴[f(x1)＋f(x2)]≤f， 當(dāng)且僅當(dāng)x1＝x2時(shí)，等號成立．