第6章 數(shù)列全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式本章在高考中一般考查2道小題或1道解答題，分值占1012分.2.考查內(nèi)容高考對小題的考查一般以等差、等比數(shù)列的基本量運算、性質(zhì)及數(shù)列的遞推公式等為主解答題一般考查數(shù)列的通項公式、前n項和公式、等差、等比數(shù)列的判定及計算、錯位相減法、裂項相消法、公式法求和.3.備考策略(1)熟練掌握以下內(nèi)容及方法根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項公式的常用方法；等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式；等差、等比數(shù)列的性質(zhì)；等差、等比數(shù)列的判定方法；數(shù)列求和方法：分組轉(zhuǎn)化法求和、錯位相減法求和、裂項相消法求和.(2)重視分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)列中的應(yīng)用.第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法最新考綱1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)(對應(yīng)學(xué)生用書第93頁)1數(shù)列的概念(1)數(shù)列的定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(2)數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖像法和通項公式法2數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限單調(diào)性遞增數(shù)列an1>an其中nN*遞減數(shù)列an1<an常數(shù)列an1anc(常數(shù))擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列的通項公式如果數(shù)列an的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式4數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項)，且從第2項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法5an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項和為Sn，通項公式為an，則an1數(shù)列an是遞增數(shù)列an1an恒成立2數(shù)列an是遞減數(shù)列an1an恒成立一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達()(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出的數(shù)列的通項公式可能不止一個()(3)如果數(shù)列an的前n項和為Sn，則對任意nN*，都有an1Sn1Sn.()(4)若已知數(shù)列an的遞推公式為an1，且a21，則可以寫出數(shù)列an的任何一項()答案(1)×(2)(3)(4)二、教材改編1數(shù)列1，的一個通項公式為()Aan±Ban(1)n·Can(1)n1DanB由a11，代入檢驗可知選B.2在數(shù)列an中，已知a1，an11，則a3()A3B.C5D.Da215，a311.3把3,6,10,15,21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為以這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形(如圖所示)則第6個三角形數(shù)是()A27B28 C29D30B由題圖可知，第6個三角形數(shù)是123456728.4已知數(shù)列an中，a11，a22，以后各項由anan1an2(n2)給出，則a5_.8a3a2a13，a4a3a25，a5a4a38.(對應(yīng)學(xué)生用書第94頁)考點1由數(shù)列的前n項歸納數(shù)列的通項公式解答具體策略：相鄰項的變化規(guī)律；各項的符號規(guī)律和其絕對值的變化規(guī)律；分式中分子、分母的變化規(guī)律，分子與分母之間的關(guān)系；合理拆項；結(jié)構(gòu)不同的項，化異為同根據(jù)下面各數(shù)列前n項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式(1)，；(2)，2，8，；(3)5,55,555,5555，；(4)1,3,1,3，；(5)，；(6)1,1，2,2，3,3，.解(1)數(shù)列中各項的符號可通過(1)n1表示每一項絕對值的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，所以an(1)n1.(2)數(shù)列的各項，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察即，分子為項數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個通項公式為an.(3)將原數(shù)列改寫為×9，×99，×999，易知數(shù)列9,99,999，的通項為10n1，故所求的數(shù)列的一個通項公式為an(10n1)(4)這個數(shù)列的前4項構(gòu)成一個擺動數(shù)列，奇數(shù)項是1，偶數(shù)項是3，所以數(shù)列的一個通項公式為an2(1)n.(5)這是一個分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，每一項都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積，分子依次為2,4,6，相鄰的偶數(shù)故所求數(shù)列的一個通項公式為an.(6)數(shù)列的奇數(shù)項為1，2，3，可用表示，數(shù)列的偶數(shù)項為1,2,3，可用表示因此an(1)記住常見數(shù)列的通項公式，有些數(shù)列可用常見數(shù)列表示，如T(3)(2)對于奇數(shù)項和偶數(shù)項不能用同一表達式表示的數(shù)列，可用分段函數(shù)表示，如T(6)考點2由an與Sn的關(guān)系求通項公式已知Sn求an的三個步驟(1)先利用a1S1，求出a1；(2)用n1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時an的表達式；(3)注意檢驗n1時的表達式是否可以與n2的表達式合并(1)若數(shù)列an的前n項和Sn3n22n1，則數(shù)列an的通項公式an_.(2)(2018·全國卷)記Sn為數(shù)列an的前n項和若Sn2an1，則S6_.(3)已知數(shù)列an滿足a12a23a3nan2n，則an_.(1)(2)63(3)(1)當(dāng)n1時，a1S13×122×112；當(dāng)n2時，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，顯然當(dāng)n1時，不滿足上式故數(shù)列的通項公式為an(2)由Sn2an1得S12a11，即a12a11，解得a11.又Sn12an11(n2)，所以an2an2an1，即an2an1.所以數(shù)列an是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以S612663.(3)當(dāng)n1時，由已知，可得a1212，a12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由得nan2n2n12n1，an(n2)顯然當(dāng)n1時不滿足上式，ananSnSn1只適用于n2的情形，易忽略求a1，造成錯解，如T(1)，T(3)1.(2019·鄭州模擬)已知Sn為數(shù)列an的前n項和，且log2(Sn1)n1，則數(shù)列an的通項公式為_an由log2(Sn1)n1得Sn12n1，即Sn2n11.當(dāng)n1時，a1S121113.當(dāng)n2時，anSnSn1(2n11)(2n1)2n，顯然a13不滿足上式，所以an2已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，且對任意nN*，均有2Snaan，則an_.n由2Snaan得2Sn1aan1，2anaaanan1，即aaanan1，又an0，anan11，又2S1aa1，解得a11，數(shù)列an是首項為1，公差為1的等差數(shù)列an1(n1)×1n.考點3由遞推公式求數(shù)列的通項公式由數(shù)列的遞推公式求通項公式的常用方法(1)形如an1anf(n)，可用累加法求an.(2)形如an1anf(n)，可用累乘法求an.(3)形如an1AanB(A0且A1)，可構(gòu)造等比數(shù)列求an.(4)形如an1，可通過兩邊同時取倒數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列求解形如an1anf(n)，求an在數(shù)列an中，a12，an1an3n2(nN*)，求數(shù)列an的通項公式解an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(3n1)(3n4)852，ann2.求解時，易錯誤地認(rèn)為an(anan1)(an1an2)(a2a1)造成錯解形如an1anf(n)，求an已知數(shù)列an滿足a14，an1an，求數(shù)列an的通項公式解由an1an得，(n2)，an······a1······4××2×1×4，即an.求解時易錯誤地認(rèn)為an·····，造成錯解形如an1AanB(A0且A1)，求an已知數(shù)列an滿足a11，an13an2，求數(shù)列an的通項公式解an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故數(shù)列an1是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，an12·3n1，因此an2·3n11.an1AanB可轉(zhuǎn)化為an1kA(ank)的形式，其中k可用待定系數(shù)法求出1.(2019·泰安模擬)已知數(shù)列an滿足a12，an1an2n11，則an_.2n1n由an1an2n11得an1an2n11，anan12n21(n2)，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a12n22n321(n1)2n12n1n，即an2n1n.2已知數(shù)列an滿足a11，an12nan，則an_.2an12nan，2n，2n1(n2)，an····a12n1·2n2··2·12123(n1)2，即an2.3已知數(shù)列an滿足a11，an12an3，則an_.2n13由an12an3得an132(an3)又a11，a134.故數(shù)列an3是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，an34·2n12n1，an2n13.考點4數(shù)列的周期性先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期求值(1)數(shù)列an滿足an1a1，則數(shù)列的第2 020項為_(2)在數(shù)列an中，a10，an1，則S2 020_.(1)(2)0(1)因為a1，故a22a11，a32a2，a42a3，a52a41，a62a51，a72a6，故數(shù)列an是周期數(shù)列且周期為4，故a2 020a505×4a4.(2)a10，an1，a2，a3，a40，即數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列，且a1a2a30，則S2 020S3×6731a10.求解時，易算錯數(shù)列的周期，可計算數(shù)列的前幾項，直至找到和a1相同的項ak，則數(shù)列的周期為k1.教師備選例題已知數(shù)列an滿足an1，若a1，則a2 020()A1B.C1D2B由a1，an1，得a22，a31，a4，a52，于是可知數(shù)列an是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2 020a3×6731a1.1.已知數(shù)列an滿足a11，an1a2an1(nN*)，則a2 020_.0a11，an1a2an1(an1)2，a2(a11)20，a3(a21)21，a4(a31)20，可知數(shù)列an是以2為周期的周期數(shù)列，a2 020a20.2(2019·青島模擬)已知數(shù)列2 008,2 009,1，2 008，若這個數(shù)列從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前2 020項之和S2 020_.2 010由題意知a12 008，a22 009，a31，a42 008，a52 009，a61，a72 008，a82 009，因此數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且a1a2a60，S2 020S6×3364336×0a1a2a3a42 010.- 9 -