2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-7正弦定理、余弦定理教案1正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C變形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(5)cos A cos B；cos C2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R、r.3在ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin A<a<baba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)在ABC中，A>B必有sin A>sin B()(2)若滿足條件C60°，AB，BCa的ABC有兩個，那么a的取值范圍是(，2)()(3)若ABC中，acos Bbcos A，則ABC是等腰三角形()(4)在ABC中，tan Aa2，tan Bb2，那么ABC是等腰三角形(×)(5)當(dāng)b2c2a2>0時，三角形ABC為銳角三角形；當(dāng)b2c2a20時，三角形為直角三角形；當(dāng)b2c2a2<0時，三角形為鈍角三角形(×)(6)在ABC中，AB，AC1，B30°，則ABC的面積等于.(×)1(xx·湖南改編)在銳角ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b，若2asin Bb，則角A .答案解析在ABC中，利用正弦定理得2sin Asin Bsin B，sin A.又A為銳角，A.2在ABC中，若sin2Asin2B<sin2C，則ABC的形狀是 三角形答案鈍角解析sin2Asin2B<sin2C，a2b2<c2，cos C<0，C>，ABC為鈍角三角形3(xx·江西改編)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，C，則ABC的面積是 答案解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C×6×.4(xx·廣東)在ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知bcos Cccos B2b，則 .答案2解析方法一因為bcos Cccos B2b，所以b·c·2b，化簡可得2.方法二因為bcos Cccos B2b，所以sin Bcos Csin Ccos B2sin B，故sin(BC)2sin B，故sin A2sin B，則a2b，即2.題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(xx·山東)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值解(1)由余弦定理得：cos B，即a2c24ac.(ac)22ac4ac，ac9.由得ac3.(2)在ABC中，cos B，sin B .由正弦定理得：，sin A.又AC，0<A<，cos A，sin (AB)sin Acos Bcos Asin B××.思維升華(1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到(2)三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷(1)(xx·天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知bca,2sin B3sin C，則cos A的值為 (2)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos A，cos B，b3，則c .答案(1)(2)解析(1)由2sin B3sin C及正弦定理得2b3c，即bc.又bca，ca，即a2c.由余弦定理得cos A.(2)在ABC中，cos A>0，sin A.cos B>0，sin B.sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B××.由正弦定理知，c.題型二利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀例2在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C，試判斷ABC的形狀解(1)由2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos A，0°<A<180°，A60°.(2)ABC180°，BC180°60°120°.由sin Bsin C，得sin Bsin(120°B)，sin Bsin 120°cos Bcos 120°sin B.sin Bcos B，即sin(B30°)1.0°<B<120°，30°<B30°<150°.B30°90°，B60°.ABC60°，ABC為等邊三角形思維升華(1)三角形的形狀按邊分類主要有：等腰三角形，等邊三角形等；按角分類主要有：直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形等判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別(2)邊角轉(zhuǎn)化的工具主要是正弦定理和余弦定理(1)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若<cos A，則ABC為 鈍角三角形 直角三角形銳角三角形 等邊三角形(2)在ABC中，cos2(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則ABC的形狀為 等邊三角形直角三角形等腰三角形或直角三角形等腰直角三角形答案(1)(2)解析(1)已知<cos A，由正弦定理，得<cos A，即sin C<sin Bcos A，所以sin(AB)<sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A<0，所以cos Bsin A<0.又sin A>0，于是有cos B<0，B為鈍角，所以ABC是鈍角三角形(2)cos2，(1cos B)·cac，acos B·c，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC為直角三角形題型三和三角形面積有關(guān)的問題例3(xx·浙江)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；(2)若sin A，求ABC的面積解(1)由題意得sin 2Asin 2B，即sin 2Acos 2Asin 2Bcos 2B，sinsin.由ab，得AB.又AB(0，)，得2A2B，即AB，所以C.(2)由c，sin A，得a.由a<c，得A<C，從而cos A，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以，ABC的面積為Sacsin B.思維升華三角形面積公式的應(yīng)用原則：(1)對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化(1)(xx·課標(biāo)全國改編)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2，B，C，則ABC的面積為 (2)(xx·山東)在ABC中，已知·tan A，當(dāng)A時，ABC的面積為 答案(1)1(2)解析(1)因為B，C，所以A.由正弦定理得，解得c2.所以三角形的面積為bcsin A×2×2sin .因為sin sin××，所以bcsin A2×1.(2)已知A，由題意得|cos tan ，|，所以ABC的面積S|sin ××.三角變換不等價致誤典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)·sin(AB)，試判斷ABC的形狀易錯分析(1)從兩個角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略兩角互補情形；(2)代數(shù)運算中兩邊同除一個可能為0的式子，導(dǎo)致漏解；(3)結(jié)論表述不規(guī)范規(guī)范解答解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos B·b22cos Asin B·a2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.方法一由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sin A·sin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC中，0<2A<2，0<2B<2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC為等腰三角形或直角三角形方法二由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.ABC為等腰三角形或直角三角形溫馨提醒(1)判斷三角形形狀要對所給的邊角關(guān)系式進行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶?，然后進行判斷；(2)在三角變換過程中，一般不要兩邊約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解；在利用三角函數(shù)關(guān)系推證角的關(guān)系時，要注意利用誘導(dǎo)公式，不要漏掉角之間關(guān)系的某種情況.方法與技巧1應(yīng)熟練掌握和運用內(nèi)角和定理：ABC，中互補和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)2正弦、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運用，如由正弦、余弦定理結(jié)合得sin2Asin2Bsin2C2sin B·sin C·cos A，可以進行化簡或證明3在解三角形或判斷三角形形狀時，要注意三角函數(shù)值的符號和角的范圍，防止出現(xiàn)增解、漏解失誤與防范1在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有時可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進行分類討論2利用正弦、余弦定理解三角形時，要注意三角形內(nèi)角和定理對角的范圍的限制.A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)1在ABC中，若A60°，B45°，BC3，則AC .答案2解析由正弦定理得，所以AC2.2在ABC中，AB12，sin C1，則abc .答案12解析由sin C1，C，由AB12，故AB3A，得A，B，由正弦定理得，abcsin Asin Bsin C12.3(xx·遼寧)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，則B .答案解析由條件得sin Bcos Csin Bcos A，由正弦定理，得sin Acos Csin Ccos A，sin(AC)，從而sin B，又ab，且B(0，)，因此B.4ABC中，AC，BC2，B60°，則BC邊上的高為 答案解析設(shè)ABa，則由AC2AB2BC22AB·BC·cos B知7a242a，即a22a30，a3(負值舍去)BC邊上的高為AB·sin B3×.5(xx·課標(biāo)全國改編)鈍角三角形ABC的面積是，AB1，BC，則AC .答案解析SAB·BCsin B×1×sin B，sin B，B或.當(dāng)B時，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22AB·BCcos B1225，AC，此時ABC為鈍角三角形，符合題意；當(dāng)B時，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22AB·BCcos B1221，AC1，此時AB2AC2BC2，ABC為直角三角形，不符合題意故AC.6在ABC中，若b5，B，sin A，則a .答案解析根據(jù)正弦定理應(yīng)有，a.7在ABC中，若AB，AC5，且cos C，則BC .答案4或5解析設(shè)BCx，則由余弦定理AB2AC2BC22AC·BCcos C得525x22·5·x·，即x29x200，解得x4或x5.8(xx·福建)在ABC中，A60°，AC4，BC2，則ABC的面積等于 答案2解析如圖所示，在ABC中，由正弦定理得，解得sin B1，所以B90°，所以SABC×AB×2××22.9(xx·北京)在ABC中，a3，b2，B2A.(1)求cos A的值；(2)求c的值解(1)在ABC中，由正弦定理，cos A.(2)由余弦定理，a2b2c22bccos A32(2)2c22×2c×，則c28c150.c5或c3.當(dāng)c3時，ac，AC.由ABC，知B，與a2c2b2矛盾c3舍去故c的值為5.10(xx·遼寧)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a>c，已知·2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值解(1)由·2得c·acos B2.又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c292×6×13.解得或因為a>c，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B ，由正弦定理，得sin Csin B×.因為ab>c，所以C為銳角，因此cos C .于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C××.B組專項能力提升(時間：20分鐘)1ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，則 .答案解析asin Asin Bbcos2Aa，sin Asin Asin Bsin Bcos2Asin A，sin Bsin A，.2在ABC中，若b5，B，tan A2，則a .答案2解析由tan A2得sin A2cos A.又sin2Acos2A1得sin A.b5，B，根據(jù)正弦定理，有，a2.3(xx·江蘇)若ABC的內(nèi)角滿足sin Asin B2sin C，則cos C的最小值是 答案解析由sin Asin B2sin C，結(jié)合正弦定理得ab2c.由余弦定理得cos C，故cos C<1，故cos C的最小值為.4(xx·浙江)在ABC中，C90°，M是BC的中點若sinBAM，則sinBAC .答案解析因為sinBAM，所以cosBAM.如圖，在ABM中，利用正弦定理，得，所以.在RtACM中，有sinCAMsin(BACBAM)由題意知BMCM，所以sin(BACBAM)化簡，得2sinBACcosBACcos2BAC1.所以2tanBAC1tan2BAC1，解得tanBAC.再結(jié)合sin2BACcos2BAC1，BAC為銳角可解得sinBAC.5已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，角B所對的邊b，且函數(shù)f(x)2sin2x2sin xcos x在xA處取得最大值(1)求f(x)的值域及周期；(2)求ABC的面積解(1)因為A，B，C成等差數(shù)列，所以2BAC，又ABC，所以B，即AC.因為f(x)2sin2x2sin xcos x(2sin2x1)sin 2xsin 2xcos 2x2sin，所以T.又因為sin1,1，所以f(x)的值域為2,2(2)因為f(x)在xA處取得最大值，所以sin1.因為0<A<，所以<2A<，故當(dāng)2A時，f(x)取到最大值，所以A，所以C.由正弦定理，知c.又因為sin Asin，所以SABCbcsin A.