2022年人教A版高中數(shù)學 必修五 1-1-2余弦定理教案教學目標1知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。2.過程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，3情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。教學重、難點重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用；難點：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。學法學法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角教學過程：一、創(chuàng)設情景 C如圖11-4，在ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求邊c b aA c B(圖11-4)二、新課講解：聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。 A如圖11-5，設，那么，則 C B 從而 (圖11-5)同理可證 于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即 思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：理解定理從而知余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？（由學生總結(jié)）若ABC中，C=，則，這時由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。例題選講：例1在ABC中，已知，求b及A解：=cos=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即評述：解法二應注意確定A的取值范圍。變式訓練1：在ABC中，若b=4,c=6，A=600，求a的值。（答：2）例2（課本P7例4）在ABC中，已知，解三角形解：由余弦定理的推論得：cos；cos； 變式訓練2：在ABC中，若，求角A（答案：A=120）例3：在ABC中，bcosAacosB試判斷三角形的形狀解法一：利用余弦定理將角化為邊bcosAacosB,b·b2c2a2a2c2b2,a2b2,ab，故此三角形是等腰三角形解法二：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角bcosAacosB又b2sinB，a2sinA，2sinBcosA2sinAcosBsinAcosBcosAsinB0sin（AB）00A，B，AB，AB0 即AB故此三角形是等腰三角形變式訓練3：在ABC中，已知，判斷ABC的類型。解：，即，cos<0,角A為鈍角.所以.三、課堂小結(jié)（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的應用范圍：已知三邊求三角；已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。四、課時必記：余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即 五、作業(yè)：1、在ABC中，若a2b2+c2，則ABC為_；若a2=b2+c2，則ABC為_；若a2b2+c2且b2a2+c2且c2a2+b2，則ABC為_（答：鈍角三角形，直角三角形，銳角三角形）2、在ABC中，已知：(a+b+c)(a+b-c)=3ab，則角C=_(答：600)3、在ABC中，已知a=7，b=3，c=5，求最大角和sinC。（答：最大角為：A=1200，sinC=）4、在ABC中，B=300，AB=2，面積S=，求AC的長。（答：先求得BC=2，再求得AC=2）