2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 解三角形 小結(jié)教案 整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建警示·易錯(cuò)提醒1三角形解的個(gè)數(shù)的確定(易錯(cuò)點(diǎn))已知兩邊和其中一邊的對(duì)角不能唯一確定三角形，解這類三角形問(wèn)題可能出現(xiàn)一解、兩解、無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角”，此時(shí)一般用正弦定理，但也可用余弦定理(1)利用正弦定理討論：若已知a、b、A，由正弦定理，得sin B.若sin B1，無(wú)解；若sin B1，一解；若sin B1，兩解(2)利用余弦定理討論： 已知a、b、A.由余弦定理a2c2b22cbcos A，即c2(2bcos A)cb2a20，這是關(guān)于c的一元二次方程若方程無(wú)解或無(wú)正數(shù)解，則三角形無(wú)解；若方程有唯一正數(shù)解，則三角形一解；若方程有兩不同正數(shù)解，則三角形有兩解2三角形形狀的判定方法判定三角形形狀通常有兩種途徑：一是通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角(如：a2Rsin A，a2b2c22abcos C等)，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷此時(shí)注意一些常見(jiàn)的三角恒等式所體現(xiàn)的角之間的關(guān)系如：sin Asin BAB；sin (AB)0AB；sin 2Asin 2BAB或AB等；二是利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如：sin A(R為ABC外接圓半徑)，cos A等，通過(guò)代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷 3.解三角形應(yīng)用題的基本思路解三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題來(lái)解決其基本解題思路是：首先分析此題屬于哪種類型的問(wèn)題(如測(cè)量距離、高度、角度等)，然后依題意畫出示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系)，最后確定用哪個(gè)定理轉(zhuǎn)化，哪個(gè)定理求解，并進(jìn)行作答解題時(shí)還要注意近似計(jì)算的要求(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P22)專題一利用正、余弦定理解三角形(自主研析)例1ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.已知c2，C.(1)若ABC的面積等于，求a，b；(2)若sin B2sin A，求ABC的面積自主解答(1)由余弦定理得a2b2ab4.又因?yàn)锳BC的面積等于，所以absin C，得ab4.聯(lián)立方程組解得a2，b2.(2)由正弦定理已知條件可化為b2a，聯(lián)立方程組解得a，b，所以ABC的面積Sabsin C.歸納升華正、余弦定理應(yīng)用需注意的三個(gè)方面(1)正弦定理和余弦定理提示了三角形邊角之間的關(guān)系，解題時(shí)要根據(jù)題目條件恰當(dāng)?shù)貙?shí)現(xiàn)邊角的統(tǒng)一(2)統(tǒng)一為“角”后，要注意正確利用三角恒等變換及誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形；統(tǒng)一為“邊”后，要注意正確利用配方、因式分解等代數(shù)變換方法進(jìn)行變形(3)求值時(shí)注意方程思想的運(yùn)用變式訓(xùn)練ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求角B的大??；(2)若A75°，b2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos B.故cos B，因此B45°.(2)sin Asin(30°45°)sin 30°cos45°cos 30°sin 45°.故ab×1.由已知得，C180°45°75°60°，cb×2×.專題二判斷三角形的形狀問(wèn)題例2在ABC中，如果lg alg clg sin Blg，且B為銳角，試判斷此三角形的形狀解：因?yàn)閘g sin Blg，所以sin B，又因?yàn)?°B90°，所以B45°.由lg alg clg，得.由正弦定理得即2sin(135°C)sin C，即2(sin 135°cos Ccos 135°sin C)sin C所以cos C0，得C90°，又因?yàn)锳45°，所以B45°，從而ABC是等腰直角三角形歸納升華利用正、余弦定理判斷三角形形狀的方法主要有兩種方法：方法一，通過(guò)邊之間的關(guān)系判斷形狀；方法二，通過(guò)角之間的關(guān)系判斷形狀利用正、余弦定理可以將已知條件中的邊、角互化，把條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系變式訓(xùn)練在ABC中，若B60°，2bac，試判斷ABC的形狀解：法一：由正弦定理，得2sin Bsin Asin C.因?yàn)锽60°，所以AC120°.所以2sin 60°sin(120°C)sin C.展開(kāi)整理得sin Ccos C1.所以sin(C30°)1.因?yàn)?C120°，所以C30°90°.所以C60°.故A60°.所以ABC為等邊三角形法二：由余弦定理，得b2a2c22accos B.因?yàn)锽60°，b，所以a2c22accos 60°，化簡(jiǎn)得(ac)20，所以ac.又B60°，所以abc.所以ABC為等邊三角形專題三正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例3航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔10 000 m，速度為180 km/h，飛機(jī)先看到山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過(guò)420 s后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，求山頂?shù)暮０胃叨?取1.4，1.7)解：如圖所示，根據(jù)題意可得A15°，DBC45°，所以ACB30°，AB180×21(km)21 000(m)所以在ABC中，所以BC·sin 15°10 500()(m)因?yàn)镃DAD，所以CDBCsinCBD10 500()×10 500(1)10 500×(1.71)7 350(m)，所以，山頂?shù)暮０胃叨?0 0007 3502 650(m)歸納升華正、余弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用(1)以三角形為載體，以正、余弦定理為工具，以三角恒等變換為手段來(lái)考查三角形問(wèn)題是近年高考的一類熱點(diǎn)題型在具體解題時(shí)，除了熟練使用正、余弦定理外，也要根據(jù)條件合理選用三角函數(shù)公式，達(dá)到化簡(jiǎn)問(wèn)題的目的(2)解三角形問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題在高考中，出題者有時(shí)會(huì)利用平面向量等知識(shí)給出問(wèn)題的某些條件，這些知識(shí)一般只起到“點(diǎn)綴”作用，難度較小變式訓(xùn)練(1)如圖所示，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC.小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路AD，DC，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120°.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長(zhǎng)(精確到1米)(2)在ACB中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且ac，已知·2，cos B，b3，求：a和c的值；cos(BC)的值(1)解：法一：設(shè)該扇形的半徑為r米，由題意，得CD500 米，DA300 米，CDO60°.在CDO中，CD2OD22·CD·OD·cos 60°OC2，即5002(r300)22×500×(r300)×r2，解得r445 (米)法二：連接AC，作OHAC，交AC于點(diǎn)H，由題意，得CD500米，AD300米，CDA120°.在ACD中，AC2CD2AD22·CD·AD·cos 120°500230022×500×300×7002，所以AC700(米)cosCAD.在RtHAO中，AH350(米)，cosHAO，所以O(shè)A445(米)(2)解：由·2，得c·acos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c2322×6×13.解得或因?yàn)閍c，所以a3，c2.在ABC中，sin B ，由正弦定理，得sin Csin B×.因abc，所以C為銳角，因此cos C.于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C××.