2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-4 不等式的證明教案1不等式證明的方法(1)比較法：作差比較法：知道a>bab>0，a<bab<0，因此要證明a>b只要證明ab>0即可，這種方法稱為作差比較法作商比較法：由a>b>0>1且a>0，b>0，因此當a>0，b>0時，要證明a>b，只要證明>1即可，這種方法稱為作商比較法(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過推理論證，最終推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法叫綜合法即“由因?qū)Ч钡姆椒?3)分析法：從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個已成立的不等式(已知條件、定理等)，從而得出要證的不等式成立，這種證明方法叫分析法即“執(zhí)果索因”的方法(4)反證法和放縮法：先假設要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明假設不正確，從而證明原命題成立，這種方法叫做反證法在證明不等式時，有時要把所證不等式的一邊適當?shù)胤糯蠡蚩s小，此利于化簡并使它與不等式的另一邊的關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法(5)數(shù)學歸納法：一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：證明當nn0時命題成立；假設當nk (kN*，且kn0)時命題成立，證明nk1時命題也成立在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立這種證明方法稱為數(shù)學歸納法2幾個常用基本不等式(1)柯西不等式：柯西不等式的代數(shù)形式：設a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2(當且僅當adbc時，等號成立)柯西不等式的向量形式：設，為平面上的兩個向量，則|·|，等號當且僅當，共線時成立柯西不等式的三角不等式：設x1，y1，x2，y2，x3，y3R，則.柯西不等式的一般形式：設n為大于1的自然數(shù)，ai，bi (i1,2，n)為實數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，等號當且僅當時成立(當ai0時，約定bi0，i1,2，n)(2)算術(shù)幾何平均不等式若a1，a2，an為正數(shù)，則，當且僅當a1a2an時，等號成立1設a，b，m，nR，且a2b25，manb5，求的最小值解根據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值為.2若a，b，c(0，)，且abc1，求的最大值解()2(1×1×1×)2(121212)(abc)3.當且僅當abc時，等號成立()23.故的最大值為.3設x>0，y>0，若不等式0恒成立，求實數(shù)的最小值解x>0，y>0，原不等式可化為()(xy)2.2224，當且僅當xy時等號成立min4，即4，4.題型一用綜合法與分析法證明不等式例1(1)已知x，y均為正數(shù)，且x>y，求證：2x2y3；(2)設a，b，c>0且abbcca1，求證：abc.證明(1)因為x>0，y>0，xy>0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3.(2)因為a，b，c>0，所以要證abc，只需證明(abc)23.即證：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需證明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即證：a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(當且僅當abc時等號成立)成立所以原不等式成立思維升華用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實際應用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開闊視野設a、b、c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcac；(2)1.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由題設得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因為b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.題型二放縮法證明不等式例2若a，bR，求證：.證明當|ab|0時，不等式顯然成立當|ab|0時，由0<|ab|a|b|，所以.思維升華(1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧常見的放縮變換有：變換分式的分子和分母，如<，>，<，>.上面不等式中kN*，k>1；利用函數(shù)的單調(diào)性；真分數(shù)性質(zhì)“若0<a<b，m>0，則<”(2)在用放縮法證明不等式時，“放”和“縮”均需把握一個度設n是正整數(shù)，求證：<1.證明由2nnk>n(k1,2，n)，得<.當k1時，<；當k2時，<；當kn時，<，<1.原不等式成立題型三柯西不等式的應用例3已知x，y，z均為實數(shù)(1)若xyz1，求證：3；(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值(1)證明因為()2(121212)(3x13y23z3)27.所以3.當且僅當x，y，z0時取等號(2)解因為6x2y3z·，所以x2y2z2，當且僅當x即x，y，z時，x2y2z2有最小值.思維升華(1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進行證明(2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為：(aaa)()(111)2n2.在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù)且應注意等號成立的條件已知大于1的正數(shù)x，y，z滿足xyz3.求證：.證明由柯西不等式及題意得，()·(x2y3z)(y2z3x)(z2x3y)(xyz)227.又(x2y3z)(y2z3x)(z2x3y)6(xyz)18，當且僅當xyz時，等號成立證明不等式的方法和技巧：(1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法；如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān)，則考慮用數(shù)學歸納法等(2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明尤其是對含絕對值不等式的解法或證明，其簡化的基本思路是去絕對值號，轉(zhuǎn)化為常見的不等式(組)求解多以絕對值的幾何意義或“找零點、分區(qū)間、逐個解、并起來”為簡化策略，而絕對值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù)(3)在使用基本不等式時，等號成立的條件是一直要注意的事情，特別是連續(xù)使用時，要求分析每次使用時等號是否成立(4)柯西不等式使用的關(guān)鍵是出現(xiàn)其結(jié)構(gòu)形式，也要注意等號成立的條件.A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)1已知xy1，求2x23y2的最小值解由柯西不等式(2x23y2)·2(xy)21，2x23y2，當且僅當2x3y，即x，y時，等號成立所以2x23y2的最小值為.2設ab2，b>0，當取得最小值時，求a的值解由于ab2，所以，由于b>0，|a|>0，所以21，因此當a>0時，的最小值是1；當a<0時，的最小值是1.故的最小值為，此時即a2.3設a、b、c是正實數(shù)，且abc9，求的最小值解(abc)()2()2()2·218.2.的最小值為2.4設x，y，zR，且滿足：x2y2z21，x2y3z，求xyz.解由柯西不等式可得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，即(x2y3z)214，因此x2y3z.因為x2y3z，所以x，解得x，y，z，于是xyz.5已知ABC的三邊長分別為a，b，c.求證：abc.證明因為(bca)(cab)(abc)(abc)2，又abc>0，所以abc(當且僅當時取等號)6已知a，b，cR，且2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值解由柯西不等式得(441)×(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1)2(b2)2(c3)2，當且僅當c3時等號成立，(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是.B組專項能力提升(時間：30分鐘)7(xx·湖南)設a0，b0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a2與b2b2不可能同時成立證明由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假設a2a2與b2b2同時成立，則由a2a2及a0得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾故a2a2與b2b2不可能同時成立8已知：an(nN*)，求證：<an<.證明，nN*，>n，an>123n.<，an<(23n).綜上得<an<.9(1)關(guān)于x的不等式|x3|x4|<a的解集不是空集，求a的取值范圍；(2)設x，y，zR，且1，求xyz的取值范圍解(1)|x3|x4|(x3)(x4)|1，且|x3|x4|<a的解集不是空集，a>1，即a的取值范圍是(1，)(2)由柯西不等式，得42()222·()2()2()2(4××2×)2(xyz)2，即25×1(xyz)2.5|xyz|，5xyz5.xyz的取值范圍是5,510已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)(1)求的最小值；(2)求證：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.(1)解因為a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以3·3·3·3×6，當且僅當且ab，即ab且x1x21時，有最小值6.(2)證明方法一由a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，及柯西不等式可得：(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2·()2)2(··)2(ab)2x1x2，當且僅當，即x1x2時取得等號所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.方法二因為a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以(ax1bx2)(ax2bx1)a2x1x2abxabxb2x1x2x1x2(a2b2)ab(xx)x1x2(a2b2)ab(2x1x2)x1x2(a2b22ab)x1x2(ab)2x1x2，當且僅當x1x2時，取得等號所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.