2022人教A版數(shù)學(xué)必修五 課時作業(yè)12 等比數(shù)列 一、選擇題(每小題6分，共計36分) 1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝4，公比q＝3，則通項公式an等于(　　) A．3n　　　　　　　　　　　 B．4n C．3·4n－1 D．4·3n－1 解析：an＝a1·qn－1＝4·3n－1. 答案：D 2．在等比數(shù)列{an}中，a2 010＝8a2 007，則公比q的值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 解析：＝q3＝8，∴q＝2. 答案：A 3．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3·a9＝2a，a2＝1，則a1等于(　　) A. B. C. D．2 解析：設(shè)公比為q，由已知得a1q2a1q8＝2(a1q4)2， 則q2＝2，因為等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)， 所以q＝.所以a1＝＝＝. 答案：B 4．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17項順次成等比數(shù)列，則這個等比數(shù)列的公比是(　　) A．4 B．3 C．2 D. 解析：設(shè)公差為d，則a＝a1a17， 即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，整理，得a1＝2d. 所以＝＝＝3. 答案：B 5．若a，b，c成等比數(shù)列，則函數(shù)y＝ax2＋2bx＋c的圖象與x軸的交點個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．不確定 解析：∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，函數(shù)y＝ax2＋2bx＋c的二次項系數(shù)a≠0，且Δ＝(2b)2－4ac＝4(b2－ac)，∴Δ＝4(b2－ac)＝4(ac－ac)＝0.故函數(shù)y＝ax2＋2bx＋c的圖象與x軸只有一個交點．故選B. 答案：B 6．已知等比數(shù)列{an}中，各項都是正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則＝(　　) A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)， 因為a1，a3,2a2成等差數(shù)列， 則a1＋2a2＝a3，即a1＋2a1q＝a1q2. 則1＋2q＝q2，解得q＝1±. 又等比數(shù)列{an}中，各項都是正數(shù)， 則q>0， 則q＝1＋. 所以＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2. 答案：C 二、填空題(每小題8分，共計24分) 7．在等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a5＝24，則a8＝________. 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)， 則有解得a1＝，q＝2， ∴a8＝a1q7＝×27＝192. 答案：192 8．(xx·遼寧卷)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 解析：先判斷數(shù)列的項是正數(shù)，再求出公比和首項． a＝a10＞0，根據(jù)已知條件得2＝5，解得q＝2. 所以aq8＝a1q9，所以a1＝2，所以an＝2n. 答案：2n 9．某林場的樹木每年以25%的增長率增長，則第10年末的樹木總量是今年的________倍． 解析：設(shè)這個林場今年的樹木總量是m，第n年末的樹木總量為an， 則an＋1＝an＋an×25%＝1.25an， 則＝1.25， 則數(shù)列{an}是公比q＝1.25的等比數(shù)列， 則a10＝a1q9＝1.259m， 所以＝1.259. 答案：1.259 三、解答題(共計40分) 10．(10分)數(shù)列{an}中，前n項和Sn＝2n－1，求證：{an}是等比數(shù)列． 證明：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝21－1＝1. 當(dāng)n>1時，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－2n－1＝2n－1. 又當(dāng)n＝1時，2n－1＝21－1＝1＝a1， ∴an＝2n－1.∴＝＝2. ∴{an}是等比數(shù)列． 11．(15分){an}為等比數(shù)列，求下列各值： (1)a6－a4＝24，a3a5＝64，求an； (2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q. 解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q， 由題意得 由②得a1q3＝±8， 將a1q3＝－8代入①中得q2＝－2(舍去)． 將a1q3＝8代入①中，得q2＝4，q＝±2. 當(dāng)q＝2時，a1＝1，∴an＝a1qn－1＝2n－1. 當(dāng)q＝－2時，a1＝－1，∴an＝a1qn－1＝－(－2)n－1. ∴an＝2n－1或an＝－(－2)n－1. (2)∵a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15， ∴或 ∴q4＝＝4或. ∴q＝±或q＝±. 12．(15分)已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，且lga1，lga2，lga4成等差數(shù)列，又bn＝，n＝1,2,3，…，求證數(shù)列{bn}為等比數(shù)列． 證明：∵lga1，lga2，lga4成等差數(shù)列， ∴2lga2＝lga1＋lga4＝lg(a1·a4)，∴a＝a1·a4. 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， ∴d2＝a1·d，∴d(a1－d)＝0， ∴d＝0或d＝a1≠0. ①當(dāng)d＝0時，{an}為常數(shù)列，{bn}也為常數(shù)列，此時數(shù)列{bn}是首項為正數(shù)，公比為1的等比數(shù)列． ②當(dāng)d＝a1≠0時，a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd， ∴bn＝＝·，顯然bn≠0. ∴＝＝(n≥1)， 此時數(shù)列{bn}是首項為b1＝，公比為的等比數(shù)列． 綜上可知，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．