2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第53課 空間幾何體的表面積與體積要點導(dǎo)學(xué)
2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第53課 空間幾何體的表面積與體積要點導(dǎo)學(xué)與幾何體的表面積有關(guān)的問題(xx·方城模擬)已知正四棱錐的底邊和側(cè)棱長均為3,那么該正四棱錐的外接球的表面積為.答案36解析由于正四棱錐的底邊和側(cè)棱長均為3,則此四棱錐底面正方形的外接圓即是外接球的一軸截面,故外接球的半徑是3,則該正四棱錐的外接球的表面積為4×32=36.如圖(1),在ABC中,AB=2,BC=2,ABC=120°,若將ABC繞BC旋轉(zhuǎn)一周,求所形成的旋轉(zhuǎn)體的表面積.圖(1) 圖(2)(變式)解答如圖(2),過點A作ADBC,與CB交于點D,所得旋轉(zhuǎn)體是以AD為半徑、DC為高的圓錐,挖去一個以AD為半徑、DB為高的圓錐. 在ABC中,AB=2,BC=2,ABC=120°,則AD=,AC=2,所以旋轉(zhuǎn)體表面積為×AD×(AC+AB)=××(2+2)=2(1+).與幾何體的體積有關(guān)的問題(xx·北京卷)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2, BC=1,E,F分別為A1C1,BC的中點.(例2)(1) 求證:平面ABE平面B1BCC1;(2) 求證:C1F平面ABE;(3) 求三棱錐E-ABC的體積.解答(1) 在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC,所以BB1AB.又因為ABBC,BB1BC=B,所以AB平面B1BCC1.因為ABÌ平面ABE,所以平面ABE平面B1BCC1.(2) 取AB的中點G,連接EG,FG.因為E,F分別是A1C1,BC的中點,所以FGAC,且FG=AC.因為ACA1C1,且AC=A1C1,所以FCEC1,且FG=EC1,所以四邊形FGEC1為平行四邊形,所以C1FEG.又因為EGÌ平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.(3) 因為AA1=AC=2,BC=1,ABBC,所以AB=,所以三棱錐E-ABC的體積為V=SABC·AA1=×××1×2=.精要點評(1) 正確地記憶和運用公式是求多面體體積的前提;(2) 正確求某些關(guān)鍵量是求多面體體積的關(guān)鍵;(3) 對于不能直接求體積的復(fù)雜問題,要時刻關(guān)注轉(zhuǎn)化.(xx·福建卷)如圖,在三棱錐A-BCD中,AB平面BCD,CDBD.(1) 求證:CD平面ABD;(2) 若AB=BD=CD=1,M為AD的中點,求三棱錐A-MBC的體積.(變式)解答(1) 因為AB平面BCD,CDÌ平面BCD,所以ABCD.又CDBD,ABBD=B,ABÌ平面ABD,BDÌ平面ABD,所以CD平面ABD.(2) 由AB平面BCD,得ABBD.因為AB=BD=1,所以SABD=.因為M是AD的中點,所以SABM=SABD=.由(1)知,CD平面ABD,因此VA-MBC=VC-ABM=SABM·CD=.簡單幾何體的綜合問題如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,D,E分別為A1B1,AA1的中點,點F在棱AB上,且AF=AB.(例3)(1) 求證:EF平面BDC1.(2) 在棱AC上是否存在一個點G,使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為115?若存在,指出點G的位置;若不存在,請說明理由.思維引導(dǎo)(1) 取AB的中點M,由A1MBD可得EFBD,從而EF平面BDC1;(2) 假設(shè)AC上存在一點G,使平面EFG將三棱柱分割成兩部分的體積比為115,即=116,從而得出AG=AC>AC矛盾.解答(1) 如圖,取AB的中點M,因為AF=AB,所以點F為AM的中點,又因為點E為AA1的中點,所以EFA1M.在三棱柱ABC-A1B1C1中,點D,M分別為A1B1,AB的中點,所以A1DBM,A1D=BM,所以四邊形A1DBM為平行四邊形,所以A1MBD,所以EFBD.因為BDÌ平面BC1D,EF平面BC1D,所以EF平面BC1D.(2) 假設(shè)AC上存在一點G,使得平面EFG將三棱柱分割成兩部分的體積之比為115,則=116,因為=·,所以=,所以AG=AC>AC,所以符合要求的點G不存在.(xx·江西卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD為矩形,平面PAD平面ABCD.(1) 求證:ABPD;(2) 若BPC=90°,PB=,PC=2,則AB為何值時,四棱錐P-ABCD的體積最大?(變式)解答(1) 因為ABCD為矩形,所以ABAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,故ABPD.(2) 過點P作POAD,垂足為O,過點O作OGBC垂足為G,連接PG,則PO平面ABCD,BC平面POG,BCPG.在RtBPC中,BC=,則PG=,GC=,BG=.設(shè)AB=m,則OP=,故四棱錐P-ABCD的體積為V=×·m·=.因為m=,所以當(dāng)m=,即AB=時,四棱錐P-ABCD的體積最大.如圖(1),在直角梯形ABCD中,ABAD,ADBC,F為AD的中點,點E在BC上,且EEAB.已知AB=AD=CE=2,沿線段EF把四邊形CDFE折起,使平面CDFE平面ABEF,如圖(2)所示.(1) 求證:AB平面BCE;(2) 求三棱錐C-ADE的體積. 圖(1) 圖(2)(范題賞析)規(guī)范答題(1) 在圖(1)中,EFAB,ABAD,所以EFAD.(2分)在圖(2)中,CEEF,又平面CDFE平面ABEF,且平面CDFE平面ABEF=EF,所以CE平面ABEF.又ABÌ平面ABEF,所以CEAB.(5分)又ABBE,BECE=E,所以AB平面BCE.(7分)(2) 因為平面CDFE平面ABEF,且平面CDFE平面ABEF=EF,AFFE,AFÌ平面ABEF,所以AF平面CDEF,(10分)所以AF為三棱錐A-CDE的高,且AF=1.又AB=CE=2,所以SCDE=×2×2=2. (12分)所以 =·AF·SCDE=. (14分)1. 一個六棱錐的體積為2,其底面是邊長為2的正六邊形,側(cè)棱長都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為.答案12解析設(shè)六棱錐的高為h,則V=Sh,所以××4×6h=2,解得h=1,設(shè)斜高為h',則h2+()2=h'2,所以h'=2,所以,該六棱錐的側(cè)面積為×2×2×6=12.2. 已知正方形ABCD的邊長為2,E,F分別為BC,DC的中點,沿AE,EF,AF折成一個四面體,使B,C,D三點重合,則這個四面體的體積為.答案3. (xx·山東卷)在三棱錐P-ABC中,D,E分別為PB,PC的中點,記三棱錐D-ABE的體積為V1,P-ABC的體積為V2,則=.(第3題)答案解析如圖,由于D,E分別是邊PB與PC的中點,所以SBDE=SPBC.又因為A平面BDE的距離與點A到平面PBC的距離相等,所以=.4. 在如圖所示的幾何體中,平面ACE平面ABCD,四邊形ABCD為平行四邊形,ACB=90°,EFBC,AC=BC=,AE=EC=1.(第4題)(1) 求證:AE平面BCEF;(2) 求三棱錐D-ACF的體積.解答(1) 因為平面ACE平面ABCD,且平面ACE平面ABCD=AC,BCAC,BCÌ平面ABCD,所以BC平面AEC.又因為AEÌ平面AEC,所以BCAE.又AC=,AE=EC=1,所以AC2=AE2+CE2,所以AEEC.又因為BCEC=C,所以AE平面ECBF.(2) 設(shè)AC的中點為G,連接EG,因為AE=CE,所以EGAC.因為平面ACE平面ABCD,且平面ACE平面ABCD=AC,所以EG平面ABCD.因為EFBC,EF平面ABCD,BCÌ平面ABCD,所以EF平面ABCD,所以點F到平面ABCD的距離就等于點E到平面ABCD的距離,即點F到平面ABCD的距離為EG的長,所以=SACD·EG.因為SACD=AC·AD=××=1,EG=AC=,所以=×1×=,即三棱錐D-ACF的體積為.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評估中的練習(xí)(第105-106頁).