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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第8章 第5節(jié) 橢圓課時(shí)作業(yè) 理 一、選擇題 1．(xx·衡水一模)已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則使|PF1|·|PF2|取最大值 的點(diǎn)P為(　　) A．(－2,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,1)或(0，－1) 答案：D 解析：由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， ∴|PF1|·|PF2|≤2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝2時(shí)，取“＝”． 故應(yīng)選D. 2．設(shè)e是橢圓＋＝1的離心率，且e∈，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(0,3)　　　　　　 B． C．(0,3)∪ D

2、．(0,2) 答案：C 解析：當(dāng)k>4時(shí)，c＝，由條件知<<1，解得k>； 當(dāng)0b>0)的離心率e＝，右焦點(diǎn)F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的兩個(gè)根分別為x1，x

3、2，則點(diǎn)P(x1，x2)在(　　) A．圓x2＋y2＝2上　　 B．圓x2＋y2＝2內(nèi) C．圓x2＋y2＝2外　　 D．以上三種情況都有可能 答案：B 解析：由題意，知e＝＝， ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝＋1＝2－＝<2， ∴點(diǎn)P(x1，x2)在圓x2＋y2＝2內(nèi)． 5．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝2c，點(diǎn)A在橢圓上，且AF1垂直于x軸，·＝c2，則橢圓的離心率e等于(　　) A. B． C． D． 答案：C 解析：如圖，由橢圓的幾何性質(zhì)可得|AF1|＝，假設(shè)A在x軸上方，則A，而F1(－c,0)，F(xiàn)2(c

4、,0)． 故＝，＝， 所以·＝0×2c＋×＝. 由題意可得＝c2，所以b2＝ac，即a2－c2＝ac，也就是1－e2＝e，解得e＝或e＝(舍)． 故應(yīng)選C. 6．(xx·新課標(biāo)全國Ⅰ)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 答案：D 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， ①－②，得＋＝0， 所以kAB＝＝－＝. 又kAB＝＝，所以＝. 又9＝c2＝a2－b2， 解得b2＝9

5、，a2＝18， 所以橢圓E的方程為＋＝1.故應(yīng)選D. 二、填空題 7．(xx·遼寧)已知橢圓C：＋＝1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|＋|BN|＝________. 答案：12 解析：橢圓＋＝1中，a＝3. 如圖，設(shè)MN的中點(diǎn)為D，則|DF1|＋|DF2|＝2a＝6. ∵D，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為MN，AM，BM的中點(diǎn)， ∴|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|， ∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12. 8．已知點(diǎn)A(4,0)和B(2,2)，M是橢圓＋＝1上一動(dòng)點(diǎn)，則|MA|＋|MB|的最大

6、值為________． 答案：10＋2 解析：顯然A是橢圓的右焦點(diǎn)，如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為A1(－4,0)，連接BA1并延長交橢圓于M1，則M1是使|MA|＋|MB|取得最大值的點(diǎn)．事實(shí)上，對于橢圓上的任意點(diǎn)M有 |MA|＋|MB|＝2a－|MA1|＋|MB|≤2a＋|A1B|(當(dāng)M1與M重合時(shí)取等號)， ∴|MA|＋|MB|的最大值為 2a＋|A1B|＝2×5＋＝10＋2. 9．已知橢圓＋＝1的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，點(diǎn)P為該橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)·取最小值時(shí)|＋|的取值為________． 答案：3 解析：由已知得a＝2，b＝，c＝1， 所以F2(1,0)，A1(－2

7、,0)，設(shè)P(x，y)， 則·＝(1－x，－y)·(－2－x，－y) ＝(1－x)(－2－x)＋y2. 又點(diǎn)P(x，y)在橢圓上，所以y2＝3－x2，代入上式， 得·＝x2＋x＋1＝(x＋2)2. 又x∈[－2,2]， 所以x＝－2時(shí)，·取得最小值． 所以P(－2,0)，求得|＋|＝3. 10．(xx·合肥一模)若橢圓＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)作圓x2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓的方程是________． 答案：＋＝1 解析：由題可設(shè)斜率存在的切線的方程為y－＝k(x－1)(k為切線的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，

8、由＝1，解得k＝－， ∴圓x2＋y2＝1的一條切線方程為3x＋4y－5＝0，求得切點(diǎn)A，易知另一切點(diǎn)B(1,0)，則直線AB的方程為y＝－2x＋2.令y＝0得右焦點(diǎn)為(1,0)，令x＝0得上頂點(diǎn)為(0,2)． ∴a2＝b2＋c2＝5， 故所求橢圓的方程是＋＝1. 三、解答題 11．(xx·新課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直．直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N. (1)若直線MN的斜率為，求C的離心率； (2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. 解：(1)根據(jù)c＝及題設(shè)，知M，2b2

9、＝3ac. 將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac， 解得＝或＝－2(舍去)． 故C的離心率為. (2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸， 所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn)， 故＝4，即b2＝4a.① 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則 即 代入C的方程，得＋＝1.② 將①及c＝代入②，得＋＝1. 解得a＝7，b2＝4a＝28， 故a＝7，b＝2. 12．(xx·臨沂模擬)已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上任意一點(diǎn)，

10、且|PF1|·|PF2|的最大值為2. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)過點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A，B，滿足＋＝t(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)|－|<時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 解：(1)由拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線是x＝－1，得橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(－1,0)，即c＝1. 由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴|PF1|·|PF2|≤2＝a2， 當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝a時(shí)取等號． ∴a2＝2，∴b2＝a2－c2＝1， 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)由題意知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的斜率為k， 則其方程為y＝k(x－2)． 由消去y，得

11、(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0. Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，解得k2<. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， 則x1＋x2＝，x1x2＝. ∵＋＝t，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)． ∴x＝＝， y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝. ∵點(diǎn)P在橢圓上，∴＋2×＝2， 整理得16k2＝t2(1＋2k2)， 又∵|－|<，∴||<， ∴＝· <， ∴(1＋k2)<， 化簡，得56k4＋38k2－13>0， ∴(4k2－1)(14k2＋13)>0，解得k2>， ∴

12、2)，∴t2＝＝8－. ∵b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2.以O(shè)為圓心，a為半徑作圓，若過點(diǎn)P的圓的兩切線互相垂直，切點(diǎn)分別為A，B. (1)求橢圓C的方程； (2)過點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且|＋|＝，求直線l的方程． 解：(1)由題意知，橢圓的半焦距c＝1， ∵過點(diǎn)P的⊙O：x2＋y2＝a2的兩條切線互相垂直， ∴四邊形OAPB為正方形，∴＝a，∴a＝. 由a2＝b2＋c2，知b2＝1， ∴

13、橢圓方程為＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)， 若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝－1， 將x＝－1代入橢圓方程，得y＝±. 不妨設(shè)M，N， ∴＋＝＋＝(－4,0)， ∴|＋|＝4，與題設(shè)矛盾， ∴直線l的斜率存在． 設(shè)直線l的斜率為k，則直線的方程為y＝k(x＋1)． 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 聯(lián)立消y，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系，知x1＋x2＝， 從而y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝， 又∵＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)， ∴＋＝(x1＋x2－2，y1＋y2)， ∴|＋|2＝(x1＋x2－2)2＋(y1＋y2)2 ＝2＋2 ＝， ∴＝2， 化簡得40k4－23k2－17＝0， 解得k2＝1或者k2＝－(舍去)，∴k＝±1， ∴所求直線l的方程為y＝x＋1或y＝－x－1.