高中數(shù)學(xué) 知能基礎(chǔ)測試 新人教B版選修2-2一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1曲線yx22x在點 處的切線的傾斜角為()A1B45°C45°D135°答案D解析yx2，所以斜率k121，因此傾斜角為135°.故選D.2下列求導(dǎo)運算正確的是()A.1B(log2x)C(3x)3x·log3eD(x2cosx)2xsinx答案B解析1，所以A不正確；(3x)3xln3，所以C不正確；(x2cosx)2xcosxx2·(sinx)，所以D不正確；(log2x)，所以B對故選B.3如圖，一個正五角星薄片(其對稱軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)0)，則導(dǎo)函數(shù)yS(t)的圖像大致為()答案A解析由圖象知，五角星露出水面的面積的變化率是增減增減，其中恰露出一個角時變化不連續(xù)，故選A.4已知f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍為()A1<a<2B3<a<6Ca<1或a>2Da<3或a>6答案D解析f(x)3x22axa6.因為f(x)既有極大值又有極小值，所以>0，即4a24×3×(a6)>0，即a23a18>0，解得a>6或a<3.故選D.5(xx·山東理，6)直線y4x與曲線yx3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為()A2B4 C2D4答案D解析如圖所示由解得或第一象限的交點坐標(biāo)為(2,8)由定積分的幾何意義得S(4xx3)dx(2x2)|844.6(xx·黃山模擬)已知f(x)xlnx，若f(x0)2，則x0()Ae2BeC.Dln2答案B解析f(x)的定義域為(0，)，f(x)lnx1，由f(x0)2，得lnx012，解得x0e.7(xx·北師大附中高二期中)函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)為()AyByCyDy答案D解析y.8函數(shù)f(x)x32x3的圖象在x1處的切線與圓x2y28的位置關(guān)系是()A相切B相交且過圓心C相交但不過圓心D相離答案C解析切線方程為y2x1，即xy10.圓心到直線的距離為<2，所以直線與圓相交但不過圓心故選C.9f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是()答案D解析由圖可知，當(dāng)b>x>a時，f(x)>0，故在a，b上，f(x)為增函數(shù)且又由圖知f(x)在區(qū)間a，b上先增大后減小，即曲線上每一點處切線的斜率先增大再減小，故選D.10曲線yex在點(4，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為()A.e2B4e2C2e2De2答案D解析ye，在點(4，e2)處的切線方程為ye2xe2，令x0得ye2，令y0得x2，圍成三角形的面積為e2.故選D.11(xx·天門市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)a(xb)2c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象可能是()答案D解析由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<0時，函數(shù)f(x)遞減，排除A，B；當(dāng)0<x<x1時，f (x)>0，函數(shù)f(x)遞增因此，當(dāng)x0時，f(x)取得極小值，故選D.12(xx·泰安一中高二段測)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，若ABC為銳角三角形，則一定成立的是()Af(sinA)>f(cosB)Bf(sinA)<f(cosB)Cf(sinA)>f(sinB)Df(cosA)<f(cosB)答案A解析由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，x>0時，f (x)>0，即f(x)單調(diào)遞增，又ABC為銳角三角形，則AB>，即>A>B>0，故sinA>sin(B)>0，即sinA>cosB>0，故f(sinA)>f(cosB)，選A.二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分將正確答案填在題中橫線上)13經(jīng)過點(2,0)且與曲線y相切的直線方程為_答案xy20解析設(shè)切點為，則，解得x01，所以切點為(1,1)，斜率為1，直線方程為xy20.14若函數(shù)f(x)在(0，)上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案a0解析f(x)a，由題意得，a0對x(0，)恒成立，即a，x(0，)恒成立a0.15(xx·湖北重點中學(xué)高二期中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ax3ax22ax2a1的圖象經(jīng)過四個象限，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，)解析f (x)ax2ax2aa(x1)(x2)，由f(x)的圖象經(jīng)過四個象限知，若a>0，則此時無解；若a<0，則<a<，綜上知，<a<.16(xx·泉州實驗中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)x33x，若過點A(1，m)(m2)可作曲線yf(x)的三條切線，則實數(shù)m的取值范圍為_答案(3，2)解析f (x)3x23，設(shè)切點為P(x0，y0)，則切線方程為y(x3x0)(3x3)(xx0)，切線經(jīng)過點A(1，m)，m(x3x0)(3x3)(1x0)，m2x3x3，m6x6x0，當(dāng)0<x0<1時，此函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x0<0或x0>1時，此函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x00時，m3，當(dāng)x01時，m2，當(dāng)3<m<2時，直線ym與函數(shù)y2x3x3的圖象有三個不同交點，從而x0有三個不同實數(shù)根，故過點A(1，m)可作三條不同切線，m的取值范圍是(3，2)三、解答題(本大題共6個小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)lnxln(2x)ax(a>0)(1)當(dāng)a1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在(0,1上 的最大值為，求a的值解析函數(shù)f(x)的定義域為(0,2)，f (x)a，(1)當(dāng)a1時，f (x)，當(dāng)x(0，)時，f (x)>0，當(dāng)x(，2)時，f (x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)；(2)當(dāng)x(0,1時，f (x)a>0，即f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，故f(x)在(0,1上的最大值為f(1)a，因此a.18(本題滿分12分)(xx·韶關(guān)市曲江一中月考)已知函數(shù)f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x1時，f(x)取得極值2.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；(3)證明：對任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|<4恒成立解析(1)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x)f(x)，即ax3cxdax3cxd，dd，d0(或由f(0)0得d0)f(x)ax3cx，f (x)3ax2c，又當(dāng)x1時，f(x)取得極值2，即解得f(x)x33x.(2)f (x)3x233(x1)(x1)，令f (x)0，得x±1，當(dāng)1<x<1時，f (x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x<1或x>1時，f (x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(，1)和(1，)；遞減區(qū)間為(1,1)因此，f(x)在x1處取得極大值，且極大值為f(1)2.(3)由(2)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減，且f(x)在區(qū)間1,1上的最大值為Mf(1)2.最小值為mf(1)2.對任意x1、x2(1,1)，|f(x1)f(x2)|<Mm4成立即對任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|<4恒成立19(本題滿分12分)求定積分f(x)dx，其中f(x).解析 f(x)dx f(x)dxf(x)dx (sinx1)dxx2dx(cosxx)|x3|cos12cos1.20(本題滿分12分)已知向量a(x2，x1)，b(1x，t)若函數(shù)f(x)a·b在區(qū)間(1,1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍解析依定義f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt，f(x)3x22xt.若f(x)在(1,1)上是增函數(shù)，則在(1,1)上有f(x)0.恒成立f(x)0t3x22x，由于g(x)3x22x的圖象是對稱軸為x，開口向上的拋物線，故要使t3x22x在區(qū)間(1,1)上恒成立tg(1)，即t5.而當(dāng)t5時，f(x)在(1,1)上滿足f(x)>0，即f(x)在(1,1)上是增函數(shù)故t的取值范圍是t5.21(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)2x33(a1)x26ax8，其中aR.(1)若f(x)在x3處取得極值，求常數(shù)a的值；(2)若f(x)在(，0)上為增函數(shù)，求a的取值范圍解析(1)f(x)6x26(a1)x6a6(xa)(x1)因f(x)在x3處取得極值，所以f(3)6(3a)(31)0，解得a3.經(jīng)檢驗知當(dāng)a3時，x3為f(x)的極值點(2)令f(x)6(xa)(x1)0得x1a，x21.當(dāng)a<0時，若x(，a)(1，)，則f(x)>0，所以f(x)在(，a)和(1，)上為增函數(shù)當(dāng)0a<1時，f(x)在(，0)上為增函數(shù)當(dāng)a1時，若x(，1)(a，)，則f(x)>0，所以f(x)在(，1)和(a，)上為增函數(shù)，從而f(x)在(，0)上為增函數(shù)綜上可知，當(dāng)a0時，f(x)在(，0)上為增函數(shù)22(本題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)aexb(a>0)(1)求f(x)在0，)內(nèi)的最小值；(2)設(shè)曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為yx，求a，b的值解析(1)f (x)aex，當(dāng)f (x)>0，即x>lna時，f(x)在(lna，)上遞增；當(dāng)f (x)<0，即x<lna時，f(x)在(，lna)上遞減當(dāng)0<a<1時，lna>0，f(x)在(0，lna)上遞減，在(lna，)上遞增，從而f(x)在0，)上的最小值為f(lna)2b；當(dāng)a1時，lna0，f(x)在0，)上遞增，從而f(x)在0，)上的最小值為f(0)ab.(2)依題意f (2)ae2，解得ae22或ae2(舍去)所以a，代入原函數(shù)可得2b3，即b.故a，b.