2022年高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 第60課 橢圓檢測評估一、 填空題1. 若k<4,曲線+=1和+=1有相同的.(填“準線”、“焦點”、“離心率”或“長軸”) 2. (xx·四川卷)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形,那么橢圓C的標準方程為. 3. (xx·全國卷)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為,過F2的直線l交橢圓C于A,B兩點.若AF1B的周長為4,則橢圓C的標準方程為 . 4. (xx·安徽卷)設F1,F2分別是橢圓E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦點,過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點,若AF1=3BF1,AF2x軸,則橢圓E的方程為. 5. (xx·江西卷)過點M(1,1)作斜率為-的直線與橢圓C:+=1(a>b>0)相交于點A,B,若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率為. 6. 已知點A是橢圓C:+=1(t>0)的左頂點,直線l:x=my+1(mR)與橢圓C相交于E,F兩點,與x軸相交于點B,且當m=0時,AEF的面積為,則橢圓C的方程為. 7. (xx·河北期中)在橢圓+=1(a>b>0)中,F1,F2分別是其左、右焦點,若橢圓上存在一點P,使得PF1=2PF2,則該橢圓離心率的取值范圍是. 8. (xx·重慶卷)如圖,設橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,且點D在橢圓上,DF1F1F2,=2,DF1F2的面積為,則該橢圓的標準方程為.(第8題)二、 解答題 9. 已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為,且經(jīng)過點M(4,1),直線l:y=x+m交橢圓于不同的兩點A,B.(1) 求該橢圓的方程;(2) 求實數(shù)m的取值范圍.10. (xx·重慶模擬)已知橢圓的中心為原點O,長軸長為4,一條準線的方程為y=.(1) 求該橢圓的標準方程;(2) 已知射線y=2x(x0)與橢圓的交點為M,過點M作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓交于A,B兩點(A,B兩點異于點M),求證:直線AB的斜率為定值.11. (xx·廣東卷)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點為(,0),離心率為.(1) 求橢圓C的標準方程;(2) 若動點P(x0,y0)為橢圓外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程.第十一章圓錐曲線與方程第60課橢圓1. 焦點解析:當k<4時,9-k>4-k>0,所以+=1為橢圓方程,所以a2=9-k,b2=4-k.又9-k-(4-k)=9-4=5,所以兩曲線有相同的c,即有相同的焦點. 2. +=1解析:由題意知c=2,a=b,所以b2=2,a2=6,所以橢圓C的標準方程是+=1.3. +=1解析:由題意知e=,所以a=c,所以b2=a2-c2=2c2.因為AF1B的周長為AF1+AB+BF1=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=4,所以a=,c=1,所以b2=2,所以橢圓E的方程為+=1.4. x2+y2=1解析:如圖,因為AF2x軸,所以AF2=b2,設點A(c,b2),又AF1=3BF1,所以B的坐標為,將其代入橢圓方程,聯(lián)立方程組解得c2=,b2=,所以橢圓的方程為x2+y2=1.(第4題)5. 解析:由題意知直線方程為y-1=-(x-1),即y=-x+,設A(x1,y1),B(x2,y2),則由+=1,+=1,兩式相減得+=0,又點M為線段AB的中點,所以+=0,即a2=2b2,從而a2=2c2,所以e=.6. +=1解析:當m=0時,直線l的方程為x=1,設點E在x軸上方,由解得E,F,所以EF=.因為AEF的面積為×4×=,解得t=2,故橢圓的方程為+=1. 7. 解析:由解得由橢圓性質知-2c,即2c,即e,所以e.8. +y2=1解析:設F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.由=2,得DF1=c,從而=DF1·F1F2=c2=,故c=1,從而DF1=.由DF1F1F2,得D=D+F1=,因此DF2=.所以2a=DF1+DF2=2,故a=,b2=a2-c2=1.因此所求橢圓的標準方程為+y2=1.9. (1) 由題意可設橢圓的方程為+=1(a>b>0).因為e=,所以a2=4b2.又因為橢圓過點M(4,1),所以+=1,由解得b2=5,a2=20,故橢圓的方程為+=1.(2) 將y=x+m代入+=1,整理得5x2+8mx+4m2-20=0,由題意知=(8m)2-20(4m2-20)>0,解得-5<m<5,故實數(shù)m的取值范圍為(-5,5). 10. (1) 由準線為y=知焦點在y軸上,則可設橢圓方程為+=1.由題意得解得所以b2=a2-c2=1.故橢圓的標準方程為x2+=1.(2) 由題意知直線MA,MB的斜率存在,設直線MA的斜率為k,不妨設k>0,將y=2x代入橢圓方程,得M,故直線MA的方程為y-2=k,直線MB的方程為y-2=-k.分別與橢圓方程聯(lián)立,可解出xA=-,xB=-.因為=2,所以kAB=2(定值).故直線AB的斜率為定值.11. (1) 由題意知=,=,解得a=3,b=2,因此橢圓C的標準方程為+=1.(2) 設從點P所引的直線的方程為y-y0=k(x-x0),即y=kx+(y0-kx0),當從點P所引的橢圓C的兩條切線的斜率都存在時,分別設為k1,k2,則k1k2=-1,將直線y=kx+(y0-kx0)的方程代入橢圓C的方程得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-36=0,=18k(y0-kx0)2-4×(9k2+4)9(y0-kx0)2-36=0,化簡得(y0-kx0)2-9k2-4=0,即(-9)k2-2x0y0k+(-4)=0,則k1,k2是關于k的一元二次方程(-9)k2-2kx0y0+(-4)=0的兩根,則k1k2=-1,化簡得+=13.當從點P所引的兩條切線均與坐標軸垂直,則點P的坐標為(±3,±2),此時點P也在圓x2+y2=13上.綜上所述,點P的軌跡方程為x2+y2=13.