2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第42講 二項(xiàng)式定理練習(xí) 新人教A版考情展望1.考查利用通項(xiàng)求展開式中的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)等.2.考查賦值法與整體法的應(yīng)用.3.多以選擇題、填空題的形式考查一、二項(xiàng)式定理1(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)2第r1項(xiàng)，Tr1Canrbr.3第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C.二、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)10kn時，C與C的關(guān)系是CC.2二項(xiàng)式系數(shù)先增后減中間項(xiàng)最大且n為偶數(shù)時第1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為Cn；當(dāng)n為奇數(shù)時，第項(xiàng)和項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為Cn或Cn.3各二項(xiàng)式系數(shù)和：CCCC2n，CCCCCC2n1.1(1x)6的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是()A20x3B15x2C15x4Dx6【解析】二項(xiàng)展開式中間一項(xiàng)(第4項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大，T4Cx320x3.【答案】A2.4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A24 B6 C6 D24【解析】展開式的通項(xiàng)是Tr1C(2x)4r·r(1)rC·24r·x42r，令42r0，得r2，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(1)2C·2224，故選D.【答案】D3已知(1kx2)6(k為正整數(shù))的展開式中x8的系數(shù)小于120，則k_.【解析】展開式的通項(xiàng)是Tr1C(kx2)r，令2r8，得展開式中x8的系數(shù)為C·k4，C·k4120，即k48.又k是正整數(shù)，故k1.【答案】14(13x)n(其中nN且n6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n_.【解析】Tr1C(3x)r3rCxr.由已知條件35C36C，即C3C.3，整理得n7.【答案】75(xx·大綱全國卷)(x2)8的展開式中x6的系數(shù)是()A28 B56 C112 D224【解析】該二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr1Cx8r2r2rCx8r，令r2，得T322Cx6112x6，所以x6的系數(shù)是112.【答案】C6(xx·安徽高考)若8的展開式中，x4的系數(shù)為7，則實(shí)數(shù)a_.【解析】含x4的項(xiàng)為Cx53Ca3x4，Ca37，a.【答案】考向一 178通項(xiàng)公式及其應(yīng)用已知在n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)(1)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；(2)求展開式中所有的有理項(xiàng)【思路點(diǎn)撥】(1)寫出通項(xiàng)Tr1，先求n，再求含x2的項(xiàng)的系數(shù)(2)尋找使x的指數(shù)為整數(shù)的r值，從而確定有理項(xiàng)【嘗試解答】(1)n的展開式的通項(xiàng)為Tr1CxrxCrx.因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以r5時，有0，即n10.令2，得r(n6)×(106)2，含x2的項(xiàng)的系數(shù)為C2.(2)根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意Z，且0r10.令k(kZ)，則102r3k，即r5k.rN，k應(yīng)為偶數(shù)k可取2,0，2，即r可取2,5,8.所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)和第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為C2x2，C5，C8x2.規(guī)律方法11.解此類問題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且nr)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).2.有理項(xiàng)是字母指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng).解此類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.對點(diǎn)訓(xùn)練(1)(xx·浙江高考)設(shè)二項(xiàng)式5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為A，則A_.(2)設(shè)二項(xiàng)式6(a0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B，若B4A，則a的值是_【解析】(1)Tr1C()5rrC(1)rx，令0，得r3，所以AC10.(2)6展開式的通項(xiàng)Tr1(a)rCx6r，A(a)2C，B(a)4C，由B4A，得(a)4C4(a)2C，解之得a±2.又a0，所以a2.【答案】(1)10(2)2考向二 179二項(xiàng)展開式項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)(1)設(shè)(1x)na0a1xa2x2anxn，若a1a2an63，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是()A15x2B20x3C21x3D35x3(2)(xx·課標(biāo)全國卷)已知(1ax)(1x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a()A4 B3 C2 D1【思路點(diǎn)撥】(1)先賦值求a0及各項(xiàng)系數(shù)和，進(jìn)而求得n值，再運(yùn)用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)與通項(xiàng)公式求解(2)先求出(1x)5含有x與x2的項(xiàng)的系數(shù)，從而得到展開式中x2的系數(shù)【嘗試解答】(1)(1x)na0a1xa2x2anxn，令x0，得a01.令x1，則(11)na0a1a2an64，n6，又(1x)6的展開式二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)最大，(1x)6的展開式系數(shù)最大項(xiàng)為T4Cx320x3.(2)(1x)5中含有x與x2的項(xiàng)為T2Cx5x，T3Cx210x2，x2的系數(shù)為105a5，a1，故選D.【答案】(1)B(2)D規(guī)律方法2求解這類問題要注意：1.區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與展開式中項(xiàng)的系數(shù)，靈活利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).2.根據(jù)題目特征，恰當(dāng)賦特殊值代換.對于展開式中的系數(shù)和、隔項(xiàng)系數(shù)和、系數(shù)的絕對值和等問題，通常運(yùn)用賦值法進(jìn)行構(gòu)造(構(gòu)造出目標(biāo)式).賦值時要注意根據(jù)目標(biāo)式進(jìn)行靈活的選擇，常見的賦值方法是使字母因式的值為1，1或目標(biāo)式的值.對點(diǎn)訓(xùn)練(1)(xx·浙江省高三調(diào)測)若(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，則a0a1a3a5等于()A122B123C243D244(2)(xx·大綱全國卷)(1x)8(1y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是()A56 B84 C112 D168【解析】(1)在已知等式中分別取x0、x1與x1，得a01，a0a1a2a3a4a535，a0a1a2a3a4a51，因此有2(a1a3a5)351244，a1a3a5122，a0a1a3a5123.(2)因?yàn)?1x)8的通項(xiàng)為Cxk，(1y)4的通項(xiàng)為Cyt，故(1x)8(1y)4的通項(xiàng)為CCxkyt.令k2，t2，得x2y2的系數(shù)為CC168.【答案】(1)B(2)D考向三 180二項(xiàng)式定理的應(yīng)用(xx·湖北高考)設(shè)aZ，且0a<13，若512 012a能被13整除，則a()A0B1C11D12【思路點(diǎn)撥】注意到52能被13整除，化51為521，從而運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開51xx，由條件求a的值【嘗試解答】512 012a(521)2 012aC·522 012C·522 011C×52·(1)2 011C·(1)2 012a，C·522 012C·522 011C×52·(1)2 011能被13整除且512 012a能被13整除，C·(1)2 012a1a也能被13整除因此a可取值12.【答案】D規(guī)律方法31.本題求解的關(guān)鍵在于將512 012變形為(521)2 012，使得展開式中的每一項(xiàng)與除數(shù)13建立聯(lián)系2用二項(xiàng)式定理處理整除問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項(xiàng)式定理展開但要注意兩點(diǎn)：(1)余數(shù)的范圍，acrb，其中余數(shù)b0，r)，r是除數(shù)，若利用二項(xiàng)式定理展開變形后，切記余數(shù)不能為負(fù)；(2)二項(xiàng)式定理的逆用對點(diǎn)訓(xùn)練190C902C903C(1)k90kCk109010C除以88的余數(shù)是()A1B1C87D87【解析】190C902C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881.前10項(xiàng)均能被88整除，余數(shù)是1.【答案】B思想方法之二十四賦值法在二項(xiàng)展開式中的應(yīng)用求展開式系數(shù)和或相關(guān)量這類問題的解題思路：通常先利用通項(xiàng)公式弄清所求展開式系數(shù)的特點(diǎn)，再用賦值法求得各項(xiàng)系數(shù)和，一般通過變量指數(shù)來確定要求項(xiàng)或系數(shù)和，再根據(jù)其特點(diǎn)求相關(guān)的量，有時需要構(gòu)造方程，通過解方程的方法來求解分類分步是常用的手段，正面較復(fù)雜時可從反面考慮，即正難則反1個示范例1個對點(diǎn)練(xx·宜春模擬)設(shè)(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n(n2，nN)，則a3a5a7a2n1()A.B.C. D.【解析】(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n(n2，nN)，令x1,3na0a1a2a2n，再令x1，可得1a0a1a2a3a2n1a2n，得：a1a3a2n1，又(1xx2)nx2(1x)n，其展開式中T1C(x2)0(1x)n，從中可求x的系數(shù)，它來自(1x)n展開式中x的系數(shù)，為a1Cn，a3a5a7a2n1.在二項(xiàng)式n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為M，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，且MN64，則展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為()A90B90C10D10【解析】二項(xiàng)式n的展開式中，令x1得：各項(xiàng)系數(shù)之和M2n，又各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，故N2n，又MN64，2×2n64，n5.設(shè)二項(xiàng)式5的展開式的通項(xiàng)為Tr1，則Tr1C·35r·(1)r·x(5r)r，令(5r)r2得：r3，展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為C·(1)3·35390.【答案】A